課程導(dǎo)學(xué)-第七章第四節(jié)

第四節(jié) 直線、平面平行的判定及性質(zhì)1．以和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題．考綱點擊幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識要點梳理·基礎(chǔ)一、直線與平面平行1．判定定理知識掃描文字語言圖形語言符號語言平面外一條直

a

b

a∥b∥a

判定定理線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與此平面平行.2．性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行._

a∥a

b

[辨析]1．若直線a與平面α平行，b在α內(nèi)，則a與b一定平行嗎？提示

不一定．a(chǎn)與b可能平行，也可能異面．二、平面與平面平行1．判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a

b

ab

P

a∥a∥

b∥

2.兩平面平行的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行_

a∥

a

b

[辨析]2．若一個平面平行于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這兩個平面平行嗎？提示

不一定．若這無數(shù)條直線平行，兩平面還可能相交．1．若兩條直線都與一個平面平行，則這兩條直線的位置關(guān)系是A．平行C．異面B．相交D．以上均有可能解析

借助長方體模型易得．答案

D小題熱身2．下列條件中，能作為兩平面平行的充分條件的是

A．一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面B．一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面

C．一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面D．一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面解析由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個平面時，兩平面才能平行，故D正確．答案

D3．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b與α相交或b?α或b∥α解析b∥α.答案

D，直線b與α可能相交，或b?α，或4．下列命題中正確的個數(shù)是①若直線a不在α內(nèi)，則a∥α；②若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α；③若l與平面α平行，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點；④平行于同一直線的兩個平面平行．A．1

B．2

C．3

D．4解析①錯，因為直線a與α可能相交；②錯，當l與α相交時，l上也有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)；③正確；④錯，平行于同一直線的兩個平面可能相交．答案

ANDAM＝AN，解析

在平面

ABD

中，MB∴MN∥BD.又MN?平面BCD，BD?平面BCD，∴MN∥平面BCD.答案

平行(1)(2015·湛江模擬)下列命題正確的是若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行考點突破·規(guī)律總結(jié)考點一

與平行有關(guān)

題真

判斷例1【解析】

若兩條直線和同一個平面所成角相等，則這兩條直線可能平行，也可能相交，故A不正確；如圖(1)所示， B不正確；如圖(2)所示，平面α∩β＝b，

a∥α，a∥β，過a的平面與β的交線為c，則a∥c，過a的平面與α的交線為d，則a∥d，故c∥d，所以c∥α，∴c∥b，又a∥c，故得a∥b，即C正確；垂直于同一個平面的兩個平面可能平行，也可能相交，故D不正確．【答案】

C(2)(2014·海淀二模)已知點E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段

D1E

與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線

MN有A．0條B．1條C．2條D．無數(shù)條【解析】

直線D1E和C1F都和平面ABCD相交，設(shè)平面α∥平面ABCD，則α與直線D1E與C1F相交，設(shè)交點為K，L，則直線KL∥平面ABCD，因為有無數(shù)多個平面α，則有無數(shù)條直線KL，即有無數(shù)多條直線MN.【答案】

D[規(guī)律方法]

平行關(guān)系的判斷技巧熟悉線面關(guān)系的各個定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項．特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形．1．下面四個命題：①分別在兩個平面內(nèi)的兩直線平行；②若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個平面；③如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行；④如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行．◎變式訓(xùn)練其中正確A．①②題是B．②④

C．①③

D．②③解析①中的兩條直線有可能平行，相交或異面，故①不正確；②正確；③中一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，則這兩個平面平行，故③不正確；④正確．答案

B如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE＝a，點M

段EF上．(1)求證：BC⊥平面ACFE；(2)當EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論．考點二

直線和平面平行的判定與性質(zhì)例2【解析】(1)證明在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四邊形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，∴BC⊥平面ACFE.3(2)當EM＝

3

a

時，AM∥平面BDF.現(xiàn)在證明如下：在梯形ABCD

中，設(shè)AC∩BD＝N，連接FN，則

CN∶NA＝1∶2.∵EM＝

3

，而

EF＝AC＝

3a，3

a∴EM∶FM＝1∶2，∴MF

綊AN，∴四邊形ANFM

是平行四邊形，∴AM∥NF.又∵NF?平面BDF，AM?平面BDF，∴AM∥平面BDF.[規(guī)律方法]證明線面平行的關(guān)鍵點及探求線線平行的方法證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線；利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行；注意說明已知的直線不在平面內(nèi)，即三個條件缺一不可．2．(2014·馬鞍山模擬)如圖，多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD，CDEF都是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AG⊥平面ABCD，且AG＝1.若P是BC的中點，證明AP∥平面BFG；求四面體ABEG的體積．◎變式訓(xùn)練解析

(1)證明

取

BF

中點

Q，連PQ、GQ，則PQ∥CF，且PQ＝12CF＝AG＝1，∵CDEF

是正方形，DE⊥

平面

ABCD

，

∴CF⊥

平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD，又AG⊥平面ABCD，∴PQ∥AG，APQG

為矩形，∴AP∥GQ，∵QG?平面BFG，AP?平面BFG，∴AP∥平面BFG.(2)∵AG⊥平面ABCD，∴AG⊥AD，又ABCD是矩形，∴AB⊥AD，從而AD⊥平面ABG，又DE⊥平面ABCD，∴AG∥DE，∴V

＝V

＝V1

1ABEG

E－ABG

D－ABG＝3×2×AB×AG×AD＝23.考點三

面面平行的判定與性質(zhì)1BB1(3)

段

BB

上是否存在點

P，當

BP

＝λ

時，平面A1PC1∥平面AMC？若存在，求出

λ

的值并證明；若不存在，請說明理由．例3

(2014·昌平二模)

已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1

中，M

是DD1

的中點．求證：BD1∥平面AMC；求證：AC⊥BD1；【解析】

(1)證明

在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連接 交 于 ，連接MN.因為ABCD為正方形，所以N為BD中點．在△DBD1中，因為M為DD1中點，所以BD1∥MN.因為MN?平面AMC，BD1?平面AMC，所以BD1∥平面AMC.(2)證明

因為ABCD為正方形，所以AC⊥BD.因為DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC.因為DD1⊥BD＝D，所以AC⊥平面BDD1.因為BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.1(3)當

λ＝2，即點

P為線段

BB

的中點時，平面

A

PC1

1

1∥平面AMC.因為AA1∥CC1

且AA1＝CC1，所以四邊形AA1C1C是平行四邊形．所以AC∥A1C1.取CC1

的中點Q，連接MQ，QB.因為M為DD1

的中點，所以MQ∥AB且MQ＝AB，所以四邊形ABQM

是平行四邊形．所以BQ∥AM.同理BQ∥C1P.所以AM∥C1P.因為

A1C1∩C1P＝C1，AC∩AM＝A，所以平面A1PC1∥平面AMC.[規(guī)律方法]

證明面面平行的方法面面平行的定義；面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．◎變式訓(xùn)練解析

(1)證明

設(shè)B1D1線段的中點為O1.∵BD和B1D1是ABCD－A1B1C1D1的對應(yīng)棱，∴BD∥B1D1.同理，∵AO和A1O1是棱柱ABCD－A1B1C1D1的對應(yīng)線段，∴AO∥A1O1

且AO∥OC

?A1O1

∥OC

且A1O1

＝OC?四邊形A1OCO1為平行四邊形?A1O∥O1C.且A1O

∩BD

＝

O

，O1C

∩B1D1

＝

O1

?面A1BD

∥面CD1B1.創(chuàng)新設(shè)計·素能培優(yōu)[

能力提升]4.空間線面位置關(guān)系的判斷與證明推理論證是由前提和結(jié)論兩部分組成；論證是由已有的正確的前提到被論證的結(jié)論的一連串的推理過程，推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法．典例(2015·青島模擬)如圖，在四棱錐E－ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE＝DE＝2，F(xiàn)為線段DE的中點．求證：BE∥平面ACF；求四棱錐E－ABCD的體積．【審題】要證(1)題中的線面平行，就要在平面

ACF內(nèi)找到一條直線，使這條直線和BE平行，三角形

BED過點F的中位線即是；求(2)題中四棱錐的體積關(guān)鍵是求出這個四棱錐的高，利用其中的垂直關(guān)系即可．【解析】

(1)證明

連接BD，設(shè)BD和AC交于點O，連接OF，∵ABCD為正方形，∴O為BD中點，∵F為DE中點，∴OF∥BE，∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，∴BE∥平面ACF.(2)作EG⊥AD于G.∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵ABCD為正方形，∴CD⊥AD，∵AE∩AD＝A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，∴C∵AE⊥平面∵AE＝DE＝2，∴AD＝∴四棱錐E－ABCD

的體積□ABCD3

3V＝1S

×EG＝1×(22)2×32＝8

2.【點評】(1)幾何的證明問題要緊扣相關(guān)的定理，注意步驟的完整性，如第(1)題中的“∵BE?平面

ACF，OF?平面ACF.”(2)求幾何體的體積除了直接計算外，還有變換頂點法和割補法，有時應(yīng)用起來更為簡單．【變題】

如