考研數(shù)學容易混淆的概念辨析歸納

高等數(shù)學部分易混淆概念第一章：函數(shù)與極限一、數(shù)列極限大小的判斷例1：判斷命題是否正確．若SKIPIF1<0，且序列SKIPIF1<0的極限存在，SKIPIF1<0解答：不正確．在題設下只能保證SKIPIF1<0，不能保證SKIPIF1<0．例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0．例2．選擇題設SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（）A．存在且等于零B.存在但不一定等于零C．不一定存在D.一定不存在答：選項C正確分析：若SKIPIF1<0，由夾逼定理可得SKIPIF1<0，故不選A與D.取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不存在，所以B選項不正確，因此選C．例3．設SKIPIF1<0SKIPIF1<0（）A．都收斂于SKIPIF1<0B.都收斂，但不一定收斂于SKIPIF1<0C．可能收斂，也可能發(fā)散D.都發(fā)散答：選項A正確．分析：由于SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0及夾逼定理得SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以選項A．二、無界與無窮大無界：設函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，如果存在正數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0則稱函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有界，如果這樣的SKIPIF1<0不存在，就成函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無界；也就是說如果對于任何正數(shù)SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，那么函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無界．無窮大：設函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的某一去心鄰域內有定義（或SKIPIF1<0大于某一正數(shù)時有定義）．如果對于任意給定的正數(shù)SKIPIF1<0（不論它多么大），總存在正數(shù)SKIPIF1<0（或正數(shù)SKIPIF1<0），只要SKIPIF1<0適合不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），對應的函數(shù)值SKIPIF1<0總滿足不等式SKIPIF1<0則稱函數(shù)SKIPIF1<0為當SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）時的無窮大．例4：下列敘述正確的是：②如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0某鄰域內無界，則SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0某鄰域內無界解析：舉反例說明．設SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0鄰域無界，但SKIPIF1<0時SKIPIF1<0不是無窮大量，則①不正確．由定義，無窮大必無界，故②正確．結論：無窮大必無界，而無界未必無窮大．三、函數(shù)極限不存在SKIPIF1<0極限是無窮大當SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）時的無窮大的函數(shù)SKIPIF1<0，按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的，但是為了便于敘述函數(shù)的性態(tài)，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”．但極限不存在并不代表其極限是無窮大．例5：函數(shù)SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的極限不存在．四、如果SKIPIF1<0不能退出SKIPIF1<0例6：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，但由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的任一鄰域的無理點均沒有定義，故無法討論SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的極限．結論：如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的某一去心鄰域內滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．反之，SKIPIF1<0為無窮大，則SKIPIF1<0為無窮小。五、求函數(shù)在某點處極限時要注意其左右極限是否相等，求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負無窮大時極限是否相等。例7．求極限SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，因而SKIPIF1<0時SKIPIF1<0極限不存在。SKIPIF1<0，因而SKIPIF1<0時SKIPIF1<0極限不存在。六、使用等價無窮小求極限時要注意：（1）乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用。這時，一般可以用泰勒公式來求極限。（2）注意等價無窮小的條件，即在哪一點可以用等價無窮小因子替換例8：求極限SKIPIF1<0分析一：若將SKIPIF1<0寫成SKIPIF1<0，再用等價無窮小替換就會導致錯誤。分析二：用泰勒公式SKIPIF1<0原式SKIPIF1<0。例9：求極限SKIPIF1<0解：本題切忌將SKIPIF1<0用SKIPIF1<0等價代換，導致結果為1。SKIPIF1<0七、函數(shù)連續(xù)性的判斷（1）設SKIPIF1<0在SKIPIF1<0間斷，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0間斷。而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可能連續(xù)。例10．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0間斷，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)。若設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0間斷，但SKIPIF1<0在SKIPIF1<0均連續(xù)。（2）“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點連續(xù)”是“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點連續(xù)”的充分不必要條件。分析：由“若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”可得“如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0”，因此，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點連續(xù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點連續(xù)。再由例10可得，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點連續(xù)并不能推出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點連續(xù)。（3）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)。其余結論均不一定成立。第二章導數(shù)與微分一、函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系可導必連續(xù)，連續(xù)不一定可導。例11．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連讀，在SKIPIF1<0處不可導。二、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可導性的關系（1）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可導是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可導的充要條件。（2）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可導的充要條件。三、一元函數(shù)可導函數(shù)與不可導函數(shù)乘積可導性的討論設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，但不可導，又SKIPIF1<0存在，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可導的充要條件。分析：若SKIPIF1<0，由定義SKIPIF1<0反之，若SKIPIF1<0存在，則必有SKIPIF1<0。用反證法，假設SKIPIF1<0，則由商的求導法則知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可導，與假設矛盾。利用上述結論，我們可以判斷函數(shù)中帶有絕對值函數(shù)的可導性。四、在某點存在左右導數(shù)時原函數(shù)的性質（1）設SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處存在左、右導數(shù)，若相等則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導；若不等，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)。（2）如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內連續(xù)，SKIPIF1<0，且設SKIPIF1<0則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處必可導且SKIPIF1<0。若沒有如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內連續(xù)的條件，即設SKIPIF1<0，則得不到任何結論。例11．SKIPIF1<0，顯然設SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此極限SKIPIF1<0不存在，從而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處不連續(xù)不可導。第三章微分中值定理與導數(shù)的應用一、若SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再由微分中值定理SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，再由微分中值定理SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可證SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0第八章多元函數(shù)微分法及其應用8.1多元函數(shù)的基本概念1.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得當SKIPIF1<0,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時,有SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0成立了嗎?成立,與原來的極限差異只是描述動點SKIPIF1<0與定點SKIPIF1<0的接近程度的方法不一樣,這里采用的是點的矩形鄰域,,而不是常用的圓鄰域,事實上這兩種定義是等價的.2.若上題條件中SKIPIF1<0的條件略去,函數(shù)SKIPIF1<0就在SKIPIF1<0連續(xù)嗎?為什么?如果SKIPIF1<0條件沒有,說明SKIPIF1<0有定義,并且SKIPIF1<0包含在該點的任何鄰域內,由此對SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0,因此我們得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即函數(shù)在SKIPIF1<0點連續(xù).3.多元函數(shù)的極限計算可以用洛必塔法則嗎?為什么?不可以,因為洛必塔法則的理論基礎是柯西中值定理.8.2偏導數(shù)1.已知SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0那么解出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0或者SKIPIF1<08.3全微分極其應用1.寫出多元函數(shù)連續(xù),偏導存在,可微之間的關系偏導數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0連續(xù)SKIPIF1<0Z可微SKIPIF1<0SKIPIF1<0連續(xù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0極限存在偏導數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0連續(xù)SKIPIF1<0偏導數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0存在2.判斷二元函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0在原點處是否可微.對于函數(shù)SKIPIF1<0,先計算兩個偏導數(shù):SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,則上式為SKIPIF1<0因而SKIPIF1<0在原點處可微.8.4多元復合函數(shù)的求導法則1.設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0可微,求SKIPIF1<0.SKIPIF1<08.5隱函數(shù)的求導設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0都是由方程SKIPIF1<0所確定的具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),證明SKIPIF1<0.對于方程SKIPIF1<0,如果他滿足隱函數(shù)條件.例如,具有連續(xù)偏導數(shù)且SKIPIF1<0,則由方程SKIPIF1<0可以確定函數(shù)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的函數(shù),而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是自變量,此時具有偏導數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0同理,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.8.6多元函數(shù)的極值及其求法1.設SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處具有偏導數(shù),若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0在該點取得極值,命題是否正確?不正確,見多元函數(shù)極值存在的充分必要條件.2.如果二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域內有惟一的極小值點，且無極大值，那么該函數(shù)是否在該點取得最小值？不一定，對于一元函數(shù)來說上述結論是成立的，但對于多元函數(shù)，情況較為復雜，一般來說結論不能簡單的推廣。例如，二元函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由二元函數(shù)極值判別法：SKI