四邊形知識點經典總結

四邊形知識點：一、關系構造圖：二、知識點解說：1．平行四邊形的性質（要點）：（1）兩組對邊分別平行；（2）兩組對邊分別相等；ABCD是平行四邊形?（3）兩組對角分別相等；（4）對角線相互均分；（5）鄰角互補.平行四邊形的判斷（難點）：.矩形的性質：（1）擁有平行四邊形的全部通性;由于ABCD是矩形?（2）四個角都是直角;（3）對角線相等.(4)是軸對稱圖形.它有兩條對稱軸．矩形的判斷：矩形的判斷方法：(1)有一個角是直角的平行四邊形；有三個角是直角的四邊形；對角線相等的平行四邊形；對角線相等且相互均分的四邊形．?四邊形ABCD是矩形.菱形的性質：（1）擁有平行四邊形的全部通性；由于ABCD是菱形?（2）四個邊都相等；（3）對角線垂直且均分對角.菱形的判斷：（1）平行四邊形一組鄰邊等（2）四個邊都相等?四邊形四邊形ABCD是菱形.（3）對角線垂直的平行四邊形正方形的性質：（1）擁有平行四邊形的全部通性；ABCD是正方形?（2）四個邊都相等，四個角都是直角；（3）對角線相等垂直且均分對角.正方形的判斷：（1）平行四邊形一組鄰邊等（2）菱形一個直角（3）矩形一組鄰邊等

一個直角

?四邊形

ABCD是正方形

.名定義性質判斷面積稱兩組對邊分①對邊平行；①定義；S=ah(a為一邊別平行的四②對邊相等；②兩組對邊分別相等的四邊長.h為這條邊上平的高)邊形叫做平③對角相等；形；行行四邊形。④鄰角互補；③一組對邊平行且相等的四四⑤對角線相互均分；邊形；邊⑥是中心對稱圖形④兩組對角分別相等的四邊形形；⑤對角線相互均分的四邊形。有一個角是除擁有平行四邊形的性質外.還有：①有三個角是直角的四邊形S=ab(a為一邊矩直角的平行①四個角都是直角；②對角線相等；是矩形；②對角線相等的平行長.b為另一邊長)形四邊形叫做③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖四邊形是矩形；③定義。矩形形。有一組鄰邊除擁有平行四邊形的性質外.還有①①四條邊相等的四邊形是菱①S=ah(a為一邊相等的平行四邊形相等；②對角線相互垂直.且形；②對角線垂直的平行四邊長.h為這條邊上菱的高)；四邊形叫做每一條對角線均分一組對角；③既是形是菱形；③定義。形②(b、c為兩條對菱形。中心對稱圖形又是軸對稱圖形。角線的長)有一組鄰邊擁有平行四邊形、矩形、菱形的性質：①有一組鄰邊相等的矩形是①(a為邊長)；正相等且有一①四個角是直角.四條邊相等；②對正方形；②有一個角是直角的②(b為對角線長)方個角是直角角線相等.相互垂直均分.每一條對菱形是正方形；③定義。形的平行四邊角線均分一組對角；③既是中心對稱形叫做正方圖形又是軸對稱圖形。形三．精典例題解答：1．已知：如圖.E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點.AE=CF。求證：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。證明：（1）∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE又ABCD是平行四邊形.∴AD=∥BC∴∠DAF=∠BCE在△ADF與△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS）（2）∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠BEC∴DF∥EB例1圖

例2圖2．如圖.平行四邊形

ABCD的對角線

AC、BD訂交于點、F是直線

AC上的兩點

.而且

AE=CF.求證：四邊形

BFDE是平行四邊形。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形OA==OD又∵AE=CFOA+AE=OC+CF即OE=OF四邊形BFDE是平行四邊形3．如圖.在梯形紙片ABCD中.AD∥>CD.將紙片沿過點D的直線折疊.使點C落在AD上的點C’處.折痕DE交BC于點E.連結。求證：四邊形是菱形。證明：依據題意可知則..∵AD∥BC∴∴∠CDE=∠CED∴CD=CE∴∴四邊形為菱形例3圖問線段

4．把正方形ABCD繞著點A.按順時針方向旋轉獲得正方形HG與線段HB相等嗎請先察看猜想.而后再證明你的猜想。

AEFG.邊

FG與

BC交于點

H（如圖）。試解：HG=HB。證法1：連結AH.∵四邊形都是正方形∴∠B=∠G=90°由題意知AG=AB.又AH=AH∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）∴HG=HB證法2：連結GB∵四邊形都是正方形∴∠ABC=∠AGF=90°由題意知AB=AG∴∠AGB=∠ABG∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGBHG=HB5．如圖.正方形ABCD繞點A逆時針旋轉n°后獲得正方形AEFG.邊EF與CD交于點O。（1）以圖中已標有字母的點為端點連結兩條線段（正方形的對角線除外）.要求所連結的兩條線段相交且相互垂直.交說明這兩條線段相互垂直的原因；（2）若正方形的邊長為2cm.重疊部分（四邊形AEOD）的面積為.求旋轉的角度n。解：（1）我連結的兩條訂交且相互垂直的線段是____AO____和____DE____。原因以下：∵在Rt△ADO與Rt△AEO中.AD==AO.Rt△ADO≌Rt△AEO∠DAO=∠OAE（即AO均分∠DAE）AO⊥DE（等腰三角形的三線合一）注：其余的結論也建立如GD⊥BE。2）∵四邊形AEOD的面積為三角形ADO的面積=AD=2∴∴∠DAO=30°∴∠EAB=30°即旋轉的角度是30°例5圖例6圖6．四邊形ABCD、DEFG都是正方形.連結AE、CG。1）求證：AE=CG；2）察看圖形.猜想AE與CG之間的地點關系.并證明你的猜想。證明：（1）如圖.AD==DG.∠ADC=∠GDE=90°又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE∴△ADE≌△CDGAE=CG2）猜想：AE⊥CG。證明：如圖.設AE與CG交點為與CG交點為N∵△ADE≌△CDG∴∠DAE=∠DCG又∵∠ANM=∠CND∴△AMN∽△CDN∴∠AMN=∠ADC=90°AE⊥CG7．已知：如圖.在△ABC中.AB=⊥BC.垂足為點是△ABC外角∠CAM的均分線.CE⊥AN.垂足為點E.1）求證：四邊形ADCE為矩形；2）當△ABC知足什么條件時.四邊形ADCE是一個正方形并給出證明。證明：（1）在△ABC中.AB=⊥BC∴∠BAD=∠DACAN是△ABC外角∠CAM的均分線∴∠MAE=∠CAE∴又∵AD⊥⊥AN∴∠ADC=∠CEA=90°∴四邊形ADCE為矩形2）當時（答案不獨一）.四邊形ADCE是正方形。證明：∵AB=⊥BC于D∴又DC=AD由（1）四邊形ADCE為矩形∴矩形ADCE是正方形例8圖8．將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊.使點C與A重合.點D落各處.折痕為EF。1）求證：△ABE≌△AD′F；2）連結CF.判斷四邊形AECF是什么特別四邊形證明你的結論。證明：（1）由折疊可知：..∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B=∠=CD.∠C=∠BAD∴∠B=∠D′.AB=AD′D′AE=∠BAD.即∠1+∠2=∠2+∠3∴∠1=∠3∴△ABE≌△AD′F2）四邊形AECF是菱形。由折疊可知：AE=EC.∠4=∠5∵四邊形ABCD是平行四邊形AD∥BC∠5=∠6∠4=∠6AF=AEAE=ECAF=EC又∵AF∥EC∴四邊形AECF是平行四邊形AF=AE∴四邊形AECF是菱形。9．以下列圖.已知P正方形ABCD的對角線AC上一點(不與A、C重合).PE⊥BC于點⊥CD于點F．1）求證：BP=DP；2）若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉.在旋轉過程中能否總有BP=DP假如.請賜予證明；若不是.請用反例加以說明；3）試選用正方形ABCD的兩個極點.分別與四邊形PECF的兩個極點連結.使獲得的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度一直相等.并證明你的結論．思路剖析：（1）解法一：在△ABP與△ADP中.利用全等可得BP=DP．解法二：利用正方形的軸對稱性.可得BP=DP．（2）不是總建立．當四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉.點P旋轉到BC邊上時DP>DC>BP此.時BP=DP不建立．說明：未用舉反例的方法說理的不得分．3）連結BE、DF.則BE與DF一直相等．在圖中.可證四邊形PECF為正方形.在△BEC與△DFC中.可證△BEC≌△DFC．進而有BE=DF10．為創(chuàng)立綠色校園.學校決定對一塊正方形的空地進行栽種花草.現向學生搜集設計圖案．圖案要求只好用圓弧在正方形內加以設計.使正方形和所畫的圖弧組成的圖案.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．栽種花草部分用暗影表示．請你在圖③、圖④、圖⑤中畫出三種不一樣的的設計圖案．提示：在兩個圖案中.只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種.比如：圖①、圖②只好算一種．解：以下為不一樣情況下的部分正確畫法.答案不獨一．11．如圖.等腰梯形ABCD中.AB==20.∠C=30°。點M、N同時以同樣速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包含端點）上運動。1）設ND的長為x.用x表示出點N到AB的距離.并寫出x的取值范圍。2）設.用t表示△AMN的面積。3）求△AMN的面積的最大值.并判斷取最大值時△AMN的形狀。解：（1）過點N作BA的垂線NP.交BA的延伸線于點P。由已知：.?！咚倪呅蜛BCD是等腰梯形.AB∥CD.∠D=∠C=30°.∴∠PAN=∠D=30°。在Rt△APN中..即點N到AB的距離為。∵點N在AD上..點M在AB上..x的取值范圍是。2）依據（1）.。3）∵.∴當t=0時.即x=10時.有最大值25。當x=10時.即ND=AM==AD-ND=10即.AM=AN。此時.△AMN為等腰三角形。12．（08通州22改編）如圖.在ABCD中.AB==6cm.∠DAB=60°.點M是邊AD上一點.且DM=2cm點.E、F分別是邊AB、BC上的點.EM、CD的延伸線交于交AD于O.設AE=CF=x.1）試用含x的代數式表示△