二次函數(shù)應(yīng)用(拱橋問題)

-.z.二次函數(shù)綜合應(yīng)用題〔拱橋問題〕適用學科數(shù)學適用年級初中三年級適用區(qū)域全國課時時長〔分鐘〕60知識點二次函數(shù)解析式確實定、二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用教學目標1.掌握二次函數(shù)解析式求法。2學會用二次函數(shù)知識解決實際問題，掌握數(shù)學建模的思想，進一步熟悉，點坐標和線段之間的轉(zhuǎn)化。3.進一步體驗應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的過程，體會到數(shù)學來源于生活，又效勞于生活，感受數(shù)學的應(yīng)用價值。教學重點1.從實際問題中抽象出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并能理解坐標系中點坐標和線段之間關(guān)系；

2.根據(jù)情景建立適宜的直角坐標系，并將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化為坐標系中點的坐標教學難點如何根據(jù)情景建立適宜的直角坐標系，并判斷直角坐標系建立的優(yōu)劣。教學過程復習預(yù)習平時的時候我們能夠看到小船可以從橋的下面通過，但是當夏天雨季到來，水平面上升，這時小船還能從橋的下面通過嗎？對于這樣的問題我們可以利用我們所學的二次函數(shù)來解決。這節(jié)我們就看二次函數(shù)解決拱橋問題。二、知識講解考點/易錯點1：二次函數(shù)解析式的形式1、一般式：y=a*2+b*+c〔a≠0〕2、頂點式：y=a(*-h)2+k〔a≠0〕頂點坐標〔h，k〕直線*=h為對稱軸，k為頂點坐標的縱坐標，也是二次函數(shù)的最值3、雙根式：y=a(*-)(*-)〔a≠0〕(,是拋物線與*軸交點的橫坐標)并不是什么時候都能用雙根式，當拋物線與*軸有交點時才行4、頂點在原點：5、過原點：6、頂點在y軸：考點/易錯點2：建立平面直角坐標系在給定的直角坐標系,中會根據(jù)坐標描出點的位置2、能建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?描述物體的位置。三、例題精析【例題1】【題干】有一座拋物線形拱橋，正常水位時，橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．〔1〕在如下圖的直角坐標系中，求出該拋物線的表達式；〔2〕在正常水位的根底上，當水位上升h〔m〕時，橋下水面的寬度為d〔m〕，求出將d表示為h的函數(shù)表達式；〔3〕設(shè)正常水位時橋下的水深為2m，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于18m，求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行．【答案】〔1〕設(shè)拋物線的解析式為y＝a*2，且過點〔10，－4〕∴故〔2〕設(shè)水位上升hm時，水面與拋物線交于點〔〕則∴〔3〕當d＝18時，∴當水深超過2.76m時會影響過往船只在橋下順利航行?！窘馕觥宽旤c式：y=a〔*-h〕+k〔a，h，k是常數(shù)，a≠0〕，其中〔h，k〕為頂點坐標．【例題2】【題干】如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時，水面寬AB=10m，如果水位上升2m，就將到達戒備線CD，這時水面的寬為8m.假設(shè)洪水到來，水位以每小時0.1m速度上升，經(jīng)過多少小時會到達拱頂"【答案】解：以AB所在的直線為*軸,AB中點為原點，建立直角坐標系，則拋物線的頂點E在y軸上,且B、D兩點的坐標分別為〔5，0〕、〔4，2〕設(shè)拋物線為y=a*2+k.

由B、D兩點在拋物線上，有解這個方程組，得所以，頂點的坐標為〔0，〕則OE=÷0.1=〔h〕所以，假設(shè)洪水到來，水位以每小時0.1m速度上升，經(jīng)過小時會到達拱頂.【解析】以AB所在的直線為*軸,AB中點為原點，建立直角坐標系，求出解析式【例題3】【題干】如圖是拋物線拱橋，水位在AB位置時，水面寬，水位上升3m，到達戒備線CD，這時水面寬．假設(shè)洪水到來時，水位以每小時0.25m的速度上升，求水過戒備線后幾小時淹到拱橋頂？OO*C*yDBAEF【答案】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為：y＝a*2＋h又知B(2，0)，D(2，3)∴解得：∴y＝－*2＋6∴E(0，6)即OE＝6EF＝OE－OF＝3t＝＝＝12(小時)答：水過戒備線后12小時淹到拱橋頂．【解析】建立直角坐標系，求出解析式四、課堂運用【根底】1、心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的承受能力y與提出概念所用的時間*(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y＝－0.1*2＋2.6*＋43(0≤*≤30)．y值越大，表示承受能力越強．(1)*在什么范圍內(nèi)，學生的承受能力逐步增加？*在什么范圍內(nèi)，學生的承受能力逐步降低？〔2〕第10分鐘時，學生的承受能力是多少？〔3〕第幾分鐘時，學生的承受能力最強？【穩(wěn)固】1、有一座拋物線形拱橋，拋物線可用y=表示．在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時，水面CD的寬是10m．(1)在正常水位時，有一艘寬8m、高2.5m的小船，它能通過這座橋嗎"(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地，甲地距此橋280km(橋長忽略不計)．貨車正以每小時40km的速度開往乙地，當行駛1小時時，突然接到緊急通過:前方連降暴雨，造成水位以每小時0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車接到通知時水位在CD處，當水位到達橋拱最高點O時，制止車輛通行)．試問:如果貨車按原來的速度行駛，能否平安通過此橋"假設(shè)能，請說明理由．假設(shè)不能，要使貨車平安通過此橋，速度應(yīng)超過每小時多少千米"【拔高】1、一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測得，當水面寬AB＝1.6m時，涵洞頂點與水面的距離為2.4m。這時，離開水面1.5m處，涵洞寬ED是多少"是否會超過1m"．五、課程小結(jié)用函數(shù)的觀點來認識問題，從實際問題中抽象出數(shù)學問題；〔2〕根據(jù)題意建立直角坐標系，建立數(shù)學模型，解決實際問題；〔3〕找到兩個變量之間的關(guān)系；掌握數(shù)形結(jié)合思想；〔4〕從拱橋問題中體會到函數(shù)模型對解決實際問題的價值．感受數(shù)學在生活實際中使用六、課后作業(yè)【根底】如圖，拋物線y=*2+b*+c經(jīng)過坐標原點，并與*軸交于點A〔2，0〕．求此拋物線的解析式?！痉€(wěn)固】如下圖，有一座拱橋圓弧形，它的跨度為60米，拱高為18米，當洪水泛濫到跨度只有30米時，就要采取緊急措施，假設(shè)拱頂離水面只有4米，即PN=4米時，是否采取緊急措施"【拔高】1、有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為