內(nèi)蒙古呼和浩特市回民中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切，切點(diǎn)為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．2．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．03．中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種4．框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，實(shí)際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，5．設(shè)為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．7．已知曲線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線截圓所得弦長(zhǎng)為（）A． B．2 C．4 D．8．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）A．B．C．D．9．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．2910．已知,則()A． B． C． D．11．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或12．某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場(chǎng)有名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表，場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬(wàn)名觀眾參與了評(píng)分，組織方將觀眾評(píng)分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．實(shí)數(shù)，滿足，如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則的最小值為_______．14．設(shè)、、、、是表面積為的球的球面上五點(diǎn)，四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為__________.15．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，，若對(duì)任意都有成立，則的值為__________．16．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作傾斜角為的直線，已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求證：對(duì)于任意，.18．（12分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知點(diǎn)和橢圓.直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的值.20．（12分）已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)的和.21．（12分）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的面積.22．（10分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.2、C【解析】

集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù)，即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，即可求解.【詳解】由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，安排在剩下的3個(gè)位置，有種，所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，根據(jù)題設(shè)條件，先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算．【詳解】．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式，解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系．6、D【解析】

先化簡(jiǎn)得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、C【解析】

設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進(jìn)而得到切線方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，抽象出直線方程，且過定點(diǎn)為已知圓的圓心，即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè)，則的斜率分別為，所以的方程為，即，，即，由于都過點(diǎn)，所以，即都在直線上，所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)，即直線過圓心，則直線截圓所得弦長(zhǎng)為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8、D【解析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.9、D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.10、B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．11、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.12、C【解析】

計(jì)算出、，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場(chǎng)外有數(shù)萬(wàn)名觀眾，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為，確定出的值，進(jìn)而確定出C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義，從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線的截距最大時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線為，作出直線，交于A點(diǎn)，由圖象可知，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，所以直線也過A點(diǎn)，由，得，代入，得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．等價(jià)于點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，取得最小值，最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在解題的過程中，注意正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.14、【解析】

根據(jù)球的表面積求得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為，求得四棱錐的表達(dá)式，利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為，棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查球的表面積有關(guān)計(jì)算，考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.15、【解析】

由已知條件得出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解出這兩個(gè)量，計(jì)算出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對(duì)應(yīng)的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，.所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，對(duì)任意都有成立，則為數(shù)列的最大值，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的計(jì)算，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、【解析】

方法一：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡(jiǎn)得，解得或，從而得或，則．方法二：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，故.方法三：將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離，則.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn)，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上，列出方程組，求出，值；（2）首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，即將不等式右邊式子左移，得，構(gòu)造函數(shù)并判斷其符號(hào)，這里應(yīng)注意的取值范圍，從而證明不等式.【詳解】解：（1）由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考慮函數(shù)，，則.而，故當(dāng)時(shí)，，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問題，以及不等式證明問題，考查了分析及解決問題的能力，其中，不等式問題中結(jié)合構(gòu)造函數(shù)實(shí)現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問題是關(guān)鍵.18、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，即可求出結(jié)論；（2）化簡(jiǎn)集合，根據(jù)確定集合的端點(diǎn)位置，建立的不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）由，即得或，所以集合或.（2）集合，由得或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，集合間的關(guān)系求參數(shù)，考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）或【解析】

（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此求得三角形的面積.（2）法一：根據(jù)的坐標(biāo)求得的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)都代入橢圓方程，化簡(jiǎn)后求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的值.法二：設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)后寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）設(shè)，，若，則直線的方程為，由，得，解得，，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則且.（2）法一：設(shè)點(diǎn)因?yàn)?，，所以又點(diǎn)，都在橢圓上，所以解得或所以或.法二：設(shè)顯然直線有斜率，設(shè)直線的方程為由，得所以又解得或所以或所以或.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）由基本量法，求出公比后可得通項(xiàng)公式；（2）求出，用裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)?，所以解得（舍）或所以，即?）據(jù)（1）求解知，，所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和．解題方法是基本量法．基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法，務(wù)必掌握．21、（1）；（2）【解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得出.【詳解】（1）由已知可得，所以，因?yàn)樵阡J角中，，所以（2）因?yàn)椋?，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【點(diǎn)睛】此類問題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力和利用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能