浙江省寧波市2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

第26頁/共26頁寧波市2022學(xué)年第一學(xué)期高考模擬考試高三數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求對數(shù)函數(shù)的定義域化簡集合，再解二次不等式化簡集合，從而利用集合的交集運算求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，得，故，由得，解得，故，所以利用數(shù)軸法易得.故選：B.2.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，，所以，即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以.故選:B.3.若（，為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則求得參數(shù)，再求目標復(fù)數(shù)的模長即可.【詳解】因為，故，故，則.故選：B.4.一種藥品在病人血液中的量不低于1500mg時才有療效，如果用藥前，病人血液中該藥品的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3000mg的此藥品，為了持續(xù)保持療效，則最長需要在多少小時后再次注射此藥品（，結(jié)果精確到0.1）（）A.2.7 B.2.9 C.3.1 D.3.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的式子，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)注射個小時后需要向病人血液中再次注射該藥品，則，由得：故的最大值為3.1,故選：C5.已知兩個非零向量，的夾角為60°，且，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的垂直關(guān)系可得，進而根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】由得，，所以，故選：C6.已知，，動點C在曲線T：上，若△ABC面積的最小值為1，則不可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，求出直線的方程，利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，再求出，可得，分別代入、、及，判斷最小值是否為1即可.【詳解】設(shè)，因為，所以，即.直線的方程為，即.因為，，所以.則點到直線的距離為.因為，，所以.所以.當時，，可得當時，，符合題意；當時，，可得當時，，符合題意；當時，，可得當時，，符合題意；當時，，可得當時，，不符合題意故不可能為.故選:D.7.若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，且，，注意到，則將問題轉(zhuǎn)化為求的范圍即可．【詳解】令，且，，根據(jù)，將，，又，，∴，又，∴，即，故選：A．8.在正四棱臺中，，．當該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正棱臺的性質(zhì)，表示出棱臺的高與邊長之間的關(guān)系，根據(jù)棱臺的體積公式，將體積函數(shù)式子表示出來，利用不等式求解最值，得到棱臺的高.因為外接球的球心一定在棱臺上下底面中心的連線及其延長線上，通過作圖，數(shù)形結(jié)合，求出外接球的半徑，得到表面積.【詳解】圖1設(shè)底邊長為a，原四棱錐的高為h，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，當且僅當，即時等號成立，此時棱臺的高為1.上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在的直線上.圖2當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段上，如圖2，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.圖3當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，顯然球心M在線段的延長線上，如圖3，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時，外接球的表面積為.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.B.的圖象關(guān)于點中心對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上有2個極值點【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)圖象關(guān)于直線對稱可求得，從而得到解析式，賦值法可判斷AB，整體代入法可判斷C，根據(jù)三角函數(shù)中極值點的含義可判斷D.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，解得，，而，所以，故.對于A，，A正確；對于B，，所以圖象關(guān)于點中心對稱，B正確；對于C，令，即，，當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，不是其子區(qū)間，C錯誤；對于D，三角函數(shù)的極值點即為函數(shù)圖像對稱軸所對應(yīng)的橫坐標，令，得，當和時，和為在區(qū)間上的2個極值點，D正確.故選：ABD10.已知直線：與圓：相交于兩點，與兩坐標軸分別交于兩點，記的面積為，的面積為，則（）A. B.存在，使 C. D.存在，使【答案】ABC【解析】【分析】運用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合面積公式和點到直線距離，兩點間距離，直線與圓弦長公式即可.【詳解】A.直線：，當時，，當時，，所以，因為圓心為，所以圓心到直線的距離，所以根據(jù)直線被圓截得的弦長公式有，解得，所以，當且僅當即，即，解得時取得等號.所以，故A正確.B.直線：，當時，；當時，，所以當時，，故B正確.C.直線：過定點在圓內(nèi)，因為圓：，圓心為，所以圓心到直線的距離因為，當且僅當時，,所以被截得的弦長最短，所以.故C正確.D.要使，則與重合，此時的直線方程為不過定點，故D錯.故選:ABC.11.已知正實數(shù)、滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，可判斷AB選項；由已知可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合的取值范圍，可得出的取值范圍，可判斷CD選項.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，因為，解得，當且僅當時，取最大值，則A對B錯；因為，所以，，令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，C對D錯.故選：AC.12.如果定義在上的函數(shù)滿足：對任意，有，則稱其為“好函數(shù)”，所有“好函數(shù)”形成集合．下列結(jié)論正確的有（）A.任意，均有B.存在及，使C.存在實數(shù)M，對于任意，均有D.存在，對于任意，均有【答案】AC【解析】【分析】首先對于A，取，即可證明；對于BCD，利用歸納推理以及反證法即可求解.【詳解】A項：，取，由于，故，正確；B項：假如及，使，現(xiàn)任取，有，因此，從而，令，得，再任取，有，令，得，這表明在處無定義，與定義在上矛盾，錯誤；C項：用反證法，反設(shè)結(jié)論得,,使得，那么取，使得，由B分析知有矛盾，所以假設(shè)不成立，因此原命題為真，正確；D項：若此選項成立，則，與C矛盾，錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：對于抽象函數(shù)以及函數(shù)不等式常用的證明方法：（1）特殊值法：可以通過例舉特殊值，驗證結(jié)論錯誤；（2）反證法：可以通過反證法，先假設(shè)，再證明得出矛盾，則原命題為真；（3）歸納推理法：歸納推理的一般步驟是先證明當取第一個值時，命題正確；假設(shè)當時，命題正確，證明當時命題也正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則__________．【答案】##0.5【解析】【分析】利用輔助角公式得即可求出即可求解.【詳解】因為,所以即，所以，所以故答案為:.14.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垜與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則__________．【答案】【解析】【分析】由累加法即可求得，再利用裂項相消法即可求解.【詳解】由題可知：，即有，所以，當n=1成立所以，所以.故答案為：15.在棱長均相等的四面體ABCD中，P為棱AD（不含端點）上的動點，過點A的平面α與平面PBC平行．若平面α與平面ABD，平面ACD的交線分別為m，n，則m，n所成角的正弦值的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，進而得或其補角即為m，n所成的平面角，結(jié)合余弦定理即可求解余弦的最小值，即可求解正弦的最值.【詳解】過點A的平面α與平面PBC平行．若平面α與平面ABD，平面ACD的交線分別為m，n，由于平面平面，平面平面,，平面平面所以,所以或其補角即為m，n所成的平面角，設(shè)正四棱錐ABCD的棱長為1，，則，在中，由余弦定理得：，同理,故在中，，由于，則，進而，當時取等號，故的最小值為，進而，故的最大值為，故答案為：16.已知A，B為橢圓上兩個不同的點，F(xiàn)為右焦點，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點T，則__________．【答案】【解析】【分析】設(shè),利用焦半徑公式得到,設(shè)，寫出垂直平分線方程，代入，化簡得到值，最終求出的值.【詳解】首先我們證明橢圓的焦半徑公式左準線方程為，右準線方程為，，，，同理可證，因本題橢圓離心率:，設(shè)由焦半徑公式:得:,即中點，，則垂直平分線斜率為根據(jù)點在橢圓上，則有，，作差化簡得，則線段的垂直平分線方程為,代入得:,即,則.故答案為：.【點睛】橢圓中常見的二級結(jié)論對解決橢圓相關(guān)難題，尤其是選擇填空題具有很好的作用，例如本題中的焦半徑公式，，，點在橢圓上適合橢圓方程這一條件做題時容易忽略，但是卻是設(shè)點法做題必要的步驟.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前n項和滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.【小問1詳解】當，，故，因為，當時，,兩式相減得：，即，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以．【小問2詳解】，故，故，令①，②，①-②得即，故．18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為,．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化邊即可求解;(2)根據(jù)弦化切將原等式變?yōu)椋腔吋纯傻玫?，再結(jié)合可得，，利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】因為,結(jié)合余弦定理，得，即，所以．【小問2詳解】由，即，即即，又，所以，，所以.19.已知函數(shù)，．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）參變分離可得在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得解.【小問1詳解】解：當時，，所以，，所以，故所求切線方程為．【小問2詳解】解：因為在上恒成立，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因，，由零點存在定理知，存在唯一，使，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，從而．20.如圖，直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別是AB，的中點．（1）證明：EF⊥BC；（2）若，直線EF與平面ABC所成的角為，求平面與平面FEC夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)取BC中點H，分別連結(jié)EH，F(xiàn)H，則，得FH⊥平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理證明BC⊥平面EFH，即可證明；(2)根據(jù)題意，由（1）知∠FEH為EF與平面ABC所成的角，求出，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法分別求出平面CEF與平面的法向量，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義計算即可.【小問1詳解】證法1：取BC中點H，分別連結(jié)EH，F(xiàn)H，因為F為中點，所以，因為三棱柱為直棱柱，所以平面ABC，所以FH⊥平面ABC，由平面ABC，所以FH⊥BC，又E為AB的中點，則，且，所以，因為EH，平面EFH，，所以BC⊥平面EFH，因為平面EFH，所以．證法2：設(shè)，，，則，由題知，，，所以，，從而，即．【小問2詳解】由（1）知∠FEH為EF與平面ABC所成的角，所以，由，得．如圖，以CA，CB，分別為x軸，y軸，z軸正向，建立空間直角坐標系．則，，，，，，，，，，，設(shè)平面CEF的一個法向量為，由得，取，平面的法向量為，由得，取，設(shè)平面CEF與平面的夾角為，則．所以平面CEF與平面夾角的余弦值為.21.已知點，在雙曲線E：上．（1）求雙曲線E的方程；（2）直線l與雙曲線E交于M，N兩個不同的點（異于A，B），過M作x軸的垂線分別交直線AB，直線AN于點P，Q，當時，證明：直線l過定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將點坐標代入雙曲線方程，即可求解值，進而得雙曲線方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達定理，根據(jù)向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，即可得的關(guān)系，進而可得直線過定點.【小問1詳解】由題知，，得，所以雙曲線E的方程為．【小問2詳解】由題意知，當l⊥x軸時，與重合，由可知：是的中點，顯然不符合題意，故l的斜率存在，設(shè)l的方程為，聯(lián)立，消去y得，則，即，且，設(shè)，，，，AB方程為，令，得，AN方程為，令得，由，得，即，即，即，將，代入得即，所以，得或，當，此時由，得，符合題意；當，此時直線l經(jīng)過點A，與題意不符，舍去所以l的方程為，即，所以l過定點．22.已知函數(shù)，且，．（1）若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的