結(jié)構(gòu)力學(龍馭球)第八章

一、位移法的基本思路

位移法的基本思路是：先分別考慮原結(jié)構(gòu)在荷載和結(jié)點位移作用下產(chǎn)生的內(nèi)力，再根據(jù)平衡條件建立位移法方程，求出未知位移，然后再計算出桿端彎矩，最后用分段疊加法繪制整個結(jié)構(gòu)的彎矩圖。二、位移法方程及解題步驟

用位移法求解時需建立位移法方程，根據(jù)分析的對象不同，建立方程有兩種方法——轉(zhuǎn)角位移方程法和基本體系法。

轉(zhuǎn)角位移方程法是直接利用平衡條件來建立位移法典型方程的方法。(1)利用轉(zhuǎn)角位移方程和位移協(xié)調(diào)條件，寫出用結(jié)點位移表示的各桿的桿端彎矩表達式；

步驟：1.轉(zhuǎn)角位移方程法第八章位移法總結(jié)第1頁，共29頁。(4)將結(jié)點位移代入桿端力方程從而求出桿端內(nèi)力。

(2)利用與位移相應的隔離體的平衡條件建立平衡方程；(3)解方程求出結(jié)點位移；2.基本體系法

基本體系法是利用附加約束的基本原理建立位移法典型方程。(1)確定基本未知量。將原結(jié)構(gòu)有角位移和線位移的結(jié)點分別加上阻止轉(zhuǎn)動的剛臂和阻止移動的支座鏈桿，附加剛臂和附加支座鏈桿數(shù)之和即為位移法的基本未知量；

(2)由附加約束上約束力為零的條件，建立位移法方程

kijj+Fip=0(i,j=1,2,…,n)；

(3)在基本結(jié)構(gòu)上分別繪制在各附加約束分別產(chǎn)生單位位移Δj=1下的彎矩圖及荷載作用下的彎矩圖MP

步驟：第八章位移法總結(jié)第2頁，共29頁。由平衡條件求出系數(shù)kij和自由項FiP；注意：一切計算都是在基本結(jié)構(gòu)上進行!三、幾個值得注意的問題(4)從材料性質(zhì)看，只能用于彈性材料。1.位移法的適用條件

(1)位移法既可以求解超靜定結(jié)構(gòu)，也可以求解靜定結(jié)構(gòu)；(2)既可以考慮彎曲變形，也可以考慮軸向和剪切變形；

(3)可以用于梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)等各種類型的結(jié)構(gòu)；(5)

按疊加原理計算桿端彎矩。

(4)解方程求Δj；第八章位移法總結(jié)第3頁，共29頁。位移法的基本未知量的數(shù)目等于獨立結(jié)點角位移數(shù)加上獨立結(jié)點線位移數(shù)。2、位移法基本未知量的選取原則(1)獨立的結(jié)點角位移數(shù)目的確定：為使結(jié)點不發(fā)生角位移，需要在結(jié)點施加附加剛臂，附加剛臂數(shù)等于全部剛結(jié)點和半鉸結(jié)點的結(jié)點轉(zhuǎn)角數(shù)目。但需注意：鉸結(jié)點的角位移不作為基本未知量。例如圖a中，A為剛結(jié)點，B為半鉸結(jié)點，故有兩個獨立角位移；而圖b中B為剛結(jié)點，A為鉸結(jié)點，故只取B點轉(zhuǎn)角為獨立角位移。

第八章位移法總結(jié)第4頁，共29頁。

與剛度無窮大的桿相連的剛結(jié)點的轉(zhuǎn)角是否取為基本未知量，應根據(jù)具體情況區(qū)別對待。圖a中AB桿剛度無窮大，A=B=0，因此基本未知量只有一個線位移；而圖b中有一個角位移未知量。第八章位移法總結(jié)第5頁，共29頁。(2)獨立的結(jié)點線位移的確定較復雜，基本可以根據(jù)以下原則確定：①附加鏈桿法。在結(jié)點施加附加鏈桿，使其不發(fā)生線位移，則附加鏈桿數(shù)即為獨立結(jié)點線位移數(shù)。應用此法時應注意，自由端、滑動支承端或滾軸支承端的與桿軸垂直方向的線位移不作為基本未知量。

②鉸化法。將剛架中的剛結(jié)點（包括固定端）變成鉸結(jié)點，成為鉸接體系，其自由度數(shù)即為獨立線位移數(shù)。第八章位移法總結(jié)第6頁，共29頁。

如，忽略軸向變形的情況下，當豎柱平行時，無論梁是水平的還是傾斜的，梁都產(chǎn)生平動，因而各柱頂有相同的水平線位移。圖a中A、C點的水平位移相同，結(jié)構(gòu)只有一個位移未知量⊿。第八章位移法總結(jié)第7頁，共29頁。3.靜定部分的處理

例如，圖a中AB為靜定部分，很容易畫出該部分的彎矩圖，將MBA=Fa反作用于B點，再計算B點以右部分即可（圖b）。第八章位移法總結(jié)第8頁，共29頁。

如圖a所示，可把與懸臂部分相連的桿件BA看作是在A端鉸接B端固定的單跨超靜定梁（圖b）。4.半鉸懸臂的情況第八章位移法總結(jié)第9頁，共29頁。

圖示結(jié)構(gòu)，計算時常易出錯之處是誤認為基本未知量只有一個B。實際上B結(jié)點處，梁端與柱端轉(zhuǎn)角均不同，C支桿由于彈性也可水平向移動，故基本未知量應為B'、B"及⊿C。5.當有彈性支座和彈性剛結(jié)點時，基本未知量的確定第八章位移法總結(jié)第10頁，共29頁。如圖，將BD桿分為BC和CD兩根桿件，則本題有三個未知量B，C，⊿C。6.一根直桿的剛度不同時,位移基本未知量的確定第八章位移法總結(jié)第11頁，共29頁。例：作圖a所示結(jié)構(gòu)彎矩圖，各桿EI=常數(shù)。

7.有的超靜定結(jié)構(gòu)也有基本部分和附屬部分,求解時先解附屬部分,再解基本部分

解：本題中剛架ECFHG是基本部分，CBA是附屬部分。首先求附屬部分：由于C點無水平和豎向線位移，故可將CBA化為圖b的結(jié)構(gòu)，用位移法計算，彎矩圖如圖c所示。第八章位移法總結(jié)第12頁，共29頁。再求基本部分：將附屬部分的C點支座反力反作用于基本部分。最后的M圖如圖d所示。思考：為什么基本部分各桿的彎矩為零？第八章位移法總結(jié)第13頁，共29頁。8.斜剛架的計算。例：作圖a所示斜剛架的M圖。

解：本題有兩個未知量，B點的轉(zhuǎn)角⊿1和C點的側(cè)移⊿2，兩個附加約束如圖b所示，由M1圖和MP圖易得

F1P=0,F2P=-F,k11=10i計算k12，k22:第八章位移法總結(jié)第14頁，共29頁。

(1)求⊿B和⊿2之間的幾何關(guān)系。取BC桿研究（圖e），發(fā)生側(cè)移后，B點移至B1，C點移至C1。⊿B在BC桿上的水平投影為BB2=⊿B

cos45°。

僅從水平方向觀察可以看出BC桿由原來的位置平移至B2C1的位置，由于桿件不伸長，因此有BB2=CC1

即

又由于

BB3是BB1在垂直BC桿方向的投影，因此

⊿Bcos45°=⊿2BB3=⊿Bsin45°=⊿2當C點有水平向右的側(cè)移⊿2時，B點將沿垂直于AB桿的方向運動（圖d），其中⊿2和⊿B之間具有一定的幾何關(guān)系。

第八章位移法總結(jié)第15頁，共29頁。

而AB桿兩端的相對側(cè)移為BB3，因此

(2)作M2圖。由以上敘述可知BC桿兩端有相對側(cè)移BB3

，因此在圖f中第八章位移法總結(jié)第16頁，共29頁。(3)求

k21=k12，k22。由M2圖易得

，能求出軸力FN。求k22時取圖f中的BC桿為隔離體（圖g），由

再由

求出第八章位移法總結(jié)第17頁，共29頁。將系數(shù)帶入位移法方程解得最后彎矩圖如圖h所示。

本題在求解斜桿時應注意以下幾點：第八章位移法總結(jié)第18頁，共29頁。

①由于剛架是斜的，BC桿不僅發(fā)生平動，還有一定的轉(zhuǎn)動，因此BC桿兩端有相對線位移。③求FN時，對C點取矩，不應漏掉剛臂上的力，因為只有加上該力，隔離體才可保持平衡。②計算M2時，由于剪力和軸力都是傾斜的，因此建立平衡方程時兩者都要考慮。

第八章位移法總結(jié)第19頁，共29頁。例：圖a所示結(jié)構(gòu)，EI=常數(shù)，求結(jié)點K的轉(zhuǎn)角。四、對稱性的利用解：（1）作M圖

此結(jié)構(gòu)沿45°角斜線mn

對稱，過C點的45°方向斜線mn,為此結(jié)構(gòu)的對稱軸（圖b），結(jié)點C的轉(zhuǎn)角為零。取半個結(jié)構(gòu)如圖c所示。第八章位移法總結(jié)第20頁，共29頁。再將圖c荷載分解為為正對稱與反對稱的疊加，取半結(jié)夠如圖d（正對稱）、圖e(反對稱）所示。由疊加得：（上拉）（上拉）（左拉）（右拉）第八章位移法總結(jié)第21頁，共29頁。

結(jié)構(gòu)M圖如圖f所示。第八章位移法總結(jié)第22頁，共29頁。

2.求K截面的轉(zhuǎn)角取圖g所示的靜定結(jié)構(gòu)，在K處加單位力作圖。

（

）

另：取圖h所示的靜定結(jié)構(gòu)，圖乘時則更簡便。第八章位移法總結(jié)第23頁，共29頁。例:用位移法作圖a所示單跨梁彎矩圖，k=i=EI／l。

解：基本結(jié)構(gòu)如圖b所示，基本未知量為A端角位移。將系數(shù)k11=3i+i=4i，,代入位移法方程

五、彈性支撐超靜定結(jié)構(gòu)的計算第八章位移法總結(jié)第24頁，共29頁。得

按疊加原理作出彎矩圖，如圖d所示。第八章位移法總結(jié)第25頁，共29頁。六、用位移法求超靜定結(jié)構(gòu)的位移

例：圖a所示單跨梁，左端發(fā)生角位移，求梁中點豎向位移（向下為正）。

解：直接畫出MP圖如圖b所示，求C點的豎向位移時只需要在對應的靜定結(jié)構(gòu)中點加單位力（圖c），用圖乘法可得

第八章位移法總結(jié)第26頁，共29頁。例:求圖a所示結(jié)構(gòu)C點的豎向位移⊿CV。

解:該結(jié)構(gòu)可以分解為正對稱和反對稱兩部分（圖b、圖c）。正對稱部分

兩者相加得反對稱部分⊿CV=0，第八章位移法總結(jié)第27頁，共29頁。七、力法與位移法的比較

1．相同之處

二者都要考慮力系的平衡條件和結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件。

2．不同之處

從基本未知量看，力法取的是力——多余未知力；位移法取的是位移——獨立的結(jié)點位移，因此求超靜定結(jié)構(gòu)的位移時，通常用位移法較方便。從基本體系看,力法是去約束，位移法是加約束。

從基本方程看，力法是位移協(xié)調(diào)方程，方程的系數(shù)是位移，位移法是力系平衡方程，其系數(shù)是力。力法只能分析超靜定結(jié)構(gòu)，位移法則通用于分析靜定和超靜定結(jié)構(gòu)。第八章位移法總結(jié)第28頁，共29頁。內(nèi)容梗概一、位移法的基本思路。第八章位移法總結(jié)。(2)利用與位移相應的隔離體的平衡條件建立平衡方程。應用此法時應注意，自由端、滑動支承端或滾軸支承端的與桿軸垂直方向的線位移不作為基本未知量。圖a中A、C點的水平位移相同，結(jié)構(gòu)只有一個位移未知量⊿。如圖a所示，可把與懸臂部分相連的桿件BA看作是在A端鉸接B端固定的單跨超靜定梁（圖b）。5.當有彈性支座和彈性剛結(jié)點時，基本未知量的確定。6.一根直桿的剛度不同時,位移基本未知量的確定。計算k12，k22:。