高數(shù)-28定積分曲邊梯形由連續(xù)曲線

實(shí)例1（求曲邊梯形的面積y

y

(xyfx)(fx0)

Ax軸與兩條直線xa

xb所圍成用矩形面積近似取代曲邊梯形面 x（四個(gè)小矩形

（九個(gè)小矩形注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．分割取近似

在區(qū)間a,b

n個(gè)分點(diǎn)，a

x0

x1

x2

xn1

b,把區(qū)間[a,b]分成 個(gè)小區(qū)間

xi1,xi長度為

xi1(i

12n)在第i個(gè)小區(qū)間上任

xi1,xi

a

以

為高的小矩形面積為

f(

(i

1,2,n nAi

f(i(3

取極限：

當(dāng)分割無限且小區(qū)間的最大長max{x1,x2,xn趨近于零0時(shí)，n曲邊梯形面積

A

i

f(i實(shí)例2（求變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度

t時(shí)間間隔

續(xù)函數(shù)，tv

求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程思路度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．實(shí)例2（求變速直線運(yùn)動的路程分

T1

第i段路第i段路程

v(i求

第i段某時(shí)刻的速sv(i)第i段某時(shí)刻的速取極max{t1t2,tnn路程的精確

s

v(i)tii1

fx)在[ab]

在[ab]xxx 2若干個(gè)分點(diǎn)axxx 2

xxbn1 xxb

1,2,)，在各

xi作乘n

i

并作和

i

f(

)xi記max{x1x2,xn}，如果不論對[a

也不論在小區(qū)間xi1

xi]點(diǎn)i怎樣的取法，只要當(dāng)

0時(shí)，和S確定的極限I我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記

(x)f(f(b

積分n

limf(i積

i1

[a,b]積分區(qū)間提示若用A表示任一小區(qū) dAxxx]上的窄曲邊梯形的面

yf(x)則AA，并取Afx)dx于是Afx)dxb

xdbAlim

f(x)dx

f(2注意bbbbbab

(

f(t

f定積分是一數(shù)值fx[ab]

fx)[ab]上可積i

的取法是任意 fx在區(qū)間[ab]上連續(xù)fx)[ab] 且只區(qū)間[ab]上可

fx)fx)在區(qū)間[ab]上可f(x)f(x)

abbabb

((

曲邊梯形的面AA4b

(x)dx

A2 幾何意義

xb之x軸上方的面積取正號；在分化分化整為求近似以直（不變）代曲（變求積求積零為取極取極取極精確值——1例1利用定義計(jì)算定積分1

x2d

第題解：f(xx201上連續(xù)，故可積將1

xi

i

(i12，n

i

f(i)xi

i 1

n(n1)(2n1)10

此時(shí)即n

yx21x2d1

1(1

1)(2

1) n

ee

ln

1x0

x1

xn1xn i en,(i0,1, ,

ene (ii

,

取右端點(diǎn)，即i en,(i

1, ,作積分和式然后取極限：(0,即為n

i i

i iln

lim

f(i

limlnen(ene

)lim

(ene

i

i

i1e

11

e(1e)ne

1en1

xdxb對定積分的補(bǔ)充規(guī)定b（1）當(dāng)a

b

f(

0；（2）當(dāng)a注

f(

a

f(x)dxbbb性質(zhì)b

(

k

f(

(k為常數(shù)bb證abb

(n

i

n

ki

f(i

k

i

f(ibkb

f(x)dx.b性質(zhì)b

f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

ag(x)dxbbb a[f(x)bbbn

g(

[i1

f(i)g(in

bib

f(i

i

g(ibb

f(

ag(x)dx.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況性質(zhì)b

假設(shè)ac

(x)dx f(x)dx

f(x)dx注意：不

a,b,c的相對位置如何總成立bc若bc

bc,cac

(

f(x)dx

f(b則b

f(x)dxcccc

f(x)dxcbf(x)dxcb

f(f(x)dx.（定積分對于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)4如果[ab]fx0，b則afx)dx0.(a證

(x)0,

f(i)n

(i

1,2,,

i1

f(i

max{x1,x2,,xn

i

f

)xi bab

(

用于比較兩個(gè)函數(shù)積例比較積分值2exdx和2

xdx的大小 令

(

ex

x[2,f(x)

0(e2

00exdx002 2于是2exdx0

20性質(zhì)4的推論b（1）如果在區(qū)[ab]b

(x)

g(x)，b則b

f(

g(x)dx

(ab)

(x)

g(

g(x)

f(x)[g(x

f(x)

abbag(bb

ba

(

b于是b

f(

g(x)dxbb性質(zhì)4的推論bb

a

(x)dx

f(x)dx

(abb bb

f(x)

f(x)

f(x),bbbb

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx,b即b

f(x)dx

f(x)dx性質(zhì)4的推論

設(shè)M及m分別是函bfx)在區(qū)間[ab]上的最大值及最小值b則m(b

a)

f(x)dx

M(b

a).b mf(x)Mbbbamdx