史上最難的1984全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試卷

數(shù)學(xué)月刊七月號(hào)創(chuàng)難度之最的1984年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題編者說(shuō)明1984年，是中國(guó)高考改革有創(chuàng)意的一年。就在這一年，數(shù)學(xué)命題組提出了高考“出活題，考基礎(chǔ)，考能力”的命題指導(dǎo)思想。自1977年恢復(fù)高考以來(lái)，高考命題基本上是“模仿命題”，模仿課本上的例習(xí)題，模仿教參上的參考題，考場(chǎng)上出現(xiàn)了“解題有套”的現(xiàn)象，高校傳出了“高分低能”的說(shuō)法。1984年的數(shù)學(xué)試卷，創(chuàng)造了大批新題，即所謂活題。廣大考生第一次見(jiàn)到這樣的新題或活題，感到非常之難。當(dāng)年，北京市的分?jǐn)?shù)，人均只有17分，創(chuàng)下了新中國(guó)成立以來(lái)，數(shù)學(xué)高考難度之“最”。（這份試題共八道大題，滿分120分第九題是附加題，滿分10分，不計(jì)入總分）一．（本題滿分15分）本題共有5小題，每小題選對(duì)的得3分;不選，選錯(cuò)或多選得負(fù)1分1．?dāng)?shù)集X={（2n+1）π，n是整數(shù)}與數(shù)集Y={（4k1）π，k是整數(shù)}之間的關(guān)系是（C）（A）XY（B）XY（C）X=Y（D）X≠Y2．如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點(diǎn)，那么（C）（A）F=0，G≠0，E≠0.（B）E=0，F(xiàn)=0，G≠0.（C）G=0，F(xiàn)=0，E≠0.（D）G=0，E=0，F(xiàn)≠0.3.如果n是正整數(shù)，那么的值（B）（A）一定是零（B）一定是偶數(shù)（C）是整數(shù)但不一定是偶數(shù)（D）不一定是整數(shù)4.大于的充分條件是（A）（A）（B）（D）（C）5．如果θ是第二象限角，且滿足那么（B）（A）是第一象限角（B）是第三象限角（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角編者說(shuō)明數(shù)學(xué)試題選擇題，同上一年，即1983年一樣多，也是5道小題，但考生感到比上年難得多。有的考生拿到第1小題就不能動(dòng)筆。首先是因?yàn)?984年對(duì)選擇題的考題要求很嚴(yán)。第一次也是唯一一次提出“得負(fù)分”的評(píng)分要求。第二是選擇題的設(shè)計(jì)，命題人第一次考慮到選擇題“淘汰法”解題方法。比如第1小題，排除3個(gè)錯(cuò)誤答案比選擇1個(gè)正確答案要迅速得多?？墒?，在剛剛出現(xiàn)選擇題（1983年第一次用選擇題）的考場(chǎng)上，考生幾乎沒(méi)有這種解題思想。許多交白卷的考生，首先就被第1題擋住了“去路”。二．（本題滿分24分）本題共6小題，每一個(gè)小題滿分4分只要求直接寫(xiě)出結(jié)果）1．已知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2與4的矩形，求圓柱的體積答：2.函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？的解集答：x＜-2.3．求方程答：4．求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)答：-205．求的值答：06．要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問(wèn)有多少種不同的排法（只要求寫(xiě)出式子，不必計(jì)算）答：編者說(shuō)明1984年的第二大題，含6個(gè)小題，比1983年的2個(gè)小題多出了4個(gè)，從而使整個(gè)試卷的題量比1983年多出了3道。題目很活，題量又大，多數(shù)考生在規(guī)定的時(shí)間不能完成解答，這也是1984年數(shù)學(xué)得分很低的原因之一。三．（本題滿分12分）本題只要求畫(huà)出圖形1．設(shè)畫(huà)出函數(shù)y=H(x-1)的圖象2．畫(huà)出極坐標(biāo)方程解（1）的曲線（2）1.2.解：編者說(shuō)明1984年的第三大題，是1983年第二大題的發(fā)展。雖然仍為作圖題，但比1983年的考題難得多。1983年的題設(shè)式子是簡(jiǎn)單式子，看式便可作圖；而1984年的題設(shè)式子是“復(fù)雜式子”，需要首先將式子變形化簡(jiǎn)，從而增加了試題難度。四．（本題滿分12分）已知三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行證：設(shè)三個(gè)平面為α，β，γ，且從而c與b或交于一點(diǎn)或互相平行1．若c與b交于一點(diǎn)，設(shè)，∴所以，b，c交于一點(diǎn)（即P點(diǎn)）2.若c∥b，則由所以，b，c互相平行編者說(shuō)明1984年的第四大題，考查立體幾何內(nèi)容。題目從表面看去，似乎不難。然而，由于命題人故意沒(méi)有給“題圖”，使得廣大考生不知如何畫(huà)圖，從而陷入困境。五．（本題滿分14分）設(shè)c，d，x為實(shí)數(shù)，c≠0，x為未知數(shù)討論方程在什么情況下有解有解時(shí)求出它的解解：原方程有解的充要條件是：由條件（4）知又由，所以再由c≠0，可得及x＞0，知，即條件（2）包含在條件（1）及（4）中再由條件（3）及，知因此，原條件可簡(jiǎn)化為以下的等價(jià)條件組：由條件（1）（6）知這個(gè)不等式僅在以下兩種情形下成立：①c＞0，1-d＞0，即c＞0，d＜1；②c＜0，1-d＜0，即c＜0，d＞1.再由條件（1）（5）及（6）可知編者說(shuō)明1984年的第五題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)。具體考查對(duì)數(shù)方程的有解條件。然而設(shè)計(jì)“創(chuàng)新到了對(duì)數(shù)底數(shù)”，使得一直看慣了“底數(shù)只為單一字母”的考生不知所云。從而，當(dāng)c＞0，d＜1且時(shí)，或者當(dāng)c＜0，d＞1且時(shí)，原方程有解，它的解是六．（本題滿分16分）1．設(shè)，實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛數(shù)根z1，z2.再設(shè)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1，Z2求以Z1，Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)（7分）2．求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（1，2），以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程（9分）解：1.因?yàn)閜，q為實(shí)數(shù)，，z1，z2為虛數(shù)，所以由z1，z2為共軛復(fù)數(shù)，知Z1，Z2關(guān)于x軸對(duì)稱，所以橢圓短軸在x軸上又由橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn)根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長(zhǎng)=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距離=2c=|z1-z2|=長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a=，2.因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），且以y軸為準(zhǔn)線，所以橢圓在y軸右側(cè)，長(zhǎng)軸平行于x軸設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A（x，y），因?yàn)闄E圓的離心率為，所以左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的，從而左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為設(shè)d為點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，則d=1根據(jù)及兩點(diǎn)間距離公式，可得這就是所求的軌跡方程編者說(shuō)明1984年的第六題，考查解析幾何。第1小題將橢圓參數(shù)藏在復(fù)數(shù)方程的根中；第2小題求橢圓的軌跡方程，給出的“衍生軌跡”而不是“直接軌跡”。使得廣大考生無(wú)模式可套。本題得分率也很低。事實(shí)上，當(dāng)年考生，能解答到本卷第六大題的人很少。七．（本題滿分15分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為，b，c，且c=10，，P為△ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值解：由，運(yùn)用正弦定理，有因?yàn)锳≠B，所以2A=π-2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O＇，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為：(x-2)2+(y-2)2=4設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上，所以，于是S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72解二：同解一，設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為從而因?yàn)椋許最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72編者說(shuō)明1984年的第七大題，已經(jīng)進(jìn)入后三大題的范疇，是一道典型的綜合題。它是三角、解析幾何和代數(shù)內(nèi)容的交叉。由于考查的內(nèi)容常規(guī)，本題的設(shè)計(jì)難度并不大，滿分15分，比上一題第六題還少一分。但由于多數(shù)考生已被前面的低檔、中檔題所難倒，因此，大部分考生無(wú)緣與第七題見(jiàn)面，因而，從第七題開(kāi)始，交白卷的甚多。八．（本題滿分12分）設(shè)＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x1=，求證：1．2．3．1．證：先證明xn＞2(n=1，2，…）用數(shù)學(xué)歸納法由條件＞2及x1=知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)橛蓷l件及歸納假設(shè)知再由歸納假設(shè)知不等式成立，所以不等式也成立從而不等式xn＞2對(duì)于所有的正整數(shù)n成立(歸納法的第二步也可這樣證：所以不等式xn>2(n=1，2，…）成立）再證明由條件及xn>2(n=1，2，…）知因此不等式也成立（也可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有還可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有所以）2．證一：用數(shù)學(xué)歸納法由條件x1=≤3知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件及知再由及歸納假設(shè)知，上面最后一個(gè)不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對(duì)所有的正整數(shù)n成立證二：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式當(dāng)n=k+1時(shí)成立用以下證法：由條件知再由及歸納假設(shè)可得3．證：先證明若這是因?yàn)槿缓笥梅醋C法若當(dāng)時(shí)，有則由第1小題知因此，由上面證明的結(jié)論及x1=可得即，這與假設(shè)矛盾所以本小題的結(jié)論成立編者說(shuō)明1984年的第八大題，是本卷正卷的壓軸題，是當(dāng)年正卷上難度最大的題目。考查的內(nèi)容是數(shù)列與不等式的綜合。數(shù)列不是用通項(xiàng)公式給定，而是用遞推式給定。遞推式實(shí)為教材的延伸，使得絕大多數(shù)考生可望而不可及。90%以上的考生與此題無(wú)緣，當(dāng)年在北京本題得滿分的僅僅只有兩人。本題的遞推數(shù)列對(duì)以后的若干年影響很大，在全國(guó)高中數(shù)學(xué)界掀起了研究遞推數(shù)列的熱潮。九．（附加題，本題滿分10分，不計(jì)入總分）如圖，已知圓心為O、半徑為1的圓與直線l相切于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線l向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長(zhǎng)為，直線PC與直線AO交于點(diǎn)M又知當(dāng)AP=時(shí)，點(diǎn)P的速度為v求這時(shí)點(diǎn)M的速度解：作CD⊥AM，并設(shè)AP=x，AM=y，∠COD=θ由假設(shè)，AC的長(zhǎng)為，半徑OC=1，可知θ考慮∵△APM∽△DCM，而編者說(shuō)明這是1984年的附加題，在1983年中斷一年以后。附加題的重現(xiàn)，是經(jīng)過(guò)了一番討論的，主要是北大、清華的命題人堅(jiān)持用附加題選拔尖子學(xué)生。當(dāng)然，這