學(xué)案 垂直關(guān)系的判定 學(xué)案

垂直關(guān)系的判定學(xué)案課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．通過實(shí)例，掌握直線和直線垂直、直線和平面垂直、平面和平面垂直的定義．2．掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，并會(huì)利用定理證明垂直關(guān)系．3．正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念，會(huì)求簡單的二面角的平面角．重點(diǎn)：直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義、判定定理及推論．難點(diǎn)：直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理在證明題中的應(yīng)用．疑點(diǎn)：二面角的平面角的作法.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直．(2)直線和平面垂直的判定定理①文字?jǐn)⑹觯喝绻粭l直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．②符號(hào)表示：若aα，bα，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.③圖形表示：④作用：線線垂直線面垂直．預(yù)習(xí)交流1能夠證明直線l與平面α垂直的條件是()．①l與α內(nèi)兩條平行直線垂直；②l與α內(nèi)兩條相交直線垂直；③l與α內(nèi)無數(shù)條直線垂直；④l與α內(nèi)任意兩條直線垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直線m，n確定平面α，l⊥m，l⊥n.A．①②④ B．①③⑥ C．②④⑤ D．③④⑥提示：C2．二面角及其平面角(1)半平面的定義：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面．(2)二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面．(3)二面角的記法：以直線AB為棱，半平面α，β為面的二面角，記作二面角α-AB-β.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角．預(yù)習(xí)交流2以下命題正確的個(gè)數(shù)是()．①一個(gè)二面角的平面角只有一個(gè)；②二面角的棱必垂直于這個(gè)二面角的平面角所在的平面；③分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且垂直于棱的直線所成的角等于二面角的大?。瓵．0B．1C．2D．3提示：B3．平面與平面垂直的判定(1)兩個(gè)平面互相垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面和平面垂直的判定定理①文字?jǐn)⑹觯喝绻粋€(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．②符號(hào)表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,a⊥β))α⊥β.③圖形表示：④作用：線面垂直面面垂直．預(yù)習(xí)交流3如何理解平面和平面垂直的判定定理？提示：(1)本質(zhì)：證面面垂直eq\o(――→,\s\up7(轉(zhuǎn)化))證線面垂直．(2)關(guān)鍵：尋找其中一個(gè)平面的垂線．(3)找平面垂線的方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若不存在則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論依據(jù)，并有助于證明，不能隨意添加．課堂合作探究問題導(dǎo)學(xué)1．線面垂直的判定活動(dòng)與探究1如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.思路分析：題設(shè)條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等，AB⊥BC，D是AC的中點(diǎn)，要證(1)需在平面ABC內(nèi)找兩條相交直線與SD垂直，故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關(guān)系，要證(2)，需設(shè)法在平面SAC內(nèi)找兩條相交直線與BD垂直，而(1)的結(jié)論可利用．證明：(1)因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因?yàn)镾D∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.遷移與應(yīng)用1．已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°，PA＝PC＝2，PB＝PD.若O是AC與BD的交點(diǎn)，求證：PO⊥平面ABCD.證明：∵PA＝PC，PD＝PB，且O是AC和BD的中點(diǎn)，∴PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.2．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，PA⊥平面ABC.(1)圖中共有多少個(gè)直角三角形？(2)若AH⊥PC，且AH與PC交于H，求證：AH⊥平面PBC.(1)解：由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又由題設(shè)知BC⊥AC.由BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A得BC⊥平面PAC，∵PC平面PAC，∴BC⊥PC.故圖中有4個(gè)直角三角形：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB.(2)證明：由(1)知BC⊥平面PAC，AH平面PAC，∴BC⊥AH.又AH⊥PC，BC∩PC＝C，∴AH⊥平面PBC.名師點(diǎn)津1.利用直線和平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟：(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；(2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論．2．利用直線和平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底邊的中線、高、菱形、正方形的對(duì)角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法．2．面面垂直的判定活動(dòng)與探究2如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面PCE；(2)求證：平面PCE⊥平面PCD.思路分析：(1)要證AF∥平面PCE，只需證明AF平行于平面PCE內(nèi)的一條直線即可，取PC的中點(diǎn)G，則該直線為GE.(2)要證明平面PCE⊥平面PCD，只需證明GE⊥平面PCD，而由(1)知GE∥AF，故只需證明AF⊥平面PCD即可．證明：(1)取PC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，∵F為PD的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，∴FG＝eq\f(1,2)CD，且FG∥CD，AE＝eq\f(1,2)CD，且AE∥CD，∴FG＝AE，且FG∥AE，∴四邊形AEGF為平行四邊形，∴AF∥GE.∵GE平面PEC，AF平面PCE，∴AF∥平面PCE.(2)∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∵AF平面PAD，∴AF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD.∵GE平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD.遷移與應(yīng)用1．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求證：平面PBD⊥平面PAC.證明：∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.2．如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B，求證：平面AB1C⊥平面A1BC1.證明：因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.名師點(diǎn)津利用面面垂直的判定定理證明面面垂直，關(guān)鍵是先證線面垂直，再證線在另一個(gè)平面內(nèi)，最終得到面面垂直．具體方法是：線線垂直eq\o(――――――――→,\s\up7(線面垂直的判定定理))線面垂直eq\o(――――――――→,\s\up7(面面垂直的判定定理))面面垂直．3．綜合問題活動(dòng)與探究3如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大??；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．思路分析：(1)要證AC⊥SD，可先證明AC⊥平面SBD.(2)要求二面角P-AC-D的大小，可先找出二面角的平面角，再進(jìn)行計(jì)算．(3)是一探索性問題，可先假設(shè)存在點(diǎn)E，再根據(jù)線面、面面的平行關(guān)系進(jìn)行推理論證．(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于O，連接SO.由題意知SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.(2)解：設(shè)正方形邊長為a，則SD=a，又OD=a，所以∠SDO=60°.連接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD=30°，即二面角P-AC-D的大小為30°.(3)解：在棱SC上存在一點(diǎn)E，使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=a，故可在SP上取一點(diǎn)N，使PN=PD.過N作PC的平行線與SC的交點(diǎn)即為E.連接BN，在△BDN中，知BN∥PO.又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，這得BE∥平面PAC.由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1.遷移與應(yīng)用如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)求證：BF∥平面ACGD；(2)求二面角A-EG-D的正切值．(1)證明：設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM，F(xiàn)M，則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABED分別交平面ABC，平面DEFG于AB，DE，∴AB∥DE，又AB＝DE，∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四邊形ABFM是平行四邊形，即BF∥AM.又BF平面ACGD，AM平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(2)解：連接AE，AG，EG，∵AD⊥平面DEFG，∴AD⊥DG，AD⊥DE.∵AD＝ED＝DG，∴AE＝AG.取EG的中點(diǎn)H，連接AH，DH，有AH⊥EG，DH⊥EG，則∠AHD是二面角A-EG-D的平面角．∵在Rt△ADH中，由AD＝DE＝DG＝2，得DH＝eq\r(2).∴tan∠AHD＝eq\f(AD,DH)＝eq\r(2)，故二面角A-EG-D的正切值為eq\r(2).名師點(diǎn)津1.二面角的平面角的作法(1)垂面法：是指根據(jù)平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過這個(gè)平面和二面角兩個(gè)面的交線得出平面角；(2)垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點(diǎn)，過此點(diǎn)在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；2．根據(jù)線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系探討點(diǎn)的位置，解題的思路是從特殊位置入手，一般是中點(diǎn)或線段的端點(diǎn)處．另外，對(duì)于解答題，在解答后面小題時(shí)可注意應(yīng)用前面小題的結(jié)論．當(dāng)堂檢測(cè)1．給出下列四個(gè)命題：①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線．其中正確的命題共有()．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解析：①中兩條直線若不相交，則直線與平面不一定垂直；①錯(cuò)誤；由線面垂直的定義知②正確；由于梯形的兩腰所在直線是相交的，故③正確；若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則該直線與梯形所在平面不一定垂直，從而不一定垂直于兩腰所在直線，④錯(cuò)誤．答案：B2．經(jīng)過平面外兩點(diǎn)作與此平面垂直的平面，則這樣的平面()．A．只能作一個(gè) B．只能作兩個(gè)C．可以作無數(shù)個(gè) D．可作一個(gè)或無數(shù)個(gè)解析：當(dāng)兩點(diǎn)所在直線垂直于平面時(shí)，可作無數(shù)個(gè)；否則，有且僅有1個(gè)．答案：D3．如圖，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，連接PB，PC，則圖形中互相垂直的平面有()．A．一對(duì)B．兩對(duì)C．三對(duì)D．四對(duì)解析：平面PAB⊥平面ABC；平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面PBC.答案：C4．如圖，四棱錐P-ABCD