《新編基礎物理學》第9章解讀

第9章電荷與真空中的靜電場第9章電荷與真空中的靜電場9-1兩個小球都帶正電，總合帶有電荷105C,若是當兩小球相距2.0m時，任一球受另一球的斥力為1.0N.試求：總電荷在兩球上是如何分配的。解析：運用庫侖定律求解。解：如解圖9-1所示，設兩小球分別帶電q1，q2則有q1+q25.0105①解圖9-1由庫侖定律得9Fq1q2910q1q21②4π0r24由①②聯(lián)立解得q1105Cq2105C9-2兩根6.0102m長的絲線由一點掛下，每根絲線的下端都系著一個質(zhì)量為5103kg的小球.當這兩個小球都帶有等量的正電荷時，每根絲線都平衡在與沿垂線成60°角的地址上。求每一個小球的電量。解析：對小球進行受力解析，運用庫侖定律及小球平衡時所受力的互有關系求解。解：設兩小球帶電q1=q2q，小球受力如解圖9-2所示Fq2Tcos30①4π0R2mgTsin30②聯(lián)立①②得mg40R2o③q2tan30其中解圖9-2rlsin603610233102(m)2R2r代入③式，得q1.01107C1第9章電荷與真空中的靜電場F9-3在電場中某一點的場強定義為E，若該點沒有試驗電荷，那么該點可否存在電q0場？為什么？答：若該點沒有試驗電荷，該點的場強不變.由于場強是描述電場性質(zhì)的物理量，僅與場源電荷的分布及空間地址有關，與試驗電荷沒關，從庫侖定律知道，試驗電荷q0所受力F與q0F是與q0沒關的。成正比，故Eq09-4直角三角形ABC如題圖9-4所示，AB為斜邊，A點上有一點荷q1.8109C，B點上有一點電荷q4.8109C，已知12BC0.04m，AC0.03m，求C點電場強度E的大小和方向(cos370.8,sin370.6).題圖9-4解析：運用點電荷場強公式及場強疊加原理求解。解：如解圖9-4所示C點的電場強度為EE1E2E14π0q11.810991091.8104(NC1)(AC)2(0.03)2CEq24.81099109104(NC1)24π0(BC)2(0.04)2解圖9-4C點電場強度E的大小EE12E22221043.24104(NC1)方向為arctanE1arctan104oE2104即方向與BC邊成33.7°。9-5兩個點電荷q14106C,q28106C的間距為，求距離它們都是0.1m處的電場強度E。解析：運用點電荷場強公式及場強疊加原理求解。解：如解圖9-5所示E14q1910941063.6106(NC1)π0r12102解圖9-52第9章電荷與真空中的靜電場E2q29109810661)4π0r221027.210(NCE1，E2沿x、y軸分解ExE1xE2xE1cos60E2cos120106(NC1)EyE1yE2yE1sin60E2sin120106(NC1)電場強度為E2261ExEy9.5210(NC)Ey9.36610o101arctanarctan6Ex1.8109-6有一邊長為a的如題圖9-6所示的正六角形，四個極點都放有電荷q，兩個極點放有電荷－q。試計算圖中在六角形中心O點處的場強。解析：運用點電荷場強公式及場強疊加原理求解。解：如解圖9-6所示.設q1q2q3q6=q，q4q5=q，各點電荷在O點產(chǎn)生的電場強度大小均為題圖9-6EE1E2E3E6q4π0a2各電場強度方向如解圖9-6所示，E3與E6抵消.E0E2E5E1E4依照矢量合成，按余弦定理有222oo60)解圖9-6E0(2E)(2E)2E(2)E(2)cos(180解得E02E32q3q0a230a242方向垂直向下.3第9章電荷與真空中的靜電場9-7電荷以線密度均勻地分布在長為l的直線上，求帶電直線的中垂線上與帶電直線相距為R的點的場強。解析：將帶電直線無量切割，取一段電荷元，運用點電荷場強公式表示電荷元的場強，再積分求解。注意：先將電荷元產(chǎn)生的場強按坐標軸分解爾后積分，并利用途強對稱性。解：如解圖9-7建立坐標，帶電直線上任一電荷元在P點產(chǎn)生的場富強小為dEdx0(R2x2)4依照對稱性解析，合場強E的方向沿y軸的方向LdxLRE2sin2dxL22)L0(R22)3/2240(Rx24x解圖9-7l40R(R2l21/24)9-8兩個點電荷q1和q2相距為l，若（1）兩電荷同號；（2）兩電荷異號，求電荷連線上電場強度為零的點的地址.解析：運用點電荷場強公式及場強疊加原理求解。解：如解圖9-8所示建立坐標系，取q1為坐標原點，指向q2的方向為x軸正方向.(1)兩電荷同號.場強為零的點只可能在q1、q2之間，設距q1為x的A點.據(jù)題意有E1E2即|q1||q2|4π0x24π0(lx)2解得x|q1|解圖9-8l|q1||q2|(2)兩電荷異號.場強為零的點在q1q2連線的延伸線或反向延伸線上，即E1=E2|q1||q2|4π0x24π0(lx)2解之得：x|q1|l|q1||q2|4第9章電荷與真空中的靜電場9-9無量長均勻帶電直線，電荷線密度為λ,被折成互成直角的兩部分.試求如題圖9-9所示的P點和P′點的電場強度.解析：運用均勻帶電細棒周邊的場強公式及場強疊加原理求解。解：以P點為坐標原點，建立如解圖9-10(a)所示坐標系均勻帶電細棒產(chǎn)生的場強公式E(cos1cos2)i(sin2sin1)j4π0a在P點π1，2π4因此豎直棒在P點的場強為1E121i24π0a2j2水平棒在P點的場強為E24π0a21j2i22因此在P點的合場強EE1E2ij4π0a即P點的合場強的大小為E24π0a方向與x軸正方向成45°同理以P′點為坐標原點，建立如圖題9-10解圖(2)坐標E(cos1cos2)i(sin2sin1)j4π0a在P′點3π，2π4因此豎直棒在P′點的場強為E121i2j4π0a22水平棒在P′點的場強為

題圖9-9解圖9-9(a)解圖9-9(b)5第9章電荷與真空中的靜電場E221j22i4π0a2因此在P′點的合場強為EE1E24π0a[ij]即P′點的合場強的大小為2E4π0a方向與x軸成-135°.9-10無量長均勻帶電棒l1上的線電荷密度為1,l2上的線電荷密度為2，l1與l2平行,在與l1，l2垂直的平面上有一點P,它們之間的距離如題圖9-10所示,求P點的電場強度。解析：運用無量長均勻帶電細棒的場強公式及場強疊加原理求解。解：l1在P點產(chǎn)生的場強為E11i1i0.8π02π0a1l2在P點產(chǎn)生的場富強小為題圖9-10E222π0a2方向如解圖9-11所示。把E2寫成重量形式，有E2E2cosiE2sinj22i+32j42i32j5π0a210π0a25π05π0在P點產(chǎn)生的合場強為EE1E2142i32jπ05π05π0解圖9-106第9章電荷與真空中的靜電場9-11一細棒被彎成半徑為R的半圓形,其上部均勻分布有電荷Q,下部均勻分布電荷Q，如題圖9-11所示,求圓心O點處的電場強度。解析：在半圓環(huán)說上取電荷元，運用點電荷場強公式及場強疊加原理積分求解。將帶電半圓環(huán)切割成無數(shù)個電荷元，運用點電荷場強題圖9-11公式表示電荷元場強。將電荷元電場進行矢量分解，再進行對稱性解析，爾后積分求解。解：把圓環(huán)分成無量多線元dl，dl所帶電量為dq2Qdl，產(chǎn)生的場強為dEπR則dE的大小為dEQdlQd2π20R32π20R2把dE分解成dEx和dEy，則dExsindE解圖9-11dEycosdE由于Q、Q帶電量的對稱性，x軸上的重量相互抵消，則Ex0Ey2dEy2cosdE4πQcosdQ02222π0Rπ0R因此圓環(huán)在O點產(chǎn)生的場強為EQ2j20R9-12.一均勻帶電球殼內(nèi)半徑R16cm，外半徑R210cm，電荷體密度為105Cm3，求：到球心距離r分別為5cm、8cm、12cm處場點的場強．解析此題屬于球?qū)ΨQ性電場，三個場點分別位于球?qū)觾?nèi)半徑以內(nèi)、內(nèi)外半徑之間、外半徑以外三個地域，由高斯定理做高斯面求解。解:依照高斯定理EdSq得s07第9章電荷與真空中的靜電場E4πr2q0當r5cm時，q0，得E0r8cm時，qp4π(r3R13)34πr3R13E3104NC14π0r2，方向沿半徑向外．r12cm時,q4π(R23R13）34πR23R13E32104NC14π0r沿半徑向外.9-13兩平行無量大均勻帶電平面上的面電荷密度分別為+б和-2б,如題圖9-13所示,(1)求圖中三個地域的場強E1，E2，E3的表達式；（2）若4.43106Cm2，那么，E1，E2，E3各多大？題圖9-13解析：第一確定場強正方向，爾后利用無量大均勻帶電平板場強及場強疊加原理求解。解：（1）無量大均勻帶電平板周圍一點的場富強小為E20在Ⅰ地域E1i2ii222000Ⅱ地域E2i2i3i222000Ⅲ地域E3i2ii2220008第9章電荷與真空中的靜電場（2）若106Cm2則E12i2.50105i(Vm1)0E23i7.50105i(Vm1)2051E3i10i(Vm)9-14點電荷q位于一邊長為a的立方體中心，試求1）在該點電荷電場中穿過立方體的任一個面的電通量；2）若將該場源點電荷搬動到該立方體的一個極點上，這時穿過立方體各面的電通量是多少?解析此題需結合高斯定理以及對稱性關系來求解。解:(1)由高斯定理可知，經(jīng)過立方體的總的電通量qEdSs0立方體有六個面，當q在立方體中心時，每個面上電通量相等，因此經(jīng)過每個面的電通量為e

q60電荷在極點時，將立方體延伸為邊長2a的立方體，使q處于邊長2a的立方體中心，則經(jīng)過邊長2a的正方形上電通量qe60邊長2a的正方形共有四個邊長a的正方形，由于對稱性，則經(jīng)過邊長為a的正方形的電通量為qe，2409-15一均勻帶電半圓環(huán)，半徑為R，電量為+Q，求環(huán)心處的電勢。解析：將帶電半圓環(huán)切割成無數(shù)個電荷元，依照點電荷電勢公式表示電荷元的電勢，再利用電勢疊加原理求解。解：把半圓環(huán)無量切割，如解圖9-15取線元dl，其帶電量為dqQdl，則其在圓心OπR的電勢為：dqQdldu4π0RπR4π0R9解圖9-15第9章電荷與真空中的靜電場因此整個半圓環(huán)在環(huán)心O點處的電勢為πRQdlQu04π0RπR4π0R9-16一面電荷密度為的無量大均勻帶電平面，若以該平面處為電勢零點，求帶電平面周圍的電勢分布。解析：利用無量大均勻帶電平面的場強公式及電勢與電場強度的積分關系求解。解：如解圖9-16所示建立坐標系，因此無量大平面周圍的場強分布為E2i0取該平面電勢為零，則周圍任一點P的電勢為UP0dx(x)xx2220009-17如題圖9-17所示，已知a8102m，b6102m,q13108C,q23108C，D為q1q2連線中點，求：1）D點和B點的電勢；A點和C點的電勢；3）將電量為2109C的點電荷q0由A點移到C點，電場力所做的功；（4）將q0由B點移到D點，電場力所做的功。解析：由點電荷的電勢的公式及疊加原理求電勢。靜電力是保守力，保守力做功等于從初地址到末地址勢能增量的負值。解：（1）建立如解圖9-17所示坐標系，由點電荷產(chǎn)生的電勢的疊加得

解圖9-16題圖9-17解圖9-17UDq1q231089109310891090aa410241024π024π02同理，可得UB010因此第9章電荷與真空中的靜電場（2）UAq1q24π0b2a24π0b9109310891093108103(V)6102(6102)2(8102)2UCq1q24π0b2a24π0b9109310891093108103(V)(6102)2(8102)26102（3）將點電荷q0由A點移到C點，電場力所做的功AACq0UAC2109103(103)]106(J)（4）將q0由B點移到D點，電場力所做的功ABDq0UBD09-18如題圖9-18所示，在A，B兩點處放有電量分別為q，q的點電荷，AB間距離為2R，現(xiàn)將另一正試驗點電荷q0從O點經(jīng)過半圓弧移到C點，求搬動過程中電場力做的功．題圖9-18解析同上題。解:O點的電勢為UO1(qq)04π0RR點的電勢為UC1(qq)q4π03RR6π0RAOCq0(UOq0qUC)6π0R9-19兩點電荷q1=1.5×10-8C，q2=3.0×10-8C，相距r1=42cm，要把它們之間的距離變?yōu)閞2=25cm，電場力做功為多少解析此題用電場力做功定義式積分求解，需注意電場力做功的正負值。解:Ar2r2q1q2drq1q2(11Fdr24π0)r1r24π0rr1r211第9章電荷與真空中的靜電場106J9-20半徑為R1和R2(R2＞R1)的兩無量長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量和,試求:空間場強分布；兩圓柱面之間的電勢差。解析此題為球?qū)ΨQ性電場。（1）由高斯定理求場強分布。該帶電體將空間分為三個部分：小圓柱面內(nèi)r＜R1；兩圓柱面間R1＜r＜R2；大圓柱面外r＞R2，因此需要做三次高斯UABB面（同心球面），場強有三種表達式；（2）由電勢差定義式Edl，該積分式中A的場強應用兩圓柱面間場強代入計算。解:（1）由高斯定理求對稱性電場的場強分布EdSqs0取同軸圓柱形高斯面，側面積S2πrl，則EdSE2πrlS小圓柱面內(nèi)：rR1，q0E10兩圓柱面間：R1rR2，ql，E2方向沿徑向向外

2π0r大圓柱面外：rR2，q0E30（2）UABR2R2drlnR2E2drR12R10r20R19-21在半徑為R1和R2的兩個同心球面上分別均勻帶電q1和q2,求在0rR1,R1rR2,rR2