高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 高考中的類(lèi)比推理拓展資料素材 北師大版選修1-2

高中類(lèi)推大數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)比是種類(lèi)型的相似性，是一種更確定的和更概念性的相似用類(lèi)比的關(guān)鍵就在于如何把關(guān)于對(duì)象在某些方面一致性說(shuō)清楚。類(lèi)比是提出新問(wèn)題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要源泉，是一種較高層次的信息遷移。例2006湖）半徑為圓的面積

r

2

，周長(zhǎng)

C(r)

，若將r看作

(0,

上的變量，則

2

)'

，①，式可用語(yǔ)言敘述為：的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為的球若將R作看作

(0,

上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于①的式子：，，②式可用語(yǔ)言敘述___________.解：由提供的形式找出球的兩個(gè)常用量體積、表面積公式，類(lèi)似寫(xiě)出恰好成立，()

43

,Sr)

.答案：①

(

43

R)'

R2

②球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：主要考查類(lèi)比意識(shí)考查學(xué)生分散思維，注意將圓的面積與周長(zhǎng)與球的體積與表面積進(jìn)行類(lèi)比例年海高考第等差數(shù)aa=0則有等式a＋a＋??＋=a＋＋??＋a（＜19∈N）立。類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列b｝中，若=1，則有等式

成立。分：這是由一類(lèi)事物（等差數(shù)列到與其相似的一類(lèi)事物（等比數(shù)列）間的類(lèi)比。在等差數(shù)列a｝19項(xiàng)中，中間一項(xiàng)a=0，則a＋=＋a=??=a＋=a＋=2a=0，所以a＋a＋??a??a=0，即a??＋=－－－?a，又∵=－a，aa，?a，∴a＋＋??a－－－?=a＋＋?。似地，在等數(shù)列b的前17項(xiàng)，為中間項(xiàng)，則可得bb?bbb?（＜，∈例年國(guó)高考新課程卷文科第題在面幾何里有股定理eq\o\ac(△,設(shè))的兩邊AB、AC互垂直，則＋AC=BC展空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系以到的正確結(jié)論是棱錐—BCD的個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互垂直，則________________

分：這是由低維（平面）到高維空間）之間的類(lèi)比。三角形中的許多結(jié)論都可以類(lèi)比到三棱錐中（當(dāng)然必須經(jīng)過(guò)論證其正確性角三角形中的勾股定理類(lèi)比到三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐中，則有＋＋。需要指出的是，勾股定理的證明也eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)可進(jìn)行類(lèi)比。如在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，作⊥BC于，則由AB=BH·BC，·BC相加得＋AC=BC；在三側(cè)面兩兩直的三中過(guò)A作AH⊥面BCD于H，類(lèi)似地由S

=S·，·，·相即得＋＋=S。eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)例上函數(shù)

yx

ax

有如下性質(zhì)常a>o該數(shù)在

]上是減函數(shù)，在

[a

上是增函數(shù)。（）如果函數(shù)

y

bx

(

的值域?yàn)?/p>

[

，求b的；（）研究函數(shù)

yx

cx

（常數(shù)

c0)

在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（）對(duì)函數(shù)

yx

a和yx（數(shù)cxx

作出推廣使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫(xiě)出結(jié)論，不必證明解）函數(shù)

y

bx

(

在(0,2

]

上是減函數(shù)，在[2

,

上是增函數(shù)，所以該函數(shù)在

x

b

處取得最小值

b

.

令

2

b

，得

b9.（）

tx20

，顯然函數(shù)

y

ct

在

]

上是減函數(shù)，在

[

上是增函數(shù)，令

x

2

c得

cx

c，x

2

c得x

cxc又因?yàn)閠2在

(

上是減函數(shù)

[0,

上是增函數(shù)是用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)

yx

cx

在

]

上是減函數(shù)，在

[,0)

上是增函數(shù)，在

c]

上是減函數(shù)，

[4c

上是增函數(shù)。（）廣結(jié)論：當(dāng)n是正數(shù)，函數(shù)

yx

ax

（常數(shù)

是奇函數(shù)，故在(

a]

上是增函數(shù)，在

[

a,0)

是減函數(shù)，在

2n

a]

上是減函數(shù)，在

[

2

a,

上是增函數(shù)。

而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)

yx

ax

（常數(shù)

是偶函數(shù)，在

]

上是減函數(shù)，