2020四川考研數(shù)學(xué)二真題【含答案】

2020四川考研數(shù)學(xué)二真題試卷432指定位置上.當(dāng)x0時(shí)，列窮中最階（ ）00（）xet2dt （）xn1t2dt00sinxsint2dt0（D）

1cosx0

sint2dt由于選項(xiàng)都是變限積分，所以導(dǎo)數(shù)的無(wú)窮小量的階數(shù)比較與函數(shù)的比較是相同的。

xet

dt

2ex2

1x200xn10

t2dtn1

x2x（）

n

nt2dt

nn2xx2

0sint2sint20

dt

sin(1cosx)2sinxsin(1cosx)22經(jīng)比較，選（D）f(x)

1eex1ln1x(ex1)(x2)

的二間的個(gè)為 （ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（C）由題設(shè)，函數(shù)的可能間斷點(diǎn)有x1,0,1,2，由此exex1ln1xex1ln1xex1ln1x

1 e

limln1x；x1

x1(ex1)(x2) 3(e1x11limf(x)lim

e1

ln(1x)1；x0

x0(ex1)(x2) 2

x0 x 2eexex1ln1xlimf(x)lim

ln2

1limex10;x1exex1ln1x

(ex1)(x2) 1e；lim

ln2

1limex1;(ex1)(x2) 1e12x2ex1ln1x eln3 12x2x2x2(exx2x2(ex

1)(x2)(e1)limx2故函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)）有3個(gè)，故選項(xiàng)（C）正確。1arcsin（3）

xdx（ ）0（A）4

x1x2（B）8

（C）4

（D）8（A）x令x

sint，則xsin2t，dx2sintcostdt 21

xdx2 t 2sintcostdt22tdtt2

20 x1x

0sintcost

0 0 4（4）fxx2lnxn3fn0（A）

n!n

（B）

n!n

n2!（C） n

n2!n(A)

xn 2

xn2

xnnln(1xnn1

ln(1x)nn1n

，nnn故f(n)(0)

n!.n2

xy,xy0（5）fxyx,y,

yx

給出以下結(jié)論fxfxy① fxfxy

0,0

1

limx,y0,0

f(x,y)0

④limlimf(x,y)0y0x0正確的個(gè)數(shù)是（A）4 （B）3 （C）2 （D）1（B）f

fx,0f0,0

x0x

0,0limx0fx0

x0ffx0,y1

limx0 x

1，①正確f

limx0,y

x0,0lim ,

0,0

y0

y0

y0 y而f limfx,yf0,ylimxyylimx1y

不存在，所以②錯(cuò)誤；x0,y

x0

x0

x0 x

x0 xxy0x

y,x0

x,y0

y從而xy00

limx,y0,0

f(x,y)0，③正確。limfx,y0,xy0或y0,從而limlimf(x,y)0，④正確x0

y,

x0

y0x0（6）設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2]上可導(dǎo)，且f'(x)f(x)0.則(A)

f(2)1f(1)

(B)

f(0)ef(1)

(C)

f(1)f

e2

(D)

f(2)f

e3(B)

f(x)

f'(x)exf(x)ex

f'(x)f(x)構(gòu)輔函數(shù)F(x) 由F'(x) 題exf(x)

e2x

exf(0)

f(1)意可，F(xiàn)'(x)0從而F(x) 單遞增故F(0)F即ex e0

e1 ，f(x)0

f(0)f

e.故選(B).設(shè)4矩陣Aaij不逆12的代余式120,1,2,3,4為陣A的向量組，為A的伴矩，則x0的通為（ ）（A）xk22k33，其中k1k2k3（B）xk22k34，其中k1k2k3（C）xk23k34，其中k1k2k3（D）xk23k34，其中k1k2k3（C）A故rA4A0

0rA413，則rA3r1x0的基礎(chǔ)解系中有413AAE0Ax0A0,,線性12 1 3 4（x0xkkk

，即選項(xiàng)（C）正確。A31,2A13A的屬1 0 0于特值1的特向，則P1AP0 1 0的可矩陣P為（ ）（）13,2,3（）13,3,2

0 0 1 （）12,2,3D）12,3,2（D）P

1 0 0,)，若P1AP0 1 0，則,為A的于征值11 2 3

1 3 0 0 1 的線性無(wú)關(guān)的特征向量，2應(yīng)為A的屬于特征值1的線性無(wú)關(guān)的特征向量。這里根據(jù)題設(shè)，1,2為A的屬于特征值為1的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則12也為A13A的屬于13也A的屬于特征值11 0 0 1 0 0,,),,)1 0 1,由于1 0 1可逆，

0 1 0 0 1 0故r(12,3,2)r(1,2,3)3,即12,3,2線性無(wú)關(guān)1 0 0P(,

)，則P1AP0 1 0.因此選項(xiàng)（D）正確。

0 0 1 二、填空題：914424分，請(qǐng)將答案寫在. x

t21t21 設(shè)ynt

，則 t21 dxt122

dy 1dydtdxdt1dydtdxdt1tt21tt21t21d1t21t21d2y dy t21t21 d2x

dx dt dx t2 t t3d2yd2xd2yd2x2(10)

t11 0dyy xdx 1 322229

1交換積分次序，原式1 21 0 0 dx0 0

x3dy1x

x31dx2311x3dx312x3212223

1設(shè)zatnxynxy，則dz0 1dxdyz ycosxy z xcosxy x1xynxy2,y1ynxy z z將0,帶入得x1,y1因此dz0,1dxdy斜邊長(zhǎng)為2a的等腰直角三角形平板，鉛直的沉沒(méi)在水中，且斜邊與水齊，記重加速為g，水密為，則該板側(cè)受水力為 .1ga33xyyxa，取微元dydFy2xgdy2gy(ya)dy，F(xiàn)

02gy(ya)dyg(2y3ay2)0

1ga3.a

3 a 30（13設(shè)yyx滿足y''2y'y0，且y0,y'01，則yxdx 01221則特征方程的根為

1,1 2則微分方程的通解為ycexcxexy0y'01cc

1，則1 2 1 20 yxxex，則yxdxexdx0 a0110a1a0110a111111a00aa44a2a 0 1 1

a 1 0 0 a 00 a 1 1a

a a1 1 a1 1 a 0

1 0 a 1 1 a1 1 0 a2a1 a2a02

aa2aa32a2a

1 1a44a294分請(qǐng)將解答寫在指定位置上（15）（本題滿分10分）x1xy

1x

xx0的斜漸近線y1xe

12ey xx 1 1由klimxx

limx(1x)x

lim x(11)x exblim(yx

x)lim(x

x1x(1x)x

1x)limx(ee x

xlnx1x

1)e1lime x

xlnx11x

1)e1limx(xln

x

1te1lim

11

te1lim

1.x

1x x

t0

t2

t02(1t) 2ey1x1.e 2e（16）（本題滿分10分）fx連續(xù)且lmfx1gx1fxtdtgxgx在x0x0 x 0處連續(xù).1g'x2f(x)1

x0xfudu x0x x x20因?yàn)閤0

fxx

1f(xf(0),

'(0)1.gx1fxtdtxtu1xfudu，當(dāng)x0時(shí)，g(0)0.故0 x00

x0gx1x ，x0

fudux0又1xfudu0g'0limgxg0limx0x0

xx

x0

x00fudu f(x) 11' 2

x0

x2x

x0

導(dǎo)數(shù)定義2x 2gxf(x)1

fudu x

，又因?yàn)閤 x x20xlimg'xlimf(x)1

fuduxx0x

x0

x x20xlimf(x)lim1 fuduxx0 x x0x20gxx0（17）（10）fxyx38y3xy極值

111g'02 2

11 1f極小(, )' 2

x1fx(x,y)3xy

x0 6令f'(x,y)24y2x0得y0或 1.y

A

f(0,0)

y 12xx當(dāng)駐點(diǎn)為(00)BxxC

f''(0,0)1，則ACB20，故(0,0)不是極值點(diǎn).xyyyf''(0,0)0xyyy

''11f(, )1 61211當(dāng)駐點(diǎn)為

11 2 11(, B

fxy(, 1AC

A10，故(, )為極612

61211

612Cfyy(, )4 6121小值.f(, ) 為極值.

2 1 x22x 1x2（18）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,)且滿足2f(x) 1x2x

.求f(x)，并求y

f(x),y1y 3yx.2 2f(x)

x 211x262 1 x22x 1x22f(x) 1x2 1 1x2 1 1

1

得f(x) x .2f()

f(x) x 1x2dyysin1x2dyysin32costdtdt1y3 3 y21y

sin2t

1cos2tVx122yxdyVx122yxdy1222 2 6

2

3cost3

2(t

1sint)3 .226 622（19）（本題滿分10分）平面Dxx2,yxx軸圍成，計(jì)算D

dxdyx2x2y2 223 322

12 4x2x2y2

2sec r

1 1dxdy4d rdr4 3sec2dD x3

0

rcos023 2

cos2 4sec3d20

4secdtan0

2 ln2 4

1（20）（本題滿分11分）1設(shè)函數(shù)fxxet2dt1(I)證明：存在1,2,f2e2I)證明：存在,2,f2ln22(I)法1F(x)(x2)f(x)(x2)xet2dt.1F(2)F0F(x2)1F)0，又F'(x)xet2dt(x2)ex2，即f22.得證.1F(x)

fx(x2)ex2F)e,F(2)2et2dt01存在2)F0f2e2.1(II)令g(x)lnx，則g'(x)10.x2)

f(2)fg(2)g(1)

f，gf(2) 即

，故f2ln2e2.2 1（21）（本題滿分11分）fxfx0y

fxx0Mx軸交于T,MPxPy

fx以及x軸圍成圖形的面積與MTP面積比恒為為3:2，求滿足上述條件的曲線方程。yCx3C0設(shè)切點(diǎn)Mx,y，則過(guò)M點(diǎn)的切線方程為Yyy'Xx.y y x令Y0，則Xxy'，故Txy',0. xy

fx，直線M以及x10ytt， 1 y y2MTPS22yxxy'2y' xS 3 x

ytdt 3 x

y2因1 ，則0 ，即

ytdt ，①S2 2

y22y'

2 0

y'3方程①兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得：y34

2yy'2y2yy'2

3y''2y'2，②令y'p，則y''p

dp，入②，得3ypdy

2p2pCy312dx12

2y31從而解得3y3C1xC2.2因曲線過(guò)原點(diǎn)，即f(0)0，則C0，故yCx3.2fx0y即曲線為yCx3C0

fx單調(diào)遞增，所以C0（22）（本題滿分11分）設(shè)二次型f(x,x,x)x2x2x22axx2axx2axx經(jīng)過(guò)可逆線性變換1 2 3 1 2 3 12 13 23 xPygyyyy2y24y22yy.2 2

x y3 3a1 2 2 3 （1）a1；（2）P0 1 42 3 0 1 0 1 a a據(jù)，f(x,x,x)XTAX，Aa 1 a二型f(x,x,x)經(jīng)1 2 3

1 2 3a a 1可逆變換得到g(y1,y2,y3)，故它們的正負(fù)慣性指數(shù)相同。由于g(y,y,y)y2y24y22yy(yy)24y21 2 3 1 2 3 12 1 2 3的正負(fù)慣性指數(shù)分別為p2,q0，故f(x1,x2,x3)的也分別為p2,q0.故矩陣A有特征值為0，即A0a1或1。2當(dāng)a1f(x,x,x)x2x2x22xx2xx2xx=xxx21 2 3 1 2 3 12 性指數(shù)分別為p1,q0，與題設(shè)矛盾，故a1舍。因此a1符合題意。2（2）當(dāng)a1時(shí)，2

f(x,x,x)x2x2x2xxxxxx1 2 3 1 2 3 12 13 23(x2xxxx)x2x2xx1 12 13 2 3 233 1 1 2 3 3 33x12x22x3

x2+24 2

x2

2x2x3 1 1 2 3 2