極限與連續(xù)-5兩個(gè)重要

2.2-2.3限存在準(zhǔn)兩個(gè)重要

連續(xù)復(fù)一、準(zhǔn)則(兩邊夾法則四、小結(jié)準(zhǔn)則Ⅰ如果數(shù)列xnyn

zn滿足下列條件:(1)ynxn (n

(2)

limnn

limnn

a,nn那末數(shù)列x的極限存在,且limnnn

a.

a,

zna,

N1

N2

00nn

N2時(shí)恒

ynazn

N

max{N1

N2

上兩式同時(shí)成立即a

yn

a

a

an

N時(shí),

a

yn

xn

axn

成立

limnnn

a.上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極準(zhǔn)則Ⅰ′如果當(dāng)

M)時(shí),有

)

( x那末

xx x準(zhǔn)則I和準(zhǔn)則Iˊ稱為準(zhǔn)則注意:利用準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出yn與zn并且yn與zn的極限是容易求的例1

n

n2

n2n2n2n2nn2n2n

n2n2n

1

n2n2n21nn2n2n2n2

11n2

由兩邊夾法則n2n2n2n2n2n

)作為準(zhǔn)則Ⅰ′的應(yīng)用，下面證明一個(gè)重要的BoBoxlimsinxx0x如右圖設(shè)單位圓 圓心角AOB

x(0

x2ACO扇形OAB的圓心角為x

OAB的高為BD

x

tanx

sinx

xtanx,

即cosx

sinx

上式對(duì)于2

x0也成立

0

x時(shí)20cosx

1

cos

2sin22

)2 x2 x22lim2x0

lim(1x0

cosx)

又lim1

limsin

x0

x0

x0 例2

lim1

cosxx0 x2sin2

sin2原式

21 x0 xx

2x

(x)2212x0

x2

2

1212二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)如果數(shù)列xn滿足x1x1

x2x2

xnxn

xn1xn1

單調(diào)減

單調(diào)數(shù)準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限幾何解釋

x3xn

xn1 例3證明數(shù)列xn

(n重333333n證

xn1

xn

x是單調(diào)遞增的3又x13

xk1

3

3n3n

是有界的

limnnn

存在3xn3xn

x

3x

limx

lim(3xn1

n1

n1

A23

A12

,A12

(舍去nlimnn

1 2作為準(zhǔn)則Ⅱ的應(yīng)用，可以證明一個(gè)重要的極lim(1lim(11)xxx定義lim(1n

1)nn設(shè)

1)n 1n11!

n(n1)1

n(n1)(nn1) 11

1(1

n

1(1

n

n

nn類似地

11

1(1

n

)1(1

n

n

nn n(nn

n

n

nxn1

xn

x是單調(diào)遞增的xn

11

1

11

1n2n

2n13

2n1

是有界的nlimnn

存在

記為lim(1n

ne

(e

可以證明

x取實(shí)數(shù)而趨向

時(shí)，函

x

的極限都存在且等于

,因

1)xx

e.利用代z

，則x

1

0于是lim(1

z)z例4

lim(1x

1)xx 原式

1)x

x

x

1)1 e例5

lim(3

x)2xx

解原式

x

x

)x2]2(1

x

)4

e2例6

ln(1

x) 解

x

x)

x)1lnlim(1x)x lne例

lim 1.x x 令e

1

x

0時(shí),

u

exx

ln(1

ln(1u)三、連續(xù)復(fù)

A0(稱為本金)，年r一年后本利

A1

11r)

r)2k年后本利

r)k如果一年

n期計(jì)息，年利率仍r，r每期利率

，于是一年后的本利 AA(1 )n k年后本利

rn如果計(jì)息期

n

，即每時(shí)每刻計(jì)復(fù)利(稱為連續(xù)復(fù)利)，則

年后的本利 n

r

11 1

n

erk

r r兩個(gè)準(zhǔn)準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則兩個(gè)重要極設(shè)為某過程中的無窮

20

)

e.某過

思考月生下小兔一對(duì)，以后每月生產(chǎn)小兔一對(duì).而所小兔，以后每月亦生產(chǎn)小兔一對(duì).假定每產(chǎn)一對(duì)解若用“〇”、“△”〇△

去年121△〇△〇

〇

〇

△△

6月從上圖可看出,從三月份開始,每月的兔子總 按5那契(Fibonacci)數(shù)列,其通項(xiàng)為55115

1

n1Fn

52 52

nn記bFn1,則n

1100%就是第n月相nn

(n

nn

n增長(zhǎng)nnn

證b0bn

1

1 b (n

又n

2

2成立即數(shù)列{b2n

}

}的極限存在,分別記作b*和b 2 2limb

b

limb 2

2

1 b

1b

兩邊取極限,2 2

1

1bbb

由此得b

0即limb

limb

2

2 而由

n因此limb存在n

記作b即limbnn

1

b1b

1525

，因?yàn)?/p>

15b152

limFn1

從

1

nn思考求極

3x

9xx思考題解

3x

9x

1 lim

1x1 1x x

x1

9

lim

13x11

3x

9e0x

3x 一、填空題limsinx limsin2x x0sin3

arccotx x

sinx 2x0

lim(1x)2x lim(1

x x二、求下列各極限lim1cos2 xsin4x4

x)tan2l