兩角及及差余弦公式證明

兩角及及差余弦公式證明兩角及及差余弦公式證明5/5兩角及及差余弦公式證明；兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之比較沈陽市教育研究院王恩賓兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ)，其余三角函數(shù)公式都是在此公式基礎(chǔ)上變形獲得的，所以兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)作為本章要推導(dǎo)的第一個(gè)公式，往往獲得了廣大教師的關(guān)注.關(guān)于不一樣樣版本的教材采納的方法常常不一樣樣，仔細(xì)意會(huì)各樣不一樣樣的兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)方法，關(guān)于提升學(xué)生的分析問題、提出問題、研究問題、解決問題的能力有很大的作用.下邊將兩角和與差的余弦公式的五種常有推導(dǎo)方法概括如下：方法一：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．過點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．綜上所述，.說明：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式這一方法簡單了然，構(gòu)思奇妙，簡單理解.但這類推導(dǎo)方法關(guān)于怎樣能夠獲得解題思路，存在必然的困難.此種證明方法的另一個(gè)問題是公式是在均為銳角的狀況下進(jìn)行的證明，所以還要考慮的角度從銳角向隨意角的推廣問題.’.；方法二：應(yīng)用三角形全等、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則有|P1P2|=.在直角坐標(biāo)系內(nèi)做單位圓，并做出隨意角α，α+β和，它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和P4點(diǎn)，單位圓與x軸交于P1，則P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.說明：該推導(dǎo)方法奇妙的將三角形全等和兩點(diǎn)間的距離聯(lián)合在一同，利用單位圓上與角相關(guān)的四個(gè)點(diǎn)，成立起等式關(guān)系，經(jīng)過將等式的化簡、變形就能夠獲得符合要求的和角與差角的三角公式.在此種推導(dǎo)方法中，推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個(gè)難點(diǎn)，其余關(guān)于’.；三點(diǎn)在一條直線和三點(diǎn)在一條直線上時(shí)這一特別狀況，還需要加以解釋、說明.方法三：應(yīng)用余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)，則.在△OPQ中，∵，∴，∴.說明：本題的解題思路和構(gòu)思都是簡單實(shí)現(xiàn)的.由于要求兩角和與差的三角函數(shù)，所以結(jié)構(gòu)出和角和差角是必然實(shí)現(xiàn)的.結(jié)構(gòu)出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個(gè)角的三角函數(shù)成立起等式關(guān)系，所以借助于余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式成立起等式關(guān)系簡單出現(xiàn)，因此此種方法是推導(dǎo)兩角和與差的余弦的比較簡單理解的一種方法.但此種方法必然是在學(xué)習(xí)完余弦定理的前提下才能使用，所以此種方法在必修四中又沒法使用.其余也相同需要考慮三點(diǎn)在一條直線上的狀況.方法四：應(yīng)用三角形面積公式推導(dǎo)推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)α、β是兩個(gè)隨意角，把α、β兩個(gè)角的一條邊拼在一同，極點(diǎn)為O，過B點(diǎn)作OB的垂線，交α另一邊于A，交β另一邊于C，則有S△OAC=S△OAB+S△OBC..’.；依據(jù)三角形面積公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.依據(jù)此式和引誘公式，可連續(xù)證出其余和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.說明：此種推導(dǎo)方法經(jīng)過三角形的面積的和奇妙的將兩角和的三角函數(shù)與各個(gè)角的三角函數(shù)和聯(lián)系在一同，表現(xiàn)了數(shù)形聯(lián)合的特色.弊端是公式仍是在兩個(gè)角為銳角的狀況下進(jìn)行的證明，所以相同需要將角的范圍進(jìn)行拓展.(五)應(yīng)用數(shù)目積推導(dǎo)余弦的差角公式在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量數(shù)目積的見解，有.由向量的數(shù)目積的坐標(biāo)表示，有’.；.于是，有.說明：應(yīng)用數(shù)目積推導(dǎo)余弦的差角公式不論是結(jié)構(gòu)兩個(gè)角的差，仍是獲得每個(gè)角的三角函數(shù)值都是簡單實(shí)現(xiàn)的，并且從向量的數(shù)目積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算兩種形式求向量的數(shù)目積將兩者之間聯(lián)合起來，充分表現(xiàn)