2023屆甘肅武山一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．存在點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個(gè)側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進(jìn)行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．3．若，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．6．設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（）A． B． C． D．7．明代數(shù)學(xué)家程大位（1533~1606年），有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計(jì)算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．8．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．9．已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．11．為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．對兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，下列函數(shù)模型中擬合較好的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.14．如圖，在等腰三角形中，已知，，分別是邊上的點(diǎn)，且,其中且，若線段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是_____.15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，若線段的垂直平分線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求曲線和曲線圍成圖形的面積；（2）化簡求值：．18．（12分）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，且．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．19．（12分）橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)到直線的最大距離．21．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，對，恒有成立，求實(shí)數(shù)的最小值.22．（10分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，分別為，的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，若平面.（1）求線段的長；（2）求二面角的余弦值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【題目詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.2、D【答案解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．3、A【答案解析】

將化成以為底的對數(shù)，即可判斷的大小關(guān)系；由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出與1的大小關(guān)系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.【題目詳解】依題意，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)椋?故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相同，則構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的單調(diào)性可判斷大??；若真數(shù)相同，則結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大??；若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.4、A【答案解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，則，排除B選項(xiàng).故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5、A【答案解析】

畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，分析最值，即得解.【題目詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.6、C【答案解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值．【題目詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時(shí)對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．7、C【答案解析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【題目詳解】，；，；，；，；，此時(shí)不滿足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得．故選:【答案點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算，意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.8、D【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.9、A【答案解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設(shè)過點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（，﹣），∵點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.10、C【答案解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．11、D【答案解析】

過點(diǎn)作，可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可求得的值，可計(jì)算出的值，進(jìn)而可得出，結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點(diǎn)），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【題目詳解】如下圖所示，過點(diǎn)作，設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接.，.，，，為的中點(diǎn)，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時(shí)要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.12、D【答案解析】

作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn)，觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線．【題目詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個(gè)函數(shù)圖象，同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn)，它們在曲線的兩側(cè)，與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn)，因此D是正確選項(xiàng)，故選：D．【答案點(diǎn)睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多，說明擬合效果好．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

直接計(jì)算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【題目詳解】，故，當(dāng)時(shí)，，故，解得.故答案為：；.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.14、【答案解析】

根據(jù)條件及向量數(shù)量積運(yùn)算求得,連接,由三角形中線的性質(zhì)表示出.根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式表示出,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【題目詳解】根據(jù)題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數(shù)量積運(yùn)算可知線段的中點(diǎn)分別為則由向量減法的線性運(yùn)算可得所以因?yàn)?代入化簡可得因?yàn)樗援?dāng)時(shí),取得最小值因而故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,向量的線性運(yùn)算及模的求法,二次函數(shù)最值的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【答案解析】

對函數(shù)求導(dǎo)后，代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到切線斜率，然后根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，即可寫出切線方程.【題目詳解】因?yàn)?，所以，從而切線的斜率，所以切線方程為，即.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查過曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.16、1【答案解析】

設(shè)，寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得，由拋物線定義得焦點(diǎn)弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結(jié)論．【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，據(jù)得.設(shè)，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長是解題關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【答案解析】

（1）求曲線和曲線圍成的圖形面積，首先求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)0、1，然后求在區(qū)間上的定積分．（2）首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計(jì)算出，然后再整體代入可得；【題目詳解】解：（1）聯(lián)立解得，，所以曲線和曲線圍成的圖形面積．（2）∴【答案點(diǎn)睛】本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【答案解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，沒有極小值；函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，易得時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最小值為，中最小的，當(dāng)時(shí)，，最小值；當(dāng)，，最小值；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【答案點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.19、（1）（2）最大值.【答案解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【題目詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即四邊形面積的最大值.【答案點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.20、（1）．．（2）最大距離為．【答案解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.（2）曲線的參數(shù)方程為，設(shè)，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【題目詳解】（1）由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）可知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，，則到直線的距離為，所以線段的中點(diǎn)到直線的最大距離為．【答案點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21、（1）（2）【答案解析】

（1）求得，根據(jù)已知條件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.（2）構(gòu)造函數(shù)設(shè)，利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法，結(jié)合恒成立，求得的取值范圍，由此求得的最小值.【題目詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在恒成立，即在恒成立，當(dāng)時(shí)，上式成立，當(dāng)，有，需，而，，，，故綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）設(shè)，，則，令，，在單調(diào)遞增，也就是在單調(diào)遞增，所以.當(dāng)即時(shí)，，不符合；當(dāng)即時(shí)，，符合當(dāng)即時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，使，有時(shí)，，在單調(diào)遞減，時(shí)，，在單調(diào)遞增，成立，故只需即可，有，得，符合綜上得，，實(shí)數(shù)的最小值為【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成