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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)滿足當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì),則的取值范圍是()A. B. C. D.2.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.23.復(fù)數(shù)的模為().A. B.1 C.2 D.4.在三棱錐中,,,則三棱錐外接球的表面積是()A. B. C. D.5.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定6.2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.127.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A.1 B.-1 C. D.8.已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.10.已知雙曲線,點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率取值范圍是().A. B. C. D.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn),與軸的正半軸交于點(diǎn),與準(zhǔn)線交于點(diǎn),且,則()A. B.2 C. D.312.在中,,,,點(diǎn)滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)的圖像上存在點(diǎn),滿足約束條件,則實(shí)數(shù)的最大值為__________.14.設(shè)為銳角,若,則的值為____________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為________.16.已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果.18.(12分)已知橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,且過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),若,求直線l的斜率k.19.(12分)班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析,決定從本班24名女同學(xué),18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.(1)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個(gè)不同的樣本?(寫出算式即可,不必計(jì)算出結(jié)果)(2)如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成績(jī)(單位:分)對(duì)應(yīng)如下表:學(xué)生序號(hào)1234567數(shù)學(xué)成績(jī)60657075858790物理成績(jī)70778085908693①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成績(jī)關(guān)于數(shù)學(xué)成績(jī)的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6分,預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)槎嗌俜??附:線性回歸方程,其中,.768381252620.(12分)已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為和,右頂點(diǎn)為,且,短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)若過點(diǎn)作垂直軸的直線,點(diǎn)為直線上縱坐標(biāo)不為零的任意一點(diǎn),過作的垂線交橢圓于點(diǎn)和,當(dāng)時(shí),求此時(shí)四邊形的面積.21.(12分)在四棱錐的底面中,,,平面,是的中點(diǎn),且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使得,若存在指出點(diǎn)的位置,若不存在請(qǐng)說明理由.22.(10分)已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對(duì)任意的恒成立.
2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【答案解析】
先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件,解之即可.【題目詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象,如圖所示,當(dāng)時(shí),對(duì)稱后的圖象不可能與在的圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn),則,解得.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.2.C【答案解析】
推導(dǎo)出,由此能求出的值.【題目詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.3.D【答案解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【題目詳解】解:,復(fù)數(shù)的模為.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.4.B【答案解析】
取的中點(diǎn),連接、,推導(dǎo)出,設(shè)設(shè)球心為,和的中心分別為、,可得出平面,平面,利用勾股定理計(jì)算出球的半徑,再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【題目詳解】取的中點(diǎn),連接、,由和都是正三角形,得,,則,則,由勾股定理的逆定理,得.設(shè)球心為,和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知:平面,平面,又,由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算,解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu),找出球心的位置,并以此計(jì)算出球的半徑長(zhǎng),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.5.B【答案解析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【題目詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.6.D【答案解析】
中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從小(大)到大(?。┡帕泻螅幵谧钪虚g的那個(gè)數(shù),平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【題目詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí),是一道容易題.7.B【答案解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【題目詳解】由.故選:B【答案點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,需掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,屬于基礎(chǔ)題.8.C【答案解析】
將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實(shí)部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【題目詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以且,解得.故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.9.C【答案解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10.B【答案解析】
先求出雙曲線的漸近線方程,可得則直線與直線的距離,根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),可得,解得即可.【題目詳解】由題意,雙曲線的一條漸近線方程為,即,∵是直線上任意一點(diǎn),則直線與直線的距離,∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),則,∴,即,又故的取值范圍為,故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系,以及兩平行線間的距離公式,其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【答案解析】
過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,與軸交于點(diǎn),由和拋物線的定義可求得,利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得,進(jìn)而求得結(jié)果.【題目詳解】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,與軸交于點(diǎn),由拋物線解析式知:,準(zhǔn)線方程為.,,,,由拋物線定義知:,,,.由拋物線性質(zhì)得:,解得:,.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.12.D【答案解析】
利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【題目詳解】在中,,,,點(diǎn)滿足,可得則==【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【答案解析】由題知x>0,且滿足約束條件的圖象為由圖可知當(dāng)與交于點(diǎn)B(2,1),當(dāng)直線過B點(diǎn)時(shí),m取得最大值為1.點(diǎn)睛:線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò);三、一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.14.【答案解析】
∵為銳角,,∴,∴,,故.15.【答案解析】
解法一:曲線上任取一點(diǎn),利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線的距離的最小值;解法二:曲線函數(shù)解析式為,由求出切點(diǎn)坐標(biāo),再計(jì)算出切點(diǎn)到直線的距離即可所求答案.【題目詳解】解法一(基本不等式):在曲線上任取一點(diǎn),該點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,曲線上任意一點(diǎn)到直線距離的最小值為;解法二(導(dǎo)數(shù)法):曲線的函數(shù)解析式為,則,設(shè)過曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線平行,則,解得,當(dāng)時(shí),到直線的距離;當(dāng)時(shí),到直線的距離.所以曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算,可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點(diǎn),轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離,也可以設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.16.【答案解析】
先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),再根據(jù)圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【題目詳解】由函數(shù)得,∵函數(shù)f(x)的圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,,.故答案為4【答案點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點(diǎn)切線方程的斜率求參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),頻率分布直方圖見解析;(2)分布列見解析,;(3)來自的可能性最大.【答案解析】
(1)由頻率和為可知,根據(jù)求得,從而計(jì)算得到頻數(shù),補(bǔ)全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖;(2)首先確定的所有可能取值,由超幾何分布概率公式可計(jì)算求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得期望;(3)根據(jù)中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【題目詳解】(1)由頻率分布表得:,即.收入在的有名,,,,則頻率分布直方圖如下:(2)收入在中贊成人數(shù)為,不贊成人數(shù)為,可能取值為,則;;,的分布列為:.(3)來自的可能性更大.【答案點(diǎn)睛】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)的綜合應(yīng)用,涉及到頻數(shù)、頻率的計(jì)算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計(jì)估計(jì)等知識(shí);考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力.18.(1)(2)直線l的斜率為或【答案解析】
(1)根據(jù)已知列出方程組即可解得橢圓方程;(2)設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為,借助向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,及韋達(dá)定理即可求得結(jié)果.【題目詳解】(1)由題意得解得故橢圓C的方程為.(2)直線l的方程為,設(shè),,則由方程組消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直線l的斜率為或.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,難度一般.19.(1)不同的樣本的個(gè)數(shù)為.(2)①分布列見解析,.②線性回歸方程為.可預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?6分.【答案解析】
(1)按比例抽取即可,再用乘法原理計(jì)算不同的樣本數(shù).(2)名學(xué)生中物理和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有3名學(xué)生,任取3名學(xué)生,都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)服從超幾何分布,故可得其概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.而線性回歸方程的計(jì)算可用給出的公式計(jì)算,并利用得到的回歸方程預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī).【題目詳解】(1)依據(jù)分層抽樣的方法,24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名,18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名,故不同的樣本的個(gè)數(shù)為.(2)①∵7名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名,∴的取值為0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列為0123∴.②∵,.∴線性回歸方程為.當(dāng)時(shí),.可預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?6分.【答案點(diǎn)睛】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí),注意利用常見的概率分布列來簡(jiǎn)化計(jì)算(如二項(xiàng)分布、超幾何分布等).20.(1)(2)【答案解析】
(1)依題意可得,解方程組即可求出橢圓的方程;(2)設(shè),則,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去,設(shè),,列出韋達(dá)定理,即可表示,再根據(jù)求出參數(shù),從而得出,最后由點(diǎn)到直線的距離得到,由即可得解;【題目詳解】解:(1)∵,∴解得,∴橢圓的方程為.(2)∵,∴可設(shè),∴.∵,∴,∴設(shè)直線的方程為,∴,∴,顯然恒成立.設(shè),,則,,∴.∴,∴,∴解得,解得,∴,,∴.∵此時(shí)直線的方程為,,∴點(diǎn)到直線的距離為,∴,即此時(shí)四邊形的面積為.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.21.(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【答案解析】
(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形,得到證明.(Ⅱ)建立如圖所示坐標(biāo)系,平面法向量為,平面的法向量,計(jì)算夾角得到答案.(Ⅲ)設(shè),計(jì)算,,根據(jù)垂直關(guān)系
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