2020高中數學 2.2.2 反證法（含解析）1-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)7反證法知識點一反證法的概念1。反證法是（）A．從結論的反面出發(fā),推出矛盾的證法B．對其否命題的證明C．對其逆命題的證明D．分析法的證明方法答案A解析由反證法的定義可知A正確，故選A.2．應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用()①結論的否定;②已知條件；③公理、定理、定義等;④原結論．A．①②B．②③C．①②③D．①②④答案C解析根據反證法的基本思想，應用反證法推出矛盾的推導過程中應把“結論的否定”“已知條件”“公理、定理、定義"等作為條件使用。知識點二反證法的步驟3。有下列敘述:①“a〉b”的反面是“a〈b”;②“x＝y(tǒng)"的反面是“x>y或x<y";③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內”；④“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”．其中正確的敘述有（）A．0個B．1個C．2個D．3個答案B解析①錯，應為a≤b；②對；③錯，應為三角形的外心在三角形內或三角形的邊上；④錯，應為三角形可以有2個或2個以上的鈍角．4．在用反證法證明“已知：p3＋q3＝2，求證p＋q≤2”時的反設為__________,得出的矛盾為__________．答案p＋q〉2（q－1)2〈0解析假設p＋q〉2，則p〉2－q.∴p3〉(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3。將p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<0，∴(q－1）2<0，顯然不成立．∴p＋q≤2。知識點三用反證法證明命題5。已知三個正數a，b，c成等比數列，但不成等差數列，求證：eq\r（a)，eq\r（b)，eq\r（c)不成等差數列．證明假設eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c）成等差數列,則eq\r(a)＋eq\r（c)＝2eq\r(b），兩邊同時平方，得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2eq\r(ac）＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數列,這與a，b，c不成等差數列矛盾．所以eq\r（a），eq\r（b），eq\r（c)不成等差數列。易錯點反設錯誤或不全面致錯6.已知x，y∈R且x2＋y2＝0，求證：x，y全為零．易錯分析本題中易出現反設錯誤而致錯，x，y全為零的否定應為x,y不全為零，即至少有一個不是零．證明假設x,y不全為零，則有以下三種可能:（1)x＝0，y≠0，則x2＋y2>0，與x2＋y2＝0矛盾；（2)x≠0，y＝0,則x2＋y2〉0，與x2＋y2＝0矛盾；(3）x≠0，y≠0，則x2＋y2〉0,與x2＋y2＝0矛盾．故假設不成立，則x,y全為零．一、選擇題1．否定結論“至多有兩個解"的說法中，正確的是()A．有一個解 B．有兩個解C．至少有三個解 D．至少有兩個解答案C解析在邏輯中“至多有n個"的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解",故應選C.2．用反證法證明命題“關于x的方程ax＝b(a≠0）有且只有一個解”時，反設是關于x的方程ax＝b(a≠0)（)A．無解 B．有兩解C．至少有兩解 D．無解或至少有兩解答案D解析“唯一”的否定上“至少兩解或無解”．3．設a，b，c是正數，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“P·Q·R〉0”是“P，Q,R同時大于零”的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析必要性顯然成立．充分性：若P·Q·R>0，則P,Q，R同時大于零或其中兩個負的一個正的，不妨設P<0，Q<0，R〉0.∵P〈0,Q<0，即a＋b〈c，b＋c〈a，∴a＋b＋b＋c〈c＋a.∴b〈0,這與a，b，c都是正數矛盾，故P，Q，R同時大于零．4．如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值，則（)A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形D．△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形答案D解析因為正弦值在（0°，180°）內是正值，所以△A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形．假設△A2B2C2也是銳角三角形,并設cosA1＝sinA2,則cosA1＝cos（90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理設cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，則有∠B1＝90°－∠B2,∠C1＝90°－∠C2。又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴（90°－∠A2)＋（90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°,即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°。這與三角形內角和等于180°矛盾，所以原假設不成立．故選D.二、填空題5．命題“a，b∈R，若|a－1｜＋|b－1｜＝0,則a＝b＝1”用反證法證明時應假設為________．答案a≠1或b≠1解析“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1"，所以設為a≠1或b≠1。6．用反證法證明“一個三角形不能有兩個鈍角"有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C>180°，這與三角形內角和為180°矛盾，故假設錯誤．②所以一個三角形不能有兩個鈍角．③假設△ABC中有兩個鈍角，不妨設∠A〉90°,∠B>90°.上述步驟的正確順序為__________．答案③①②解析根據反證法知,上述步驟的正確順序應為③①②.7．若下列兩個方程x2＋(a－1）x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根,則實數a的取值范圍是__________．答案{a|a≤－2或a≥－1｝解析假設兩個一元二次方程均無實根，則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ1＝a－12－4a2〈0，,Δ2＝2a2－4－2a〈0,））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3a2＋2a－1〉0，，a2＋2a〈0，）)解得｛a｜－2<a<－1｝，所以其補集{a｜a≤－2或a≥－1｝即為所求的a的取值范圍．三、解答題8．用反證法證明：若函數f（x)在區(qū)間[a，b］上是增函數，那么方程f（x）＝0在區(qū)間[a,b]上至多只有一個實數根．證明假設方程f（x）＝0在區(qū)間[a，b］上至少有兩個實根，設α，β為它的兩個實根，則f(α）＝f（β）＝0.因為α≠β，不妨設α<β,又因為函數f(x)在[a,b］上是增函數，所以f(α）〈f(β)，這與f（α)＝f(β)＝0矛盾．所以方程f（x)＝0在區(qū)間［a，b]上至多只有一個實根．9．已知a，b，c是互不相等的實數,求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．證明假設題設中的函數確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a,y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤