2020高中數(shù)學 11 演繹推理（含解析）2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時分層作業(yè)（十一)（建議用時：60分鐘）［基礎達標練］一、選擇題1．給出下面一段演繹推理：有理數(shù)是真分數(shù),大前提整數(shù)是有理數(shù),小前提整數(shù)是真分數(shù)．結(jié)論結(jié)論顯然是錯誤的,是因為(）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤［解析］舉反例，如2是有理數(shù)，但不是真分數(shù)，故大前提錯誤．［答案］A2．已知在△ABC中，∠A＝30°,∠B＝60°，求證：BC〈AC.eq\x(因為∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠A〈∠B.)方框部分的證明是演繹推理的（)A．大前提 B．小前提C．結(jié)論 D．三段論［解析]因為本題的大前提是“在同一個三角形中，大角對大邊,小角對小邊”，證明過程省略了大前提,方框部分的證明是小前提,結(jié)論是“BC〈AC”．故選B。[答案］B3．在證明f(x）＝2x＋1為增函數(shù)的過程中,有下列四個命題:①增函數(shù)的定義是大前提；②增函數(shù)的定義是小前提；③函數(shù)f（x）＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義是大前提；④函數(shù)f（x)＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義是小前提．其中正確的命題是(）A．①④ B．②④C．①③ D．②③［解析］根據(jù)三段論特點,過程應為:大前提是增函數(shù)的定義；小前提是f(x）＝2x＋1滿足增函數(shù)的定義；結(jié)論是f（x)＝2x＋1為增函數(shù),故①④正確．［答案］A4．在R上定義運算:xy＝x（1－y）．若不等式(x－a)（x＋a)〈1對任意實數(shù)x都成立,則(）A．－1〈a〈1 B．0〈a〈2C．－eq\f（1,2）〈a<eq\f（3,2） D．－eq\f（3,2）<a<eq\f（1，2)[解析］∵xy＝x(1－y)，∴（x－a）(x＋a)＝(x－a）(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a<1．∴x2－x－a2＋a＋1>0，∵不等式（x－a）（x＋a）<1對任意實數(shù)x都成立，∴Δ＝1－4×（－a2＋a＋1）<0,解得－eq\f(1,2)<a〈eq\f(3,2）。故選C。［答案］C5．“四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對角線相等”,補充該推理的大前提是(）A．正方形的對角線相等B．矩形的對角線相等C．等腰梯形的對角線相等D．矩形的對邊平行且相等[解析］得出“四邊形ABCD的對角線相等”的大前提是“矩形的對角線相等"．［答案]B二、填空題6．在三段論“因為a＝(1,0）,b＝（0，－1），所以a·b＝(1,0）·（0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，所以a⊥b”中，大前提：___________________________________________；小前提:___________________________________________；結(jié)論:______________________________________________。[解析]本題省略了大前提，即“a，b均為非零向量,若a·b＝0，則a⊥b"．[答案］若a，b均為非零向量，a·b＝0，則a⊥ba＝(1，0)，b＝(0,－1),且a·b＝（1，0）·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0a⊥b7．一切奇數(shù)都不能被2整除,2100＋1是奇數(shù),所以2100＋1不能被2整除．其演繹推理的“三段論”的形式為____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。[答案］一切奇數(shù)都不能被2整除，大前提2100＋1是奇數(shù)，小前提所以2100＋1不能被2整除．結(jié)論8．若f（a＋b)＝f(a)f(b）(a，b∈N＋）,且f（1）＝2，則eq\f（f2，f1)＋eq\f（f4，f3)＋…＋eq\f（f2018，f2017)＋eq\f(f2020，f2019）＝________。［解析］利用三段論．∵f(a＋b）＝f（a）f(b)(a,b∈N＋）（大前提)．令b＝1，則eq\f（fa＋1，fa)＝f（1)＝2(小前提）．∴eq\f（f2,f1)＝eq\f（f4,f3)＝…＝eq\f（f2018，f2017）＝eq\f（f2020，f2019）＝2(結(jié)論),∴原式＝2＋2＋…＋eq\o（2，\s\do6(1010個)）＝2020。[答案］2020三、解答題9．用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1)自然數(shù)是整數(shù)，所以6是整數(shù)；(2)y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)．[解](1）自然數(shù)是整數(shù)，(大前提）6是自然數(shù)，（小前提)所以6是整數(shù)．(結(jié)論)(2）三角函數(shù)是周期函數(shù)，(大前提）y＝cosx(x∈R）是三角函數(shù)，(小前提）所以y＝cosx(x∈R）是周期函數(shù)．(結(jié)論)10．已知y＝f（x)在（0,＋∞)上單調(diào)遞增且滿足f(2）＝1，f(xy）＝f（x)＋f(y）．（1）求證：f（x2）＝2f(x(2）求f（1）的值;(3)若f(x）＋f（x＋3)≤2，求x的取值范圍．[解］（1）∵f(xy）＝f(x）＋f(y），（大前提)∴f(x2)＝f（x·x)＝f（x)＋f(x）＝2f（x（2）∵f(1）＝f（12)＝2f∴f(1)＝0.（結(jié)論)（3）∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3)）≤2＝2f(2）＝f且函數(shù)f（x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，（大前提)∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x〉0,,x＋3>0，，xx＋3≤4，））解得0<x≤1．（結(jié)論）[能力提升練]1．有一段演繹推理是這樣的：直線平行于平面，則直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α,則直線b∥直線a。結(jié)論顯然是錯誤的,這是因為()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤[解析］大前提是錯誤的，直線平行于平面，但不一定平行于平面內(nèi)所有直線,還有異面直線的情況．［答案]A2．三段論：“①只有船準時起航,才能準時到達目的港,②這艘船是準時到達目的港的，③這艘船是準時起航的”中的“小前提"是（)A．① B．②C．①② D．③[解析]大前提為①，小前提為③,結(jié)論為②.［答案］D3．已知f（1，1)＝1，f（m,n)∈N＋(m，n∈N＋），且對任意m，n∈N＋都有：①f(m，n＋1）＝f(m,n)＋2，②f（m＋1,1)＝2f（m，給出以下三個結(jié)論:（1）f（1，5)＝9，(2）f(5,1）＝16，(3)f（5,6)＝26。其中正確結(jié)論為__________(填序號）．[解析]由題設條件可知:(1)f（1,5)＝f（1,4）＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f（1，1）＋8＝1＋8＝9。（2)f（5,1)＝2f（4，1)＝4f(3，1）＝＝16f(3)f（5,6）＝f（5,5)＋2＝f(5，4）＋4＝…＝f(5,1)＋10＝2f(4,1）＋10＝4f(3，1）＋10＝…＝［答案］（1)(2)(3）4．在數(shù)列{an｝中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋。(1)證明:數(shù)列｛an－n}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列｛an｝的前n項和Sn；（3)證明:不等式Sn＋1≤4Sn，對任意n∈N＋皆成立．[解](1）因為an＋1＝4an－3n＋1，所以an＋1－（n＋1）＝4(an－n）,n∈N＋.又a1－1＝1，所以數(shù)列｛an－n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列．(2）由（1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列｛an｝的通項公式為an＝4n－1＋n.所以數(shù)列｛an}的前n項和Sn＝eq\f(4n－1,3）＋eq