新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊全冊教學(xué)課件

1.1空間向量及其運算1.2空間向量基本定理1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第一章空間向量與立體幾何2.1.1傾斜角與斜率2.1.2兩條直線平行和垂直的判定2.2.1直線的點斜式方程2.2.2直線的兩點式方程2.2.3直線的一般式方程2.3.1兩條直線的交點坐標(biāo)2.3.2兩點間的距離公式

2.3.3點到直線的距離公式

2.3.4兩條平行直線間的距離2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.4.2圓的一般方程2.5.1直線與圓的位置關(guān)系2.5.2圓與圓的位置關(guān)系第二章直線和圓的方程3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第三章圓錐曲線的方程一、空間向量的定義及相關(guān)概念1.定義在空間,我們把具有

和

的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的

.

2.空間向量及其模的表示方法空間向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起點是A,終點是B,則向量a也可以記作

,其模記大小

方向

長度或模

1.1空間向量及其運算第一章空間向量與立體幾何3.空間向量的相關(guān)概念

平行或重合

點析1.空間向量只有大小和方向,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空間中平移.2.我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a.微思考涉及空間兩個向量的問題,平面向量中的有關(guān)結(jié)論是否仍然適用?提示:適用.微練習(xí)(多選題)下列命題正確的是(

)A.若向量a與b的方向相反,則稱向量a與b為相反向量B.零向量沒有方向C.若a是單位向量,則|a|=1D.若向量m,n,p滿足m=n,n=p,則一定有m=p答案:CD

解析:單位向量是指模等于1的向量,所以若a是單位向量,則必有|a|=1,即選項C正確;由向量相等的定義,知m與p方向相同,模相等,故一定有m=p,選項D正確.二、空間向量的線性運算

微練習(xí)1已知空間四邊形ABCD中,A.a+b-c

B.c-a-bC.c+a-b

D.c+a+b答案:B微練習(xí)2已知空間四邊形ABCD,M,G分別是BC,CD的中點,連接AM,AG,MG,答案:A三、共線向量與共面向量1.互相平行或重合

同一個平面

a=λbp=xa+yb2.如圖,O是直線l上一點,在直線l上取非零向量a,則對于直線l上任意一點P,由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知,存在實數(shù)λ,使得

=λa.我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的

.這樣,直線l上任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示,也就是說,直線可以由其上一點和它的方向向量確定.

方向向量

名師點析共線向量的特點及三點共線的充要條件(1)共線向量不具有傳遞性因為零向量0=0·a,所以零向量和空間任一向量a是共線(平行)向量,這一性質(zhì)使共線向量不具有傳遞性,即若a∥b,b∥c,則a∥c不一定成立.因為當(dāng)b=0時,a∥0,0∥c,但a與c不一定共線.(2)空間三點共線的充要條件微練習(xí)1滿足下列條件,能說明空間不重合的A,B,C三點共線的是(

)答案:C微練習(xí)2對于空間的任意三個向量a,b,2a-b,它們一定是(

)A.共面向量B.共線向量C.不共面向量D.既不共線也不共面的向量答案:A解析:因為2a-b=2·a+(-1)·b,微判斷判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若a與b共線,b與c共線,則a與c共線.(

)(2)若向量a,b,c共面,即表示這三個向量的有向線段所在的直線共面.(

)(3)若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λb.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測空間向量及相關(guān)概念的理解

解析:①錯誤,在同一條直線上的單位向量,方向可能相同,也可能相反,故它們不一定相等;②正確,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;②③

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟空間向量概念的辨析(1)向量的兩個要素是大小與方向,兩者缺一不可;(2)單位向量的方向雖然不一定相同,但長度一定為1;(3)兩個向量的模相等,即它們的長度相等,但方向不確定,即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件;(4)由于方向不能比較大小,因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的,但向量的模是可以比較大小的.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(

)A.若|a|=|b|,則a,b的長度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,則|a|=|b|C.兩個向量相等,若它們的起點相同,則其終點不一定相同D.若|a|>|b|,|b|>|c|,則a>c答案:B

解析:兩個向量是相反向量時,它們的模必相等,故選項B正確.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測空間向量的線性運算

思路分析根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則,平行四邊形法則求解.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟空間向量線性運算的技巧和思路(1)空間向量加法、減法運算的兩個技巧①巧用相反向量:向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使有關(guān)向量首尾相接,從而便于運算.②巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法、減法運算時,務(wù)必要注意和向量、差向量的方向,必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)化簡空間向量的常用思路①分組:合理分組,以便靈活運用三角形法則、平行四邊形法則進(jìn)行化簡.②多邊形法則:在空間向量的加法運算中,若是多個向量求和,還可利用多邊形法則,若干個向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.③走邊路:靈活運用空間向量的加法、減法法則,盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測空間共線向量定理及其應(yīng)用

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量共線定理可解決的主要問題1.判斷兩向量是否共線:判斷兩向量a,b(b≠0)是否共線,即判斷是否存在實數(shù)λ,使a=λb.2.求解參數(shù):已知兩非零向量共線,可求其中參數(shù)的值,即利用“若a∥b,則a=λb(λ∈R)”.3.判斷或證明空間中的三點(如P,A,B)是否共線:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:∵M(jìn),N分別是AC,BF的中點,且四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測空間共面向量定理及其應(yīng)用

(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟證明共面問題的基本方法(1)證明兩個空間向量共面時,可以利用共面向量的充要條件,也可直接利用共面向量的定義,通過線面平行、直線在平面內(nèi)等進(jìn)行證明.(2)證明空間四點P,M,A,B共面時,可以通過以下幾種條件進(jìn)行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4已知A,B,C三點不共線,點O是平面ABC外的任意一點,若點P分別滿足下列關(guān)系:試判斷點P是否與點A,B,C共面.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多變——空間向量的加法、減法運算

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)根據(jù)六棱柱的性質(zhì)知四邊形BB1C1C,DD1E1E都是平行四邊形,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法總結(jié)在進(jìn)行減法運算時,可將減去一個向量轉(zhuǎn)化為加上這個向量的相反向量,而在進(jìn)行加法運算時,首先考慮這兩個向量在哪個平面內(nèi),然后與平面向量求和一樣,運用向量運算的平行四邊形法則、三角形法則及多邊形法則來求.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.“兩個非零空間向量的模相等”是“兩個空間向量相等”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件2.在平行六面體ABCD-A‘B’C‘D’中,與向量

相等的向量共有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個答案:B

解析:兩個向量相等是指兩個向量的模相等并且方向相同,因此“兩個非零向量的模相等”是“兩個向量相等”的必要不充分條件.答案:C

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點M為A1C1與B1D1的交答案:B

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.下列條件使點M與點A,B,C一定共面的是(

)

答案:D

解析:根據(jù)共面向量定理知A,B,C均錯,只有D能使其一定共面.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.如圖所示,已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點,且PA⊥平面ABCD,M,N分別為PC,PD上的點,且PM∶MC=2∶1,N為PD中點,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖,在PD上取一點F,使PF∶FD=2∶1,連接MF,1.2空間向量基本定理我們所在的教室是一個立體圖形,即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為坐標(biāo)原點,沿著三條墻縫作射線可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,那么這個三維立體圖與這三個空間向量有什么關(guān)系呢?事實上可以建立一個空間坐標(biāo)系來研究三維立體圖形.

點析1.空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.2.一個基底是一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.3.由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.微練習(xí)在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作為空間向量一個基底的是(

)答案:C

微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)空間向量的基底是唯一的.(

)(2)若a,b,c是空間向量的一個基底,則a,b,c均為非零向量.(

)(3)已知A,B,M,N是空間四點,若

不能構(gòu)成空間的一個基底,則A,B,M,N共面.(

)(4)若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)√

(4)√探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測基底的判斷例1(1)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個基底的向量組有(

)A.1個 B.2個

C.3個 D.4個探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(1)

答案:

C

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟判斷基底的基本思路及方法(1)基本思路:判斷三個空間向量是否共面,若共面,則不能構(gòu)成基底;若不共面,則能構(gòu)成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,則不能作為基底;如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示,則不能構(gòu)成基底.②假設(shè)a=λb+μc,運用空間向量基本定理,建立λ,μ的方程組,若有解,則共面,不能作為基底;若無解,則不共面,能作為基底.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1若{a,b,c}是空間的一個基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個基底.解:假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個基底,∴a,b,c不共面.即不存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作為空間的一個基底.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測用基底表示空間向量例2思路分析利用圖形尋找待求向量與a,b,c的關(guān)系→利用向量運

算進(jìn)行拆分→直至向量用a,b,c表示探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟用基底表示空間向量的解題策略1.空間中,任一向量都可以用一個基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時,一般要結(jié)合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時,通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案:B

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測應(yīng)用空間向量基本定理證明線線位置關(guān)系例3在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點,點G在棱CD上,且CG=CD.(1)證明:EF⊥B1C;(2)求EF與C1G所成角的余弦值.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補角).探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究設(shè)這個正方體中線段A1B的中點為M,證明:MF∥B1C.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(

)答案:C

解析:只有選項C中的三個向量是不共面的,可以作為一個基底.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案:A

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測3.下列說法正確的是(

)A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底B.空間的基底有且僅有一個C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應(yīng)相等答案:C

解析:A項中應(yīng)是不共面的三個向量構(gòu)成空間向量的基底;B項,空間基底有無數(shù)個;D項中因為基底不唯一,所以D錯.故選C.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

3.向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作

=a.由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡記作a=(x,y,z).名師點析1.畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三個坐標(biāo)平面把空間分成八個部分.2.在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.本書建立的都是右手直角坐標(biāo)系.微練習(xí)若a=3i+2j-k,且{i,j,k}為空間的一個單位正交基底,則a的坐標(biāo)為

.

微思考在空間直角坐標(biāo)系中,向量

的坐標(biāo)與終點P的坐標(biāo)有何關(guān)系?(3,2,-1)答案:向量

的坐標(biāo)恰好是終點P的坐標(biāo),這就實現(xiàn)了空間基底到空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換.二、空間向量運算的坐標(biāo)表示1.空間向量的坐標(biāo)運算法則設(shè)向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么2.空間向量的坐標(biāo)與其端點坐標(biāo)的關(guān)系:設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo).(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

(λa1,λa2,λa3)

a1b1+a2b2+a3b33.空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則(1)當(dāng)b≠0時,a∥b?a=λb?

(λ∈R);

(2)a⊥b?

?

.

名師點析當(dāng)b的坐標(biāo)中b1,b2,b3都不等于0時,a與b平行的條件還可以表示為a∥b?.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=04.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則微練習(xí)1已知空間向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),則有m+n=

,3m-n=

,(2m)·(-3n)=

.

微練習(xí)2已知空間向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,則λ=

,若a⊥b,則

λ=

.

(-1,-1,1)(5,-11,19)168解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.4探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測空間向量的坐標(biāo)表示

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測空間向量的坐標(biāo)運算例2已知在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).思路分析先由點的坐標(biāo)求出各個向量的坐標(biāo),再按照空間向量運算的坐標(biāo)運算法則進(jìn)行計算求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.反思感悟空間向量的坐標(biāo)運算注意以下幾點:(1)一個向量的坐標(biāo)等于這個向量的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).(2)空間向量的坐標(biāo)運算法則類似于平面向量的坐標(biāo)運算,牢記運算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.(3)運用公式可以簡化運算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測空間向量的平行與垂直

(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.(2)把ka+b與ka-2b用坐標(biāo)表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟向量平行與垂直問題主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡化運算的目的.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分別求λ與m的值;探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測空間向量夾角與模的計算例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點.(1)求BM,BN的長.(2)求△BMN的面積.思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,寫出B,M,N等點的坐標(biāo),從而得出

的坐標(biāo).然后利用模的公式求得BM,BN的長度.對于(2),可利用夾角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面積公式計算.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:以C為原點,以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟向量夾角與模的計算方法利用坐標(biāo)運算解決空間向量夾角與長度的計算問題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點的坐標(biāo),然后利用夾角與模的計算公式進(jìn)行求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點,則cos∠EAF=

,EF=

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:以A為原點,AB,AD,AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體棱長為1,則探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多變——空間向量的平行與垂直

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測由題意,可設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a,1),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究2本例中若點G是A1D的中點,點H在平面xOy上,且GH∥BD1,試判斷點H的位置.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)答案:D

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.下列向量中與向量a=(0,1,0)平行的向量是(

)A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)答案:B

解析:比較選項中各向量,觀察哪個向量符合λa=(0,λ,0)的形式,經(jīng)過觀察,只有c=-a.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,則k的值等于(

)答案:D

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.已知點A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),則A,B兩點的距離的最小值為(

)答案:C

解析:因為點A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)計算2a-3b和|2a-3b|.(2)求<a,b>.第1課時空間中點、直線和平面的向量

表示及空間中直線、平面的平行1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系一、空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.微練習(xí)1下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的答案:B

解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.

3.空間平面的向量表示式

4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合點析1.空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.微練習(xí)2若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是(

)答案:D

微練習(xí)3A.(-1,2,-1)

B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)答案:A

令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).

二、空間中直線、平面平行的向量表示

點析1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.微練習(xí)1若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=

,y=

.

微練習(xí)2若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是

.

答案:-12

15答案:平行

解析:因為u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測平面法向量及其求法例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線線平行例2在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.證明:(方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:以點D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線面平行例3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長為1,則可求得探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明面面平行例4如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當(dāng)點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進(jìn)行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長為1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測故當(dāng)Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,3,0),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解——利用向量方法證明面面平行典例如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.解題提示證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行即可.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:(方法1)設(shè)正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).設(shè)平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一個法向量為n2=(-1,1,-1).所以n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'.即AD'∥BC',AB'∥DC',所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測所以n1也是平面BDC'的一個法向量,所以平面AB'D'∥平面BDC'.點評建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點的線段,特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體,如正方體,長方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長方體(或正方體)是最簡單的模型.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則(

)A.l1∥l2

B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定答案:A

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.已知線段AB的兩端點坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB(

)A.與坐標(biāo)平面xOy平行

B.與坐標(biāo)平面yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行

D.與坐標(biāo)平面yOz相交答案:B

解析:因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以

=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案:D

解析:因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項符合.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:-8探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測第2課時空間中直線、平面的垂直知識點撥

空間中直線、平面垂直的向量表示

微練習(xí)設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=(

)

A.2 B.-5 C.4 D.-2答案:B

解析:因為α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.(

)(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.(

)(3)兩個平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.(

)(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)√探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線線垂直例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:(方法1)以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例條件不變,求證:AF⊥BC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點.求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線面垂直例2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點.求證:D1M⊥平面EFB1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:因為AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B(4,0,0),P(0,0,4),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明面面垂直例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點E為BB1的中點,證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析要證明兩個平面垂直,由兩個平面垂直的條件,可證明這兩個平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點B為原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),A1(2,0,1),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑:一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個平面的法向量,由兩個法向量垂直,得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點,AF=AB=BC=FE=AD.求證:平面AMD⊥平面CDE.分析:因為FA⊥平面ABCD,所以可以以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題立體幾何中的存在探究題,解決思路一般有兩個:(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點或線的位置,并用向量表示出來,然后再加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點或參數(shù)存在,并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點,根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,E是B1C的中點.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)以B為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵AC=2a,∠ABC=90°,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)存在.理由如下:假設(shè)存在點F,使CF⊥平面B1DF.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測歸納總結(jié)空間向量適合解決這類立體幾何中的探索性問題,它無須進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理,只需通過坐標(biāo)運算進(jìn)行判斷.解題時,把要說明成立的結(jié)論當(dāng)作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解”“是否有規(guī)定范圍的解”等,所以使問題的解決更簡單、有效,應(yīng)善于運用這一方法解題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.若直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),則(

)A.l?α B.l∥αC.l⊥α D.l與α相交答案:C

解析:∵直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點,則(

)A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不對答案:B

解析:以D為原點,分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因為n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.若直線l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),則直線l與β的位置關(guān)系是

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答案:l⊥β

解析:因為a∥b,所以l⊥β.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點,求證:平面BEF⊥平面ABC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,取A(0,0,a),則易得B(0,0,0),第1課時距離問題1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題一、點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離1.點到直線的距離2.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.名師點析點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度,由于直線與直線外一點確定一個平面,所以空間點到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個平面內(nèi)點到直線的距離問題.微練習(xí)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C1C,D1A1的中點,則點A到直線EF的距離為

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二、點到平面的距離、兩個平行平面之間的距離點到平面的距離已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則點P到平面α的距離為2.如果一條直線l與一個平面α平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點P到平面α的距離求解.3.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面α,β互相平行,在其中一個平面α內(nèi)任取一點P,可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點P到平面β的距離求解.微練習(xí)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為4,則點B1到平面AD1C的距離為

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解析:以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用空間向量求點線距例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求點B到直線A1C1的距離.解:以B為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點,但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究1例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點,試求點C1到直線MN的距離.解:如例1解中建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究2將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱,求點B到A1C1的距離.解:以B為坐標(biāo)原點,分別以BA,過B垂直于BA的直線,BB1為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A1(2,0,2),探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用空間向量求點面距例2在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示.求點B到平面CMN的距離.思路分析借助平面SAC⊥平面ABC的性質(zhì),建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面CMN的法向量,再求距離.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:取AC的中點O,連接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO?平面ABC,∴SO⊥BO.如圖所示,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟求點到平面的距離的主要方法(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點.(1)求證:B1C∥平面A1BD;(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)解:因為B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距離就等于點B1到平面A1BD的距離.如圖建立坐標(biāo)系,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的中點,EF與B1D相交于點H.(1)求證:B1D⊥平面ABD;(2)求證:平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.思路分析根據(jù)兩個平行平面間距離的定義,可將平面與平面間的距離轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)一點到另一個平面的距離,即點面距.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)證明:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,則A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,