中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)有答案下

2014年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二十一講矩形菱形正方形【基礎(chǔ)知識回顧】一、矩形：1、定義：有一個角是角的平行四邊形叫做矩形2、矩形的性質(zhì)：⑴矩形的四個角都⑵矩形的對角線3、矩形的判定：⑴用定義判定⑵有三個角是直角的是矩形⑶對角線相等的是矩形【名師提醒：1、矩形是對稱到對稱中心是又是對稱圖形對稱軸有條2、矩形被它的對角線分成四個全等的三角形與兩個全等的三角形3、矩形中常見題目是對角線相交成600或1200角時，利用直角三角形、等邊三角形等知識解決問題】二、菱形：1、定義：有一組鄰邊的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)：⑴菱形的四條邊都⑵菱形的對角線且每條對角線3、菱形的判定：⑴用定義判定。⑵對角線互相垂直的是菱形⑶四條邊都相等的是菱形【名師提醒：1、菱形即是對稱圖形，也是對稱圖形，它有條對稱軸，分別是2、菱形被對角線分成四個全等的三角形與兩對全等的三角形3、菱形的面積可以用平行四邊形面積公式計算，也可以用兩對角線積的來計算4、菱形常見題目是內(nèi)角為1200或600時，利用等邊三角形或直角三角形知識潔具的題目】三、正方形：1、定義：有一組鄰邊相等的是正方形，或有一個角是直角的是正方形2、性質(zhì)：⑴正方形四個角都都是角，⑵正方形四邊條都⑶正方形兩對角線、且每條對角線平分一組內(nèi)角3、判定：⑴先證是矩形，再證，⑵先證是菱形，再證【名師提醒：菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，正方形具有以上特殊四邊形的所有性質(zhì)。這四者之間的關(guān)系可表示為：⑴正方形也即是對稱圖形，又是對稱圖形，有條對稱軸⑵幾種特殊四邊形的性質(zhì)與判定都是從、、三個方面來看的，要注意它們的與聯(lián)系】【重點考點例析】考點一：與矩形有關(guān)的計算問題例1（2012?肇慶）如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC交DC的延長線于點E．（1）求證：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四邊形ABED的面積．思路分析：（1）根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD，然后證明四邊形ABEC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AC=BE，從而得證；（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分求出BD的長度，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度，然后利用勾股定理求出BC的長度，再利用梯形的面積公式列式計算即可得解．點評：本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2012?哈爾濱）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點F，∠AED=2∠CED，點G是DF的中點，若BE=1，AG=4，則AB的長為．例1圖訓(xùn)練1題圖例2圖訓(xùn)練2題圖例3圖考點二：與菱形有關(guān)的對角線、周長、面積的計算問題例2（2012?衡陽）如圖，菱形ABCD的周長為20cm，且tan∠ABD=，則菱形ABCD的面積為cm2．思路分析：連接AC交BD于點O，則可設(shè)BO=3x，AO=4x，繼而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB，結(jié)合菱形的周長為20cm可得出x的值，再由菱形的面積等于對角線乘積的一半即可得出答案．解答：解：連接AC交BD于點O，則AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，設(shè)BO=3x，AO=4x，則AB=5x，又∵菱形ABCD的周長為20，∴4×5x=20，解得：x=1，可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm，可得AC×BD=24cm2．答案為：24．點評：此題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的對角線互相垂直且平分的性質(zhì)，及菱形的面積等于對角線乘積的一半是解答本題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2012?山西）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是（）A．5cmB．2cmC．cmD．cm考點三：與正方形有關(guān)的證明題例3（2012?黃岡）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接DF、AE，AE的延長線交DF于點M．求證：AM⊥DF．．分析：根據(jù)DE=CF，可得出OE=OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME=90°，即得出了結(jié)論．解答：證明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC，又∵DE=CF，∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，在RT△AOE與RT△DOF中，，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE=∠ODF，∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°，即可得AM⊥DF．點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過全等的證明得出∠OAE=∠ODF，利用等角代換解題．對應(yīng)訓(xùn)練3．（2012?貴陽）如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC與CD上．（1）求證：CE=CF；（2）若等邊三角形AEF的邊長為2，求正方形ABCD的周長．（提示：連接AC）考點四：四邊形綜合性題目例4（2012?江西）如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞頂點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE=DF時，∠BAE的大小可以是．訓(xùn)練3題圖例4圖（1）訓(xùn)練4題圖分析：利用正方形的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)證明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性質(zhì)與已知條件即可求出當(dāng)BE=DF時，∠BAE的大小，應(yīng)該注意的是，正三角形AEF可以再正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解．解答：解：①當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時，如圖1，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，當(dāng)BE=DF時，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAE=30°，∴∠BAE=∠FAD=15°，②當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的外部時．∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，當(dāng)BE=DF時，∴AB=ADBE=DFAE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=（360°-90°-60°）×+60°=165°，∴∠BAE=∠FAD=165°.故答案為：15°或165°．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與全等三角形的性質(zhì)與分類討論的數(shù)學(xué)思想，題目的綜合性不?。畬?yīng)訓(xùn)練4．（2012?銅仁地區(qū)）以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點，則線段AB的最小值是．【聚焦中考】2．（2012?青島）已知：如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，點O既是AC的中點，又是EF的中點．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）若OA=BD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？說明理由．2題圖3題圖4題圖5題圖3．（2012?威海）如圖，在?ABCD中，AE，CF分別是∠BAD與∠BCD的平分線，添加一個條件，仍無法判斷四邊形AECF為菱形的是（）A．AE=AFB．EF⊥ACC．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分線4．（2012?聊城）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形OCED是菱形．5．（2012?濟(jì)寧）如圖，AD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥AB，DF∥AC，分別交AC、AB于點E與F．（1）在圖中畫出線段DE與DF；（2）連接EF，則線段AD與EF互相垂直平分，這是為什么？【備考過關(guān)】一、選擇題1．（2012?南通）如圖，矩形ABCD的對角線AC=8cm，∠AOD=120°，則AB的長為（）A．3cmB．2cmC．23D．4cm1題圖3題圖5題圖6題圖7題圖2.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．對角線互相垂直的四邊形D．對角線相等的四邊形3．（2012?大連）如圖，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則菱形的周長是（）A．20B．24C．28D．404．（2012?張家界）順次連接矩形四邊中點所得的四邊形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．（2012?丹東）如圖，菱形ABCD的周長為24cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長等于（）A．3cmB．4cmC．2.5cmD．2cm6．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于O，若AC=6，BD=4，則菱形的周長是（）A．24B．16C．4D．27．（2012?恩施州）如圖，菱形ABCD與菱形ECGF的邊長分別為2與3，∠A=120°，則圖中陰影部分的面積是（）A．B．2C．3D．28．（2012?貴港）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連接BF、DE交于點M，延長ED到H使DH=BM，連接AM，AH，則以下四個結(jié)論：①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等邊三角形；④S四邊形ABCD=AM2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．48題圖9題圖10題圖11題圖12題圖9．（2012?丹東）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于點O．下列結(jié)論：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④S△ODC=S四邊形BEOF中，正確的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個10．（2012?瀘州）如圖，邊長為a的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A′B′C′D′，圖中陰影部分的面積為（）A．B．C．D．二、填空題11．（2012?十堰）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則EF=．12．（2012?山西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30°，OC=2，則點B的坐標(biāo)是．13．（2012?寧夏）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，則DE的長度是．13題圖14題圖18題圖19題圖20題圖14．（2012?龍巖）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜邊AB上任意一點，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，則矩形CFEG的周長是．16．（2012?畢節(jié)地區(qū)）我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形．現(xiàn)有一個對角線分別為6cm與8cm的菱形，它的中點四邊形的對角線長是．17．（2012?肇慶）菱形的兩條對角線長分別為6與8，則這個菱形的周長為．18．（2012?西寧）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=12，BD=16，E為AD中點，點P在x軸上移動，小明同學(xué)寫出了兩個使△POE為等腰三角形的P點坐標(biāo)（-5，0）與（5，0）．請你寫出其余所有符合這個條件的P點坐標(biāo)．19．（2012?寧德）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別是BD、CD的中點，EF=6cm，則AB=cm．21．（2012?綿陽）如圖，正方形的邊長為2，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)π≈3.14）21題圖22題圖23題圖24題圖25題圖22．（2012?深圳）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5，OC=62，則另一直角邊BC的長為．三、解答題23．（2012?云南）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點N，連接BM，DN．（1）求證：四邊形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的長．24．（2012?吉林）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD，EC．（1）求證：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．25、已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA=MC．①求證：CD=AN；②若∠AMD=2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．27．（2012?溫州）如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應(yīng)點分別是D，E，F(xiàn)，連接AD．求證：四邊形ACFD是菱形．27題圖28題圖28．（2012?重慶）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME．2014年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二十二講梯形【基礎(chǔ)知識回顧】一、梯形的定義、分類、與面積：1、定義：一組對邊平行，而另一組對邊的四邊形，叫做梯形。其中，平行的兩邊叫做兩底間的距離叫做梯形的一般梯形一般梯形等腰梯形：兩腰等腰梯形：兩腰的梯形叫做等腰梯形特殊梯形直角梯形：一腰與底直角梯形：一腰與底的梯形叫做直角梯形3、梯形的面積：梯形=（上底+下底）X高【名師提醒：要判定一個四邊形是梯形，除了要注明它有一組對邊外，還需注明另一組對邊不平行或的這組對邊不相等】二、等腰梯形的性質(zhì)與判定：1、性質(zhì)：⑴等腰梯形的兩腰相等，相等⑵等腰梯形的對角線⑶等腰梯形是對稱圖形2、判定：⑴用定義：先證明四邊形是梯形，再證明其兩腰相等⑵同一底上兩個角的梯形是等腰梯形⑶對角線的梯形是等腰梯形【名師提醒：1、梯形的性質(zhì)與判定中同一底上的兩個角相等“不被成”兩底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必須先證它是梯形3、解決梯形問題的基本思路是通過做輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為形式常見的輔助線作法有四種，要注意根據(jù)題目的特點靈活選用輔助線】【重點考點例析】考點一：梯形的基本概念與性質(zhì)例1（2012?內(nèi)江）如圖，四邊形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，則S梯形ABCD=答圖思路分析：過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，過點B作BF⊥DC于點F，判斷出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，繼而利用梯形的面積公式即可求解．解答：解：過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，過點B作BF⊥DC于點F，

則AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC且BD⊥AC，

∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，

故可得梯形ABCD的面積為（AB+CD）×BF=9．故答案為：9．點評：此題考查了梯形的知識，平移一條對角線是經(jīng)常用到的一種輔助線的作法，同學(xué)們要注意掌握，解答本題也要熟練等腰直角三角形的性質(zhì)，難度一般．對應(yīng)訓(xùn)練1.（2012?無錫）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分線交BC于E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于（）A．17 B．18 C．19 D．20訓(xùn)練1題圖例2圖訓(xùn)練2題圖例3圖考點二：等腰梯形的性質(zhì)例2（2012?呼與浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，則梯形的面積是（）A．25 B．50 C．25 D．思路分析：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，作DF⊥BC于F，證平行四邊形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出BF=DF=EF=BE，求出DF，根據(jù)梯形的面積公式求出即可．解答：解：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，∵AD∥BC（已知），即AD∥CE，

∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AD=CE=3，AC=DE，

在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE（等量代換），∵AC⊥BD，AC∥DE，

∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，則DF=BE=5，

S梯形ABCD=（AD+BC）?DF=（3+7）×5=25，故選A．點評：本題主要考查對等腰三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形等知識點的理解與掌握，能求出高DF的長是解此題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2012?廈門）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，若OB=3，則OC=考點三：等腰梯形的判定例3（2012?襄陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）當(dāng)AB與AC具有什么位置關(guān)系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．分析：（1）由AD∥BC，由平行線的性質(zhì)，可證得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠EAD=∠EDA，則可得∠DEC=∠AEB，繼而證得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；

（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四邊形ABED與四邊形AECD均為平行四邊形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易證得四邊形AECD是菱形；過A作AG⊥BE于點G，易得△ABE是等邊三角形，即可求得答案AG的長，繼而求得菱形AECD的面積．解答：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，

又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，

∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）當(dāng)AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形．

證明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四邊形ABED與四邊形AECD均為平行四邊形．

∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四邊形AECD是菱形．

過A作AG⊥BE于點G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等邊三角形，

∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC?AG=2×=2。點評：此題考查了等腰梯形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2011?百色）已知矩形ABCD的對角線相交于點O，M、N分別是OD、OC上異于O、C、D的點．

（1）請你在下列條件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位線，④MN∥AB中任選一個添加條件（或添加一個你認(rèn)為更滿意的其他條件），使四邊形ABNM為等腰梯形，你添加的條件是．

（2）添加條件后，請證明四邊形ABNM是等腰梯形．訓(xùn)練4題圖例4圖例4答圖考點四：梯形的綜合應(yīng)用例4（2012?黑龍江）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，點E、F分別是AB、BC邊的中點，連接AF、CE交于點M，連接BM并延長交CD于點N，連接DE交AF于點P，則結(jié)論：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM=S梯形ABCD，正確的個數(shù)有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個分析：連接DF，AC，EF，如圖所示，由E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，得到EB=FB，再由一對公共角相等，利用SAS可得出△ABF與△CBE全等，由確定三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，再由AE=FC，對頂角相等，利用AAS可得出△AME與△CMF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM與△BFM全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得出∠ABN=∠CBN，選項①正確；由AD=AE，梯形為直角梯形，得到∠EAD為直角，可得出△AED為等腰直角三角形，可得出∠AED為45°，由∠ABC為直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN為45°，根據(jù)同位角相等可得出DE平行于BN，選項②正確；由AD=AE=AB=BC，且CF=BC，得到AD=FC，又AD與FC平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ADCF為平行四邊形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代換可得出DC=EC，即△DCE為等腰三角形，選項③正確；由EF為△ABC的中位線，利用三角形中位線定理得到EF平行于AC，由兩直線平行得到兩對內(nèi)錯角相等，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△EFM與△ACM相似，且相似比為1：2，可得出EM：MC=1：2，設(shè)EM=x，則有MC=2x，用EM+MC表示出EC，設(shè)EB=y，根據(jù)BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，兩者相等得到x與y的比值，即為EM與BE的比值，即可判斷選項④正確與否；由E為AB的中點，利用等底同高得到△AME的面積與△BME的面積相等，由△BME與△BFM全等，得到面積相等，可得出三個三角形的面積相等都為△ABF面積的，由E為AB的中點，且EP平行于BM，得到P為AM的中點，可得出△AEP的面積等于△PEM的面積，得到△PEM的面積為△ABF面積的，由ABFD為矩形得到△ABF與△ADF全等，面積相等，由△ADF與△CFD全等得到面積相等，可得出三個三角形面積相等都為梯形面積的，綜上得到△PEM的面積為梯形面積的，可得出選項⑤錯誤，綜上，得到正確的個數(shù)．解答：解：連接DF，AC，EF，如圖所示：∵E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，

∴AE=EB=BF=FC，在△ABF與△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），

∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，

在△AME與△CMF中，，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM=FM，

在△BEM與△BFM中，，∴∠ABN=∠CBN，選項①正確；

∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED為等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∴∠AED=∠ABN=45°，∴ED∥BN，選項②正確；

∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC，又AD∥FC，∴四邊形AFCD為平行四邊形，

∴AF=DC，又AF=CE，∴DC=EC，則△CED為等腰三角形，選項③正確；

∵EF為△ABC的中位線，∴EF∥AC，且EF=AC，∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，

∴△EFM∽△CAM，∴EM：MC=EF：AC=1：2，設(shè)EM=x，則有MC=2x，EC=EM+MC=3x，

設(shè)EB=y，則有BC=2y，在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理得：EC==y，

∴3x=y，即x：y=：3，∴EM：BE=：3，選項④正確；

∵E為AB的中點，EP∥BM，∴P為AM的中點，∴S△AEP=S△EPM=S△AEM，又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF，

∵四邊形ABFD為矩形，∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD，

∴S△EPM=S梯形ABCD，選項⑤錯誤．則正確的個數(shù)有4個．故選B點評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2012?麗水）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF=120°．

（1）當(dāng)點E是AB的中點時，線段DF的長度是；

（2）若射線EF經(jīng)過點C，則AE的長是答圖（提示：（1）DF=6；（2）過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CF⊥AB于F。設(shè)AE=x，則BE=6-x，則EF=，由△EDF∽△BCE，，即，解得x=2或5）【聚焦中考】1．（2012?煙臺）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點坐標(biāo)為（4，0），D點坐標(biāo)為（0，3），則AC長為（）A．4 B．5 C．6 D．不能確定1題圖2題圖2．（2012?臨沂）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD【備考過關(guān)】 一、選擇題1．（2012?十堰）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點M是AD的中點，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，則梯形ABCD的周長為（）A．22 B．24 C．26 D．281題圖2題圖4題圖5題圖2．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，則∠D的度數(shù)是（）A．120° B．110° C．100° D．80°3.（2012?樂山）下列命題是假命題的是（）A．平行四邊形的對邊相等B．四條邊都相等的四邊形是菱形C．矩形的兩條對角線互相垂直D．等腰梯形的兩條對角線相等4．（2012?廣州）如圖，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于點E，且EC=3，則梯形ABCD的周長是（）A．26 B．25 C．21 D．20二、填空題5．（2012?南通）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，則CD=cm．6．（2012?丹東）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，則梯形上下底之與為6題圖7題圖8題圖9題圖7．（2012?欽州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，則等腰梯形ABCD的周長為8．（2012?長沙）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，則BC的長為9．（2012?巴中）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AC，點E是BC的中點且DE∥AB，則∠BCD的度數(shù)是10．（2012?黃岡）

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，則下底BC的長為10題圖11題圖12題圖13題圖三、解答題11．（2012?鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC．（1）求證：DE=EC；

（2）若AD=BC，試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由．12．（2012?蘇州）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延長線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．

（1）求證：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度數(shù)．13．（2012?永州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求證：四邊形AEFG為平行四邊形．14．（2012?南京）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．

（1）求證：四邊形EFGH是正方形；

（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積．14題圖15題圖16題圖17題圖15．（2012?懷化）如圖，在等腰梯形ABCD中，E為底BC的中點，連接AE，DE．求證：AE=DE．16．（2012?河北）如圖，某市A，B兩地之間有兩條公路，一條是市區(qū)公路AB，另一條是外環(huán)公路AD-DC-CB，這兩條公路圍城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2．

（1）求外環(huán)公路的總長與市區(qū)公路長的比；

（2）某人駕車從A地出發(fā)，沿市區(qū)公路去B地，平均速度是40km/h，返回時沿外環(huán)公路行駛，平均速度是80km/h，結(jié)果比去時少用了h，求市區(qū)公路的長．17．（2012?杭州）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE與等邊三角形DCF，連接AF，DE．

（1）求證：AF=DE；

（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE與△DCF的面積之與等于梯形ABCD的面積，求BC的長．（提示：（1）證△AED≌△DFA。（2）作BH⊥AD，CK⊥A,由S梯形ADBC=2S△ABE=2S△DCF，得=2×，∴BC=）2014年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二十三講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)【基礎(chǔ)知識回顧】一、圓的定義及性質(zhì)：1、圓的定義：⑴形成性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)形成的圖形叫做圓，固定的端點叫線段OA叫做⑵描述性定義：圓是到定點的距離等于的點的集合【名師提醒：1、在一個圓中，圓←決定圓的半徑?jīng)Q定圓的2、直徑是圓中的弦，弦不一定是直徑】2、弦與?。合遥哼B接圓上任意兩點的叫做弦?。簣A上任意兩點間的叫做弧，弧可分為、、三類3、圓的對稱性：⑴軸對稱性：圓是軸對稱圖形，有條對稱軸的直線都是它的對稱軸⑵中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心是【名師提醒：圓不僅是中心對稱圖形，而且具有旋轉(zhuǎn)性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都被與原來的圖形重合】二、垂徑定理及推論：1、垂徑定理：垂直于弦的直徑，并且平分弦所對的2、推論：平分弦（）的直徑，并且平分弦所對的【名師提醒：1、垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：⑴過圓心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所對的優(yōu)弧⑸平分弦所對的劣弧五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，注意解題過程中的靈活運用。2、圓中常作的輔助線是過圓心作弦的線。3、垂徑定理常用作計算，在半徑r弦a弦心d與弦h中已知兩個可求另外兩個】三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：1、圓心角定義：頂點在的角叫做圓心角2、定理：在中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量它們所對應(yīng)的其余各組量也分別【名師提醒：注意：該定理的前提條件是“在同圓或等圓中”】四、圓周角定理及其推論：1、圓周角定義：頂點在并且兩邊都與圓的角叫圓周角2、圓周角定理：在同圓或等圓中，圓弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的推論1、在同圓或等圓中，如果兩個圓周角那么它們所對的弧推論2、半圓（或直弦）所對的圓周角是900的圓周角所對的弦是【名師提醒：1、在圓中，一條弦所對的圓心角只有一個，而它所對的圓周角有個，它們的關(guān)系是，作直弦所對的圓周角是圓中常作的輔助線】五、圓內(nèi)接四邊形：定義：如果一個多邊形的所有頂點都在圓上，這個多邊形叫做這個圓叫做性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角【名師提醒：圓內(nèi)接平行四邊形是圓內(nèi)接梯形是】考點一：垂徑定理例1（2012?紹興）如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是：

甲：1、作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點，2、連接AB，AC，△ABC即為所求的三角形

乙：1、以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點．2、連接AB，BC，CA．△ABC即為所求的三角形．對于甲、乙兩人的作法，可判斷（）A．甲、乙均正確 B．甲、乙均錯誤C．甲正確、乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確分析：由甲的思路畫出相應(yīng)的圖形，連接OB，由BC為OD的垂直平分線，得到OE=DE，且BC與OD垂直，可得出OE為OD的一半，即為OB的一半，在直角三角形BOE中，根據(jù)一直角邊等于斜邊的一半可得出此直角邊所對的角為30°，得到∠OBE為30°，利用直角三角形的兩銳角互余得到∠BOE為60°，再由∠BOE為三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等邊對等角及外角性質(zhì)得到∠ABO也為30°，可得出∠ABC為60°，同理得到∠ACB也為60°，利用三角形的內(nèi)角與定理得到∠BAC為60°，即三角形ABC三內(nèi)角相等，進(jìn)而確定三角形ABC為等邊三角形；

由乙的思路畫出相應(yīng)的圖形，連接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代換可得出三角形OBD三邊相等，即為等邊三角形，的長∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根據(jù)三線合一得到BE為角平分線，可得出∠OBE為30°，又∠BOE為三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等邊對等角及外角的性質(zhì)得到∠ABO也為30°，可得出∠ABC為60°，同理得到∠ACB也為60°，利用三角形的內(nèi)角與定理得到∠BAC為60°，即三角形ABC三內(nèi)角相等，進(jìn)而確定三角形ABC為等邊三角形，進(jìn)而得出兩人的作法都正確．解答：解：根據(jù)甲的思路，作出圖形如下：連接OB，∵BC垂直平分OD，∴E為OD的中點，且OD⊥BC，∴OE=DE=OD，又OB=OD，在Rt△OBE中，OE=OB，

∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，∴∠BOE=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，

又∠BOE為△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，

同理∠C=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠C，∴△ABC為等邊三角形，故甲作法正確；

根據(jù)乙的思路，作圖如下：連接OB，BD，∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB，∴△BOD為等邊三角形，∴∠OBD=∠BOD=60°，

又BC垂直平分OD，∴OM=DM，∴BM為∠OBD的平分線，∴∠OBM=∠DBM=30°，

又OA=OB，且∠BOD為△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，同理∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC為等邊三角形，

故乙作法正確，故選A點評：此題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及判定是解本題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2012?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，OP⊥AC于點P，OP=2，則⊙O的半徑為（）A．4 B．6 C．8 D．12訓(xùn)練1題圖例2圖例2答圖訓(xùn)練2題圖例3圖考點二：圓周角定理例2012?青海）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點N，點M在⊙O上，∠1=∠C

（1）求證：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直徑．分析：（1）由∠C與∠M是所對的圓周角，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；

（2）首先連接AC，AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得=，繼而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=，即可求得⊙O的直徑．解答：（1）證明：∵∠C與∠M是所對的圓周角，∴∠C=∠M，

又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M，∴CB∥MD；（2）解：連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵CD⊥AB，∴=，

∴∠A=∠M，∴sinA=sinM，在Rt△ACB中，sinA=，∵sinM=，BC=4，∴AB=6，

即⊙O的直徑為6．點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、平行線的判定以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2012?沈陽）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD

（1）求證：BD平分∠ABC；

（2）當(dāng)∠ODB=30°時，求證：BC=OD．考點三：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)例3（2012?深圳）如圖，⊙C過原點，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點A、點B，點A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi)上一點，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長為（）A．6B．5C．3D．3分析：先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠OAB的度數(shù)，由圓周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出AB的長，進(jìn)而得出結(jié)論．解答：解：∵四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵點A的坐標(biāo)為（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半徑長==3．故選C．點評：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練3．（2011?肇慶）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點，若∠BAD=105°，則∠DCE的大小是（）A．115°B．l05°C．100°D．95°訓(xùn)練3題圖1題圖2題圖【聚焦中考】1．012?泰安）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是（）A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD2．（2012?東營）某施工工地安放了一個圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1），若不計木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是cm．

3．（2012?泰安）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=6，點C是優(yōu)弧上一點（不與A，B重合），則cosC的值為．3題圖4題圖過關(guān)1題圖過關(guān)2題圖過關(guān)3題圖4．（2012?青島）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，則∠ABC的度數(shù)是．【備考過關(guān)】一、選擇題1．（2012?無錫）如圖，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，P是⊙M上異于A、B的一動點，直線PA、PB分別交y軸于C、D，以CD為直徑的⊙N與x軸交于E、F，則EF的長（）A．等于4B．等于4C．等于6D．隨P點位置的變化而變化2．（2012?陜西）如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為（）A．3 B．4 C．3 D．43．（2012?黃岡）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，則⊙O的直徑為（）A．8 B．10 C．16 D．204．（2012?河北）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦（不是直徑），AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論正確的是（）A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE4題圖5題圖6題圖7題圖8題圖5．（2012?重慶）已知：如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45°B．35°C．25°D．20°6．（2012?云南）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，連接AD、BC．若∠BAD=60°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．（2012?襄陽）△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°8．（2012?瀘州）如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，∠B=60°，∠BOD=100°，則∠C的度數(shù)為（）A．50°B．60°C．70°D．80°二、填空題9．（2012?朝陽）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB，垂足為E，已知CD=6，AE=1，則⊙0的半徑為9題圖10題圖11題圖12題圖13題圖10．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，則半徑OB的長為11．如圖，在⊙O中，直徑AB丄弦CD于點M，AM=18，BM=8，則CD的長為12．（2012?株洲）已知：如圖，在⊙O中，C在圓周上，∠ACB=45°，則∠AOB=．13．（2012?玉林）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時，∠NMB的度數(shù)是．14．（2012?義烏市）如圖，已知點A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連接AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊△APQ，連接PB、BA．若四邊形ABPQ為梯形，則：

（1）當(dāng)AB為梯形的底時，點P的橫坐標(biāo)是；

（2）當(dāng)AB為梯形的腰時，點P的橫坐標(biāo)是．14題圖15題圖16題圖17題圖18題圖15．（2012?鞍山）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB、CD為⊙O直徑，DE⊥AB于點E，sinA=，則∠D的度數(shù)是．三、解答題16．（2012?荊門）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點A與B相距8m，罐底最低點到地面CD距離為1m．設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結(jié)果保留整數(shù)）17．（2012?南通）如圖，⊙O的半徑為17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB與CD的距離．18．（2012?寧夏）在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．求∠D的度數(shù)．19．（2012?長沙）如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°，

（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）求圓心O到BC的距離OD．19題圖20題圖21題圖20．（2012?大慶）如圖△ABC中，BC=3，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，若D是AC中點，∠ABC=120°．

（1）求∠ACB的大??；（2）求點A到直線BC的距離．21．（2012?懷化）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，點C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD、DB．

（1）當(dāng)∠ADC=18°時，求∠DOB的度數(shù)；（2）若AC=2，求證：△ACD∽△OCB．（提示：（1）由∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，得：∠DOB=2∠DAB=96。（2）過O作OE⊥AB于E，求得=。）第二十四講與圓有關(guān)的位置關(guān)系【基礎(chǔ)知識回顧】一、點與圓的位置關(guān)系：1、點與圓的位置關(guān)系有種，若圓的半徑為r點P到圓心的距離為d則：點P在圓內(nèi)<＝>點P在圓上<＝>點P在圓外<＝>2、過三點的圓：⑴過同一直線上三點作圓，過三點，有且只有一個圓⑵三角形的外接圓：經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓的圓心叫做三角形的這個三角形叫做這個圓的⑶三角形外心的形成：三角形的交點，外心的性質(zhì)：到相等【名師提醒：1、銳角三角形外心在三角形直角三角形的外心是銳角三角形的外心在三角形】二、直線與圓的位置關(guān)系：1、直線與圓的位置關(guān)系有種：當(dāng)直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓直線叫圓的線，這的直線叫做圓的直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓2、設(shè)Qo的半徑為r，圓心o到直線l的距離為d，則：直線l與Qo相交<＝>dr,直線l與Qo相切<＝>dr直線l與Qo相離<＝>dr三、切線的性質(zhì)與判定：⑴性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的【名師提醒：根據(jù)這一定理，在圓中遇到切線時，常用連接圓心與切點，即可的垂直關(guān)系】⑵判定定理：經(jīng)過半徑的且這條半徑的直線式圓的切線【名師提醒：在切線的判定中，當(dāng)直線與圓的公共點標(biāo)出時，用判定定理證明。當(dāng)公共點未標(biāo)出時，一般可證圓心到直線的距離d=r來判定相切】四、切線長定理：⑴切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點與切點之間的長叫做這點到圓的切線長。⑵切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線，它們的相等，并且圓心與這一點的連線平分的夾角五、三角形的內(nèi)切圓：⑴與三角形各邊都的圓，叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的⑵三角形內(nèi)心的形成：是三角形的交點內(nèi)心的性質(zhì)：到三角形各的距離相等，內(nèi)心與每一個頂點的連接線平分【名師提醒：三類三角形內(nèi)心都在三角形若△ABC三邊為a、b、c面積為s，內(nèi)切圓半徑為r，則s=，若△ABC為直角三角形，則r=】六、圓與圓的位置關(guān)系：圓與圓的位置關(guān)系有種，若Qo1半徑為R，Qo2半徑為r，圓心距外，則Qo1與Qo2外距<＝>Qo1與Qo2外切<＝>兩圓相交<＝>兩圓內(nèi)切<＝>兩圓內(nèi)含<＝>【名師提醒：兩圓相離無公共點包含與兩種情況，兩圓相切有唯一公共點包含與兩種情況，注意題目中兩種情況的考慮圓心同是兩圓此時d=】反證法：假設(shè)命題的結(jié)論，由此經(jīng)過推理得出由矛盾判定所作的假設(shè)從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫反證法【名師提醒：反證法正題的關(guān)鍵是提出即假設(shè)所證結(jié)論的反面成立，擇推理論證得出的矛盾可以與相矛盾，也可以與相矛盾，從而肯定原命題成立】【典型例題解析】考點一：切線的性質(zhì)例1（2012?永州）如圖，AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，A為切點，連接PC交⊙O于點B，連接AB，且PC=10，PA=6．

求：（1）⊙O的半徑；

（2）cos∠BAC的值．例1圖例2圖分析：（1）由AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，即可得∠PAC=90°，又由PC=10，PA=6，利用勾股定理即可求得AC的值，繼而求得⊙O的半徑；

（2）由AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，根據(jù)圓周角定理與切線的性質(zhì)，即可得∠ABC=∠PAC=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值．解答：解：（1）∵AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，∴CA⊥PA，即∠PAC=90°，

∵PC=10，PA=6，∴AC==8，∴OA=AC=4，∴⊙O的半徑為4；

（2）∵AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，∴∠ABC=∠PAC=90°，

∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，∴∠BAC=∠P，

在Rt△PAC中，cos∠P=，∴cos∠BAC=．點評：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．例2（2012?珠海）已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上．

（1）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；

（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．考點：切線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．專題：幾何綜合題．分析：（1）PO與BC的位置關(guān)系是平行；

（2）（1）中的結(jié)論成立，理由為：由折疊可知三角形APO與三角形CPO全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等邊對等角得到∠A=∠APO，等量代換可得出∠A=∠CPO，又根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代換可得出∠COP=∠ACB，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，可得出PO與BC平行；

（3）由CD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行得到OC與AD平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠APO=∠COP，再利用折疊的性質(zhì)得到∠AOP=∠COP，等量代換可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出三角形AOP三內(nèi)角相等，確定出三角形AOP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60°得到∠AOP為60°，由OP平行于BC，利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC為等邊三角形，可得出∠COB為60°，利用平角的定義得到∠POC也為60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC為等邊三角形，得到內(nèi)角∠OCP為60°，可求出∠PCD為30°，在直角三角形PCD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半，而PC等于圓的半徑OP等于直徑AB的一半，可得出PD為AB的四分之一，即AB=4PD，得證．解答：解：（1）PO與BC的位置關(guān)系是PO∥BC；

（2）（1）中的結(jié)論PO∥BC成立，理由為：由折疊可知：△APO≌△CPO，

∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，

又∵∠A與∠PCB都為所對的圓周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC；

（3）∵CD為圓O的切線，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP，

由折疊可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，又OA=OP，∴∠A=∠APO，

∴∠A=∠APO=∠AOP，∴△APO為等邊三角形，∴∠AOP=60°，

又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，∴△BCO為等邊三角形，

∴∠COB=60°，∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，

∴△POC也為等邊三角形，∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，

又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，

在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．點評：此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2012?玉林）如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊AC上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，與AC相交于點D，連接AE．

（1）求證：AE平分∠CAB；

（2）探求圖中∠1與∠C的數(shù)量關(guān)系，并求當(dāng)AE=EC時，tanC的值．（提示：連接OE，可證2∠1+∠C=90°，）2．（2012?泰州）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5．OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若PC=2，求⊙O的半徑與線段PB的長；

（3）若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．考點二：切線的判定例2（2012?鐵嶺）如圖，⊙O的直徑AB的長為10，直線EF經(jīng)過點B且∠CBF=∠CDB．連接AD．（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）若點C是弧AB的中點，sin∠DAB=，求△CBD的面積．訓(xùn)練1題圖訓(xùn)練2題圖例2圖考點：切線的判定；圓周角定理；解直角三角形．專題：探究型．分析：（1）先由AB是⊙O的直徑可得出∠ADB=90°，再根據(jù)∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB即可得出∠ABF=90°，故EF是⊙O的切線；

（2）作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中，AB=10，sin∠DAB=可求出BD的長，再由C是弧AB的中點，可知∠ADC=∠CDB=45°，根據(jù)BG=DG=BDsin45°可求出BG的長，由∠DAB=∠DCB可得出CG的長，進(jìn)而得出CD的長，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，

∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，

∴AB⊥EF，∴EF是⊙O的切線；

（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中∵AB=10，sin∠DAB=，

又∵sin∠DAB=，∴BD=6，∵C是弧AB的中點，∴∠ADC=∠CDB=45°，

∴BG=DG=BDsin45°=6×=3，∵∠DAB=∠DCB，∴tan∠DCB==，

∴CG=4，∴CD=CG+DG=4+3=7，

∴S△CBD=CD?BG=．點評：本題考查的是切線的判定定理，涉及到圓周角定理、解直角三角形及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．考點三：三角形的外接圓與內(nèi)切圓例4（2012?阜新）如圖，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半徑至少為cm的圓形紙片所覆蓋．例4圖例4答圖例5圖例5答圖分析：作圓O的直徑CD，連接BD，根據(jù)圓周角定理求出∠D=60°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sin∠D=，代入求出CD即可．解答：解：作圓O的直徑CD，連接BD，

∵弧BC對的圓周角有∠A、∠D，∴∠D=∠A=60°，∵直徑CD，∴∠DBC=90°，

∴sin∠D=，即sin60°=，解得：CD=2，∴圓O的半徑是，故答案為：．點評：本題考查了圓周角定理，三角形的外接圓與外心，銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出sin∠D=，題目比較典型，是一道比較好的題目．例5（2012?玉林）如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與兩直角邊AB，BC分別相切于點D，E，過劣?。ú话ǘ它cD，E）上任一點P作⊙O的切線MN與AB，BC分別交于點M，N，若⊙O的半徑為r，則Rt△MBN的周長為（）A．rB．C．2rD．分析：連接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四邊形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根據(jù)切線長定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．解答：解：連接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∴OD⊥AB，OE⊥BC，

∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四邊形ODBE是矩形，

∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=r，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，

∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周長為：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故選C．點評：本題考查的知識點是矩形的判定、正方形的判定、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線長定理等，主要考查運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理與計算的能力，題目比較好，難度也適中．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2012?臺州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求證：△ABD≌△CBE；

（2）如圖2，當(dāng)點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．訓(xùn)練4題圖訓(xùn)練5題圖5．（2012?武漢）在銳角三角形ABC中，BC=5，sinA=，

（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；

（2）如圖2，點I為三角形ABC的內(nèi)心，BA=BC，求AI的長．考點三：圓與圓的位置關(guān)系例6（2012?畢節(jié)地區(qū)）第三十奧運會將于2012年7月27日在英國倫敦開幕，奧運會旗圖案有五個圓環(huán)組成，如圖也是一幅五環(huán)圖案，在這個五個圓中，不存在的位置關(guān)系是（）A．外離 B．內(nèi)切 C．外切 D．相交例6圖訓(xùn)練6題圖分析：根據(jù)兩圓的位置關(guān)系易得到它們的位置關(guān)系有外切、外離、相交．解答：解：觀察圖形，五個等圓不可能內(nèi)切，也不可能內(nèi)含，并且有的兩個圓只有一個公共點，即外切；有的兩個圓沒有公共點，即外離；有的兩個圓有兩個公共點，即相交．故選B．點評：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系：若兩圓的半徑分別為R，r，圓心距為d，若d＞R+r，兩圓外離；若d=R+r，兩圓外切；若R-r＜d＜R+r（R≥r），兩圓相交；若d=R-r（R＞r），兩圓內(nèi)切；若0≤d＜R-r（R＞r），兩圓內(nèi)含．對應(yīng)訓(xùn)練6．（2012?德陽）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，2），⊙A的半徑是2，⊙P的半徑是1，滿足與⊙A及x軸都相切的⊙P有個．【聚焦中考】1．（2012?濟(jì)南）已知⊙O1與⊙O2的半徑是一元二次方程x2-5x+6=0的兩根，若圓心距O1O2=5，則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是（）A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切2．（2012?青島）已知，⊙O1與⊙O2的半徑分別是4與6，O1O2=2，則⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離3．（2012?泰安）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC=120°，OC=3，則的長為（）A．πB．2πC．3πD．5π3題圖5題圖6題圖7題圖4．（2012?濰坊）已知兩圓半徑r1、r2分別是方程x2-7x+10=0的兩根，兩圓的圓心距為7，則兩圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離5．（2012?濟(jì)南）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三邊為直徑向三角形外作三個半圓，矩形EFGH的各邊分別與半圓相切且平行于AB或BC，則矩形EFGH的周長是．6．（2012?菏澤）如圖，PA，PB是⊙O是切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，若∠P=46°，則∠BAC=度．7．（2012?煙臺）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CF⊥AF，且CF=CE．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若sin∠BAC=，求的值．【備考過關(guān)】一、選擇題1．（2012?恩施州）如圖，兩個同心圓的半徑分別為4cm與5cm，大圓的一條弦AB與小圓相切，則弦AB的長為（）A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm1題圖2題圖3題圖9題圖10題圖2．（2012?河南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD切⊙O于點A，．則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．BA⊥DAB．OC∥AEC．∠COE=2∠CAED．OD⊥AC3．（2012?黃石）如圖所示，直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點D并交BA的延長線于點C，且AB=2，AD=1，P點在切線CD上移動．當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時，則∠ABP的度數(shù)為（）A．15°B．30°C．60°D．90°4．（2012?樂山）⊙O1的半徑為3厘米，⊙O2的半徑為2厘米，圓心距O1O2=5厘米，這兩圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切6．（2012?上海）如果兩圓的半徑長分別為6與2，圓心距為3，那么這兩個圓的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相切 C．相交 D．內(nèi)含7．（2012?宿遷）若⊙O1，⊙O2的半徑分別是r1=2，r2=4，圓心距d=5，則這兩個圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離9．（2012?嘉興）如圖，AB是⊙0的弦，BC與⊙0相切于點B，連接OA、OB．若∠ABC=70°，則∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70°10.（2012?泉州）如圖，O是△ABC的內(nèi)心，過點O作EF∥AB，與AC、BC分別交E、F，則（）A．EF＞AE+BFB．EF＜AE+BFC．EF=AE+BFD．EF≤AE+BF二、填空題11．（2012?吉林）如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，∠ACB=40°，點P在邊BC上，則∠PAB的度數(shù)可能為（寫出一個符合條件的度數(shù)即可）。11題圖12題圖13題圖17題圖12．如圖，AC經(jīng)過⊙O的圓心O，AB與⊙O相切于點B，若∠A=50°，則∠C=度．13．如圖，⊙M與⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半徑為6cm，則⊙N的半徑為cm．14．已知兩圓的半徑分別為2與3，兩圓的圓心距為4，那么這兩圓的位置關(guān)系是15．已知圓O1與圓O2外切，圓心距為10cm，圓O1的半徑為3cm，則圓O2的半徑為16．（2012?鹽城）已知⊙O1與⊙O2的半徑分別是方程x2-4x+3=0的兩根，且O1O2=t+2，若這兩個圓相切，則t=17．（2012?荊門）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分別與OA、OC、BC相切于點E、D、B，與AB交于點F．已知A（2，0），B（1，2），則tan∠FDE=．18．（2012?連云港）如圖，圓周角∠BAC=55°，分別過B，C兩點作⊙O的切線，兩切線相交與點P，則∠BPC=°．18題圖20題圖21題圖22題圖19．（2012?武漢）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3.0），點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內(nèi)一點，且AC=2．設(shè)tan∠BOC=m，則m的取值范圍是．20．（2012?宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是AD的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB．其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．21.（2012?黃石）如圖所示，已知A點從（1，0）點出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿著x軸的正方向運動，經(jīng)過t秒后，以O(shè)、A為頂點作菱形OABC，使B、C點都在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t=．22.（2012?湘潭）如圖，△ABC的一邊AB是⊙O的直徑，請你添加一個條件，使BC是⊙O的切線，你所添加的條件為三、解答題23．（2012?天津）已知⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點A、B．

23題圖24題圖25題圖（Ⅰ）如圖①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；

（Ⅱ）如圖②，過點B作BD⊥AC于E，交⊙O于點D，若BD=MA，求∠AMB的大?。?4.（2012?銅仁地區(qū)）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，AB⊥CD，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F．

（1）求證：CD∥BF；