2007年考研數(shù)學(xué)三真題及解析

年入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試一、選擇題：1～10440分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所x xx1 （A）1e （Dx1 f

f(x)f（A）若

f(0)x

（B）若

存在，則f(0) （B）若limf(xf(0)0（D）若limf(xf(x)f(00 連續(xù)函數(shù)yf(x在區(qū)間3,2,2,3上的圖形分別是直徑為1x02,0,0,2的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)F(x)x0

f(t)dt，則下列結(jié)論正確的是3（A）F(3) F343

F(3)5F45（C）F(3)

F4

（D）F(3)

F 42f(xy連續(xù)，則二次積分dxsinxf(xy)dy2 （A）0dyarcsinyf(x, （B）0dyarcsinyf(x, arcsin

dy2

f(x, 0

dy2

f(x, (C) 1ln1exx (A)12,23,3 (B)12,23,3122,223,321 (D)122,223,321 A 1,B

A 2 相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相 p(0p1)42次目（A）3p(1p)2 （B）6p(1p)2（C）3p2(1p)2 （D）6p2(1 X,YX與YfX(x),fYyX,Y的概率密度，則在Yy的條件下，X的條件概率密度fX|Y(x|y為) (B)f(y) (C)f(x)f(y) (D)fX(x) f fY

(.x3x2sinxcosx) x2x1 ，則y(n)(0) 12xf(uvz

y

xx

yz

1y

xy

微分方 滿足 2x

x11的特解為y 0 0 A

1 0

的秩 在區(qū)間0,1

1 2.yy(xylnyxy0yy(x在點(diǎn)(1,1)附近的凹凸性

x2 |x||y| ,1|x||y|D設(shè)二 ,1|x||y|Dx2x2

f(x,

Dx,y|x||y|f(xg(x)a,b(a,b)f(ag(a),f(bg(b，證明：存在(a,bf()g(1將函數(shù)f(x) 展開成x1的冪級(jí)數(shù)，并其收斂區(qū)間x23xx1x2x3x4xax A的特征向量值1,2,2，1,1,1)TA的屬于 BA54A3EE3階單位矩陣驗(yàn)證1是矩陣B的特征向量，并求B設(shè)二維隨量(X,Y)的概率密度.f(x,y)2x 0x1,0y. （I）PX2Y(II)ZXY的概率密度2007x，x， 【詳解x0時(shí)，1eln(1x)ln(1x) xx

2

x，1 1xx1x1221212

x

11 11x2

x1x 或 ln(1x) x)xo(x) o(x

xo(xxx..是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)f(x)去進(jìn)行判斷，然后選擇正確選項(xiàng).f(x)f【詳解】取f(x)|x|，則 0，但f(x)在x0不可導(dǎo)，故選 故選

在（C）中，limf(xf(0)0,f(0)limf(xf(0)limf(x)0，所以(C) x 1211 122F(3) 2 ，F(xiàn)(2) 2 F(2)2f(x)dx0f(x)dxf(x)dx

11

1 所以F(33F(2)3F(2)，故選 .

xsinxy1，則0y1,arcsinyx2【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.畫圖更易看出160160PQ 1P40PQ故選【詳解limylim1ln1exlimylim1ln1ex0 所以y0 1 x limylim ln1 0limln1elim1exx blimyx 故選

li x

x

漸近線時(shí)，斜漸近線不存在.本題要注意exx,x時(shí)的極限不同.7.........【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組1,2,3構(gòu)造的另一向量組1,2,3的線性相關(guān)性 一般1231,2,3A，若A0123線性相關(guān)A0123線性無關(guān).【詳解】由1223310可知應(yīng)選（A）. ,,,, 3 1 所以12,23,31線性相關(guān)，故選

，而 00 【評(píng)注】本題也可用賦值法求解，如取1,0,0T,0,1,0T,0,0,1T，以此求出 陣A必可經(jīng)正交變換使之相似于對(duì)角陣，便可得到答案. 【詳解】由EA (3)2可得3,0 所以通過計(jì)算AB的特征值可立即排除（A（C）. .3C1p(1p)2p3p2(1p)23故選 (x|y)f(x,y)可求解fXfY

(【詳解】因?yàn)閄,YX與YX與Yf(xyfX(xfYy f故 (x|y)f(x, fX(x)fY( (x)，應(yīng)選 fX f( f( 【評(píng)注】若X,YX與YX與Y獨(dú)立是等價(jià)的x3x2

x 0,|sinxcosx|2x2

x3x2所以lim (sinxcosx)0x2x (1)n2n (1)n2n【詳解】y ,2x

2x

(2x

(0)

zyf1f x2 yz1fxf x xzyzyfx所以 2f1 2y 14…..【分析】本題為齊次方程的求解，可令uyyxy【詳解】令u

ux u

u3 1

1lnx1lnC x1eux

yex2，將 1代入左式得Cy

lnxexey2，即y ，xlnx15……….【分析】先將3求出，然后利用定義判斷其秩 【詳解A

00

100r(A) 1 0 0 ............【分析】根據(jù)題意可得兩個(gè) 量服從區(qū)間 上的均勻分布，利用幾何概型計(jì)算較簡(jiǎn)便【詳解】利用幾何概型計(jì)算.yy1A 1x2S32S3所求概率 A 【詳解】方程ylnyxy0xylnyyy1y0yy(2lny1y(1)12

y(2lny) y8,f(xy)df(xy)dD1D在第一象限內(nèi)的部分 x2而f(x,y)d x2d x2 xy1,x0, 1xy2,x0,x2 2 2x2x2x2

1

dy

dy1

2ln 2所以f(xy)d142ln12 x2yx2yx2yf(x,y)dx2y1x 1xx0, x0, 20

2 sincos sin2 2.

2)19…….【分析f(g(F(xf(xg(x，然后根據(jù)題設(shè)條件利【詳解F(xf(xg(xF(x在a,b上連續(xù)，在(a,bF(a)F(b)0若f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)同一點(diǎn)c取得最大值，則f(c)g(c)F(c)0， 定理可得，存在1(a,c),2(c,b)，使得F(1)F(2)0再利用定理，可得存在(1,2)，使得F()0，即f()g()f(xg(x在(a,b內(nèi)不同點(diǎn)c1c2f(c1g(c2MF(c1)f(c1)g(c1)0,F(c2)f(c2)g(c2)0，于是由零值定理可得，存在c3(c1c2，使F(c3于是 定理可得，存在1(a,c3),2(c3,b)，使F(1)F(2)0方法一：驗(yàn)證f(n1)(x)f(n1xx于其內(nèi)的區(qū)間上滿足. 【詳解】f(x)

1 1x23x (x4)(x1)

x x1

1x (x3x43 x ,2x43 n0 3

1 x1 (1)n(x x 2

x12

2

,1x3 (x (1)n(x 所以f(x) 3n12n1(x1)

1x

n0 x2xax 2x4xax

x12x2x3a 0 0 0 a 0A 0 a2 0 a a 0 0 a 0 a a3a 0 1 1 a (a1)(a 顯然，當(dāng)a1,a2時(shí)無公共解當(dāng)a1時(shí)，可求得公共解為k1,0,T1,k為任意常數(shù)；當(dāng)a2時(shí)，可求得公共解為 0,1,T1.【詳解（I）BA54A3E54354321 1 1 1114343，43 2 3 B1的特征向量為xxx)

T0 k(1,0,1)Tk(0,1,0)T，其中kk為不全為零的任意常數(shù).B的屬于－2的特征向量為k(1, 1 - 0令P 1，由（Ⅰ）可得 1

BP ，則 B 1 0 件轉(zhuǎn)化為Axx的形式.請(qǐng)記住以下結(jié)論：,A1Ak,ab,2,f(

(A可逆對(duì)應(yīng)的特征向量是相同的(II)利用卷積公式可得 【詳解（I）PX2Y2xydxdydx22xydy x2(II)fZ(z)f(x,z (2 0zz

2z

0z

(2 1z2(2

1z2

其

. 1 0x f(x) x2(1 其X1X2Xn)XX是樣本均值求參數(shù)的矩估計(jì)量判斷4X2是否為2的無偏估計(jì)量，并說明理由?I?