線代講座-幾何與代數(shù)期中

幾何與代課程的主要內(nèi)n 性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)方陣的伴隨矩陣與逆陣求法矩陣的初等變換與矩陣的秩利用初等變換解線性方程組數(shù)量積、向量積以及混合積平面方程與直線方程及求法空間中點(diǎn)、線、面之間關(guān)系期末考試的形填空題（24分，8個(gè)小題基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、基本性質(zhì)、基本定理的簡(jiǎn)應(yīng)用題（50分，5.5個(gè)小題以上提出20證明題（30分，2.5個(gè)小題重點(diǎn)或關(guān)鍵定理以及類似知識(shí)點(diǎn)的證附加題（10分，1個(gè)小題重點(diǎn)或關(guān)鍵定理以及類似知識(shí)點(diǎn)的證基礎(chǔ)部分（70分書(shū)中例題、習(xí)題原題或稍加修基本概念、性質(zhì)、定理的簡(jiǎn)單提高部分（20分基本概念、基本方法的能力部分（10分重點(diǎn)或關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的綜二、三階直接用定義處利用行列式性質(zhì)計(jì)上（下）三角形行列按行（列）展開(kāi)，降四大方法：特殊形式：箭形、結(jié)遞推公式或歸納引出一個(gè)特殊矩陣-伴隨矩例 例求解方程 解 解方程左

xx2D3x2

4

189

2x2

x2

5

5x

0解x2x用化三角形行列式計(jì)

Dn1 a2

a2 a3a2 a3 a3 a3 a4

ananan x 將第2,3,,n1列都加到第一列，Dn1

xaii1nxaii1nxaii1nxaii1

a1 a2 a2a2 a2 a3

anananx提取第一列的公因子，11n

ananDn1

(x

ai) a2i a2

a3

anx1列的(a1)倍加到第2列，將1列的(倍加到第31列的(an)倍加到最后一列，得Dn1 (xai)i1 i1例計(jì)算Dn

aaa

aaa

a axn 依第n列把Dn拆成兩個(gè)行列式之a(chǎn)xax1 aaax a xn1 a

x

xn1 xn右端的第一個(gè)行列,將第n(1)倍分別加到1,2,n列,右端的第二個(gè)行列n得x10Dn00

x2

0xn0

xn

Dn1從而Dn

x1x2xn1a

xnDn1由此遞推，Dn1Dn

x1x2xnxn

xn

Dn2如此繼續(xù)下去Dn

x1x2xn１a

x1x2xn2

xnx1

x2

x4xn

xnxn1x3D2x1x2xn當(dāng)x1x2Dn

x1x1

x3例求一個(gè)二次

f(x),f

f

f

設(shè)所求的二次多項(xiàng)式f(x)

ax2

由題意

f(1)

ab

f(2)

4a

2bcf(3)

9a

3bc

這是一個(gè)關(guān)于三個(gè)未

a,b,c的線性方程D20

D1

D2

D3

法則，aD1D

2,b

D2D

3,c

D3D于是，所求的多項(xiàng)式f(x)

2x23x

證明平面上三條不同直線axby

0,

cy

0,cx

ayb相交于一點(diǎn)的充分必

b

證必要性證

設(shè)所給三條直線交于一點(diǎn)Mx0

y0),則x

x0,y

y0,

1可視為齊次線性方程組axbxcx

byczcyazaybz

的非零解.從而有系數(shù)行列式

1)(a2

bc)

b)2

(b

2

a)2],所以abc也不全相同,故

b

充分

如果

b

0,將方程

byc,cya,

（１）

ayb的第一、二兩個(gè)方三個(gè)方程，得axbx

bycy

c,a,

（２）0 0下證此方程組（２）如果 bc

acb2

0，則

b2

。由b

c)得

c)]2

a2

2ac

c2，于是ac

(a2

c2)

0，從而有

不妨

ac得

0.再由

bc得c

，與題bc由方程(1)有唯一解，即三條不直線交于一

n行列 Dn

求第一行各元素的代 式之A11

求過(guò)直線:

5y

x4xz4 xz48z

12

0組

角的平面方程. 過(guò)已知直線的平面束方程x5y

z(x

z4)即(1

)x

5

(1

{1

又已知平面的法向量

由題設(shè)nn4

n(1(1)15(4)(1)12(4)2 (1)252(1222222

由此解

34代回平面束方程

x20y7z

12y2z1 求過(guò)z1

且與兩直

x L:y

3x

都相交的直線z z

2x 將兩已知直線方程化為參數(shù)方程yyL1:

yyL2:

3t

t

2t設(shè)所求直線L

的交點(diǎn)分別為A(t1,2t1,

B(t2

A,

三點(diǎn)共線M0A

M0B

為實(shí)數(shù)M0

M0

對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成,即t11

2t1

(t11)1t2

(3t24)

(2t2

1)解之得t10t2

B(2,2,3)M01,1,1

B(2,2,3同在直L上L的方程為x11

y11

z1.2 求直

L:

yxx2yz0上的投影直線的方xL 過(guò)直線L的平面束方程L(2x

y

(x

y

1)即(2

)x

1)又垂直于平面(2

)1

1)2

)(1)即

1

4代入平面束方,

3x

y

1所求投影直線方

3xyz1x 2yz x伴隨矩陣行列

A的各個(gè)元素的代

Aij所構(gòu)成的如下矩

An1An2 AnnAAAAAE.逆矩定義：A為n階方陣，若存在n階方陣,使 AB

BA則稱矩陣A是可逆的（非奇異的、 的、滿秩的矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣判定定理 n階方陣A可

A

且A1

1A滿足規(guī)律

(A1)1

(A)1

1

(AT)1

(A1)T

A4分塊矩陣:用初等變換法求矩陣的逆矩對(duì)分塊矩

A施行初等,當(dāng)把AEAEE，AAEE，A1即A初等列變 EEA1解矩陣方程的初等變換AX(AB)

初等行變(

A1

X

A1XAA

初等列變換

BB BB

1A或初等行變

T

( B

(E(A B

(A X

BA1例 A

0 0 3 (2E

A)(2E

的行列式解 (2E(2E

A)T(2EA)T(2E

A)1(4EA)1(2E

A2A)(2E(2E

A)T(2E

(2E

(2E(2E

0

例4階方A

2

3, 其中

,2

3,

均為4維列向量，且已A

求行列

AB解：A

,

2,

8

2

3,4

2

3, 8(AB 1 1 A

Am 1 1 解：（遞推法

4

224 4AA所以，

m2k

A2A

22Am

A2k

A2

22E

22k

2m4444當(dāng)m2k14444Am

A2k

A2k

22kE

2m1 0 0例已知

AP

PB,

0,P 0

1

1求A

A5

解： APBP

PBP1PBP1

PB2P1

PB2P1PBP1

PB3P1A5PB5P又B2

0 0

B3

1

1 B5

PB5P1

PBP1 0又P1 0 1 0A5

A 0 1

1A的逆矩陣

A 2111 111 0

E) 0r1r2

112212201 0r3r1 0 ~ 201100 1 101~

01 1122001 0r1(122001 0r1(2)r3 1 000111010 1 1011~ 0 0 1002100210011011121 2~00r1(1)r2

1

3

52 1 1 12001011 001011 1 3

52A11 1 12.011 011 設(shè)A

（用初等變換法解

A

2X

(A

2E) A1初等行變換 00

X0

r(Amn)

minm,

有關(guān)矩陣秩的重要結(jié) 設(shè)矩

Amn,

r(A)

則存在可逆矩

P,Q使得

Es o o Es o即矩陣A可以經(jīng)過(guò)初等變換化為

o

形式

P,Q都可逆，r(A)

r(PA)

r(AQ)

r(PAQ)矩陣秩的不等式的證例2：證

r(A

r(A)

r(B)

r(AB)

minr(A),r(B)證：（1）

Amn,

把它么用列向量組表設(shè)A

(1,2,n設(shè)A的列向量組的,n

1,2,n則r,n,,,,t

(1,2設(shè)A的列向量組的極

1,2則r(B)則A

B(1

1

2 ,n

n,t可知A,t

中任一列向量都可由向量,s,s,s,s,1,2,t

1,2

線性表示r(A

B)

r(1,2

sr(B

r(B)

r(r(A

B)

r(A

(B))

r(A)

r(

r(綜上

r(A

B)

r(A)

r(B)證明

r(AB)

r(A)

r(B)

設(shè)AmnBn當(dāng)AB

r(A)

r(B)證

r(A)

s,則存在可逆矩

P,Q使

Es 0

0又PAB

Es

0Q1

（令

0

Es 0

C1（ 0Cn

CC 2Es 0

S

C1 0

n-S

0 2 P可Pr(AB)

r(PAB)

rC1

r(C0 r(C)

r(C2

r(C)

(ns)r(Q1B)n

（Q可逆r(B)n

r(r(AB)

r(A)

r(B)（1）

r(思

r(B).r(A)r(B)

r(B)r(（2）

r(A)

則rA

r(B)A思路A

B

kE,

則rA

r(B)

AB為

階矩陣

ABA

B1,E

n階單位矩陣證明

r(E

AB)

r(E

AB)E

E

AB

AB

ABEE

B1B

EEr(E

AB)

r(E

AB)(E

AB)(E

AB)

2Er(E

AB)

r(E

AB)綜上

r(E

AB)

r(E

AB)用矩陣k用矩陣kA有r階子式不為所有r+1階子式全為

r(A)(2)

Ann下列說(shuō)法等A是可逆矩

AA是非奇異矩A是滿秩矩r(A)

A是n階矩陣

的伴隨矩陣

nn, 若rA)證明rA)

若rA若rA

nn證 (1)

rA

AAA

AEAAA

Anr(A)

r(A)

n中元素都則A中至少有一個(gè)n－1階子式不為中元素都A的n－1階子式A中至少有一個(gè)元素不為則rA又由r

知A則AA

則rA

r(A)r(A)

nr(A)

n

綜上

r(A

r(A)

n

A中所有n－1階子式全為則A中元素全為0

A

r(A) x1

x2

x3

x4 求解方程

x1x2

x33x4x1x2

2x33x412. 對(duì)增廣矩B施行初等行變換1 B1 121231 121231 12~0

12,00000 00000 可見(jiàn)RA)R(B)x1

x2x412,x3

2x412.取

x4

則x1x3

,212 0.12 0在對(duì)應(yīng)的齊次線性x1

x2x4 ,x3

x4x2

1

0

x1

1

1

及

及