2020高中數(shù)學(xué) 第1講 坐標(biāo)系 4 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介學(xué)案 4-4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的意義，能用柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系刻畫(huà)簡(jiǎn)單問(wèn)題中的點(diǎn)的位置．(重點(diǎn)）2。知道柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的互化關(guān)系與公式，并用于解題．（難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))教材整理1柱坐標(biāo)系閱讀教材P16~P17“思考”及以上部分,完成下列問(wèn)題．一般地，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz。設(shè)P是空間任意一點(diǎn)．它在Oxy平面上的射影為Q，用（ρ，θ)（ρ≥0,0≤θ〈2π)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)P的位置可用有序數(shù)組（ρ，θ,z)（z∈R）表示．這樣，我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組（ρ，θ，z)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組（ρ，θ，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P（ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞。已知點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(1,0，1），則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(）A．（1，1，0） B．(1，0,1）C．（0，1，1) D．(1，1,1)[解析]∵x＝ρcosθ＝1，y＝ρsinθ＝0,z＝1，∴直角坐標(biāo)為(1,0,1），故選B。[答案］B教材整理2球坐標(biāo)系閱讀教材P17～P18，完成下列問(wèn)題．一般地，如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz。設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記｜OP｜＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ.設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為θ。這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組（r，φ,θ）表示．這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組（r，φ，θ）之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系),有序數(shù)組（r，φ,θ)叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo),記做P(r，φ，θ），其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π。已知點(diǎn)A的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3，\f（π，2）,\f(π,2）))，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（)A．（3,0,0） B．(0，3,0)C．（0，0，3) D．（3,3，0)[解析］∵x＝3×sineq\f(π，2）×coseq\f（π,2）＝0,y＝3×sineq\f（π,2）×sineq\f（π，2)＝3，z＝3×coseq\f(π,2)＝0,∴直角坐標(biāo)為(0,3,0）．故選B.[答案］B點(diǎn)的柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化【例1】(1）設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1,1，1），求它的柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；（2)設(shè)點(diǎn)N的柱坐標(biāo)為（π，π，π),求它的直角坐標(biāo)．[思路探究]（1）已知直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)，利用公式eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，，y＝ρsinθ，，z＝z，)）求出ρ，θ即可．（2)已知柱坐標(biāo)系中的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，利用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,，y＝ρsinθ，,z＝z，))求出x，y，z即可．[自主解答]（1）設(shè)M的柱坐標(biāo)為（ρ，θ，z），則由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＝ρcosθ，，1＝ρsinθ,,z＝1，）)解之得，ρ＝eq\r（2)，θ＝eq\f(π,4),因此，點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（2），\f（π，4),1)）.（2）設(shè)N的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，則由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ,，y＝ρsinθ，,z＝z，))得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝πcosπ，，y＝πsinπ，，z＝π，))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－π，,y＝0，，z＝π，))因此，點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為（－π，0，π)．1．由直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo)，可以先設(shè)出點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為（ρ，θ，z)，代入變換公式eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ，，y＝ρsinθ，,z＝z，）)求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝eq\f(y,x)，求θ,在求θ的時(shí)候特別注意角θ所在的象限，從而確定θ的取值．2．點(diǎn)的柱坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的豎坐標(biāo)相同．1．根據(jù)下列點(diǎn)的柱坐標(biāo)，分別求直角坐標(biāo)：(1）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2,\f(5π，6)，3）)；(2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（2)，\f(3π，4)，2))。［解］設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（x,y,z）．(1）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝2cos\f（5π，6）＝－\r（3)，,y＝ρsinθ＝2sin\f(5π，6）＝1，，z＝3，))因此所求點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－eq\r(3)，1，3）．(2)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ＝\r(2)cos\f(3π，4)＝－1,，y＝ρsinθ＝\r(2)sin\f(3π,4）＝1,,z＝2，))因此所求點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（－1，1,2）。將點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)【例2】已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f(3，4)π，\f(3，4）π)),求它的直角坐標(biāo)．［思路探究］eq\x（球坐標(biāo)）eq\o（→,\s\up14（x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，）,\s\do14(z＝rcosφ))eq\x（直角坐標(biāo))[自主解答］設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y,z），則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2sin\f（3，4)πcos\f(3,4）π＝2×\f(\r(2)，2）×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（2），2)））＝－1，，y＝2sin\f（3，4）πsin\f(3,4）π＝2×\f(\r(2)，2)×\f(\r（2),2）＝1,,z＝2cos\f(3,4）π＝2×\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（\r（2）,2）)）＝－\r(2），））因此點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－1,1，－eq\r（2))．1．根據(jù)球坐標(biāo)系的意義以及與空間直角坐標(biāo)系的聯(lián)系，首先要明確點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，φ，θ）中角φ，θ的邊與數(shù)軸Oz，Ox的關(guān)系，注意各自的限定范圍,即0≤φ≤π，0≤θ<2π。2．化點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，φ，θ)為直角坐標(biāo)（x，y，z）,需要運(yùn)用公式eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，，y＝rsinφsinθ,,z＝rcosφ，))轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運(yùn)算．2．若例2中“點(diǎn)M的球坐標(biāo)改為Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（3，\f（5，6）π，\f(5，3）π））",試求點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．［解]設(shè)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝rsinφcosθ＝3sin\f(5π,6)cos\f（5π，3）＝\f（3,4），，y＝rsinφsinθ＝3sin\f（5π,6)sin\f(5π,3)＝－\f（3\r(3）,4），，z＝rcosφ＝3cos\f（5π,6)＝－\f(3\r(3），2），)）∴因此M的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3,4)，－\f(3\r（3），4），－\f（3\r（3),2）)).空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)【例3】已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,棱AA1的長(zhǎng)為eq\r（2),如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，Ax為極軸,求點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)．[思路探究］先確定C1的直角坐標(biāo)，再根據(jù)空間直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的聯(lián)系,計(jì)算球坐標(biāo)．[自主解答］點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1，1，eq\r(2））．設(shè)C1的球坐標(biāo)為（r,φ，θ),其中r≥0，0≤φ≤π,0≤θ<2π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r（12＋\r(2)2＋12）＝2。由z＝rcosφ,∴cosφ＝eq\f(\r(2),2),φ＝eq\f（π，4）,又tanθ＝eq\f(y,x）＝1，∴θ＝eq\f（π,4),從而點(diǎn)C1的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π，4），\f(π,4）))。1．由直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)時(shí)，我們可以設(shè)點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，再利用變換公式eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rsinφcosθ，，y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ））求出r,θ，φ.2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝eq\f(y，x)，cosφ＝eq\f（z，r），特別注意由直角坐標(biāo)求球坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)首先看明白點(diǎn)所在的象限，準(zhǔn)確取值，才能無(wú)誤．3．若本例中條件不變,求點(diǎn)C的柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)．[解］易知C的直角坐標(biāo)為(1，1，0）．設(shè)點(diǎn)C的柱坐標(biāo)為（ρ，θ，0），球坐標(biāo)為(r，φ，θ），其中0≤φ≤π，0≤θ〈2π。(1）由于ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r（12＋12)＝eq\r（2）。又tanθ＝eq\f（y,x)＝1，∴θ＝eq\f(π,4），因此點(diǎn)C的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（2)，\f(π，4），0)）。(2）由于r＝eq\r（x2＋y2＋z2）＝eq\r（12＋12＋0）＝eq\r(2)。又cosφ＝eq\f(z,r)＝0，∴φ＝eq\f（π,2).又tanθ＝eq\f(y,x）＝1,∴θ＝eq\f(π，4），故點(diǎn)C的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r(2)，\f（π,2)，\f(π,4）））.柱、球坐標(biāo)系—eq\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（—\x(柱坐標(biāo)系），—\x(球坐標(biāo)系）,-\x（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)的互化）））1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f(π,4），3）)，P在xOy平面上的射影為Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(2，0,3） B。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f（π，4)，0))C。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r（2），\f(π,4），3）) D．(eq\r(2)，eq\f（π,4),0)［解析］由點(diǎn)的空間柱坐標(biāo)的意義可知，選B.［答案]B2．柱坐標(biāo)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(16,\f（π，3)，5)）轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為(）A．(5,8，8eq\r（3)） B．（8,8eq\r(3），5）C．(8eq\r（3)，8,5) D．（4，8eq\r（3)，5）[解析］由公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ,z＝z，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝16cos\f(π,3）＝8，，y＝16sin\f(π,3)＝8\r（3），,z＝5，）)即P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(8,8eq\r(3)，5）．[答案]B3．已知一個(gè)點(diǎn)的球坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f（3π,4），\f（π，4）)），則它的高低角為()A．－eq\f（π，4） B.eq\f（3π,4)C.eq\f（π，2) D。eq\f(π,3)[解析］∵φ＝eq\f(3π,4)，∴它的高低角為eq\f(π,2)－φ＝－eq\f(π,4）。[答案］A4．設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1，1，eq\r（2)），則點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為_(kāi)_______,球坐標(biāo)為_(kāi)_______．［解析]由坐標(biāo)變換公式，可得ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r（2)，tanθ＝eq\f(y,x）＝1，θ＝eq\f(π，4)（點(diǎn)(1，1)在平面xOy的第一象限），r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r（12＋12＋\r（2）2）＝2。由rcosφ＝z＝eq\r（2）,得cosφ＝eq\f（\r(2),r)＝eq\f(\r(2）,2)，φ＝eq\f(π，4）?！帱c(diǎn)M的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\r(2)，\f（π,4)，\r（2）)）,球坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2，\f(π，4)，\f(π，4))）。[答案］eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(2），\f（π,4)，\r（2）))eq\b\lc\（\r