導(dǎo)數(shù)大題練習帶答案

大題練1.已知f(x)=xlnx—ax,g(x)=—x2—2,(I)對所有x?(0,+為,f(x)>g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(n)當a=—1時，求函數(shù)f(x)在［m,m+3］(m>0)上的最值；(川)證明：對所有x?(0,+旳，都有Inx+1>丄—成立.eex22、已知函數(shù)f(x)alnx2(a0).(I)若曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處x的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若對于x(0,)都有f(x)>2(a—1)成立，試求a的取值范圍；(川)記g(x)=f(x)+x—b(b?R).當a=1時，函數(shù)g(x)在區(qū)間［e—1,e］上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍.3、設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+(x—a)2,a?R.(I)a=0，若求函數(shù)f(x)在［1,e］上的最小值；1(n)若函數(shù)f(x)在［-,2］上存在單調(diào)遞加區(qū)間，試求實數(shù)a的取值范圍；2(川)求函數(shù)f(x)的極值點.14、已知函數(shù)f(x)—ax2(2a1)x2Inx(aR).2(I)若曲線yf(x)在x1和x3處的切線互相平行，求a的值；(n)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(川)設(shè)g(x)x22x，若對任意為(0,2］，均存在X2(0,2］，使得f(xjg(X2)，求a的取值范圍.5、已知函數(shù)fx—aInx2(a0)x(I)若曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若對于任意x0,都有fx2(a1)成立，試求a的取值范圍；x(川)記g(x)=f(x)+x—b(b?R).當a=1時，函數(shù)g(x)在區(qū)間e1,e上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍.6、已知函數(shù)f(x)

1Inx若函數(shù)在區(qū)間(a,a(2)若是當x1時，不等式f(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.x1.解：(I)對所有x(0,),f(x)g(x)恒成立，即xlnxaxx22恒成也就是aInx(0,)恒成立.令F(x)Inxx2(x2)(x1)則F(x)2，~2xx在(0,1)上F(x)在(1,)上F(x)0,因此，F(xiàn)(x)在x1處取極小值，也是最小值,即Fmin(x)F(1)3，因此a3.???4分(n當a1f(x)xlnxx時,2,1f(x)lnx由f(x)0得x2.e??6分①當0m1丄)上f0,在x1(x)(2,me3]上2時，在x[m,ef(x)011因此，f(X)在x-2處獲取極小值，也是最小值.fmin(x)n?ee由于f(m)0,f(m3)(m3)[ln(m3)1]0因此，fmax(x)f(m3)(m3)[ln(m3)1]...............................8分1②當m右時，f'(x)0,因此f(x)在[m,m3]上單調(diào)遞加，e因此fmin(x)f(m)m(lnm1),101.(I)x(0,),f(x)g(x)xlnxaxx22fmax(x)f(m3)(m3)[ln(m3)1]9(皿)證明：問題等價于證明xlnxx三-(x(0,)),.................................................ee10由(n)知a1時，f(x)xlnxx的最小值是丄，當且僅當ex丄時獲取，11分e設(shè)G(x)二-(x(0,))，則G(x)—，易知eeeGmax(x)G(1)1，當且僅當x1時取到，.....................12分e但--—，從而可知對所有x(0,),ee都有l(wèi)nx1丄—成立..................13分eex2、解：(1)直線y=x+2的斜率為1.函數(shù)f(x)的定義域為(0,+X),由于f'(x)4-旦，因此f'(1)纟a1，因此a=1.因此xx112x2f(x)—Inx2.f'(x)—.由f'(x)0解得X>0;由f'(x)0解得0xx函數(shù)f(X)獲取最小值，丫皿山f(2).由于對于x(0,)都有f(x)2(a1)成立,a22(a1)即可.則—■因此f(—)2aaln222aa2(a1).由alna解得02.所以a的取值范圍是(0,2).e(川)依題得g(x)lnxxx2JP.由g'(x)b，則g'(x)0解得x>xvXV2.因此f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(2,+乂)，單調(diào)減區(qū)間是(0,2).1;由g'(x)0解得0Vxv1.因此函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)為減函數(shù),在區(qū)間(1,g(e1)0+x)為增函數(shù).又由于函數(shù)g(x)在區(qū)間［eT,e］上有兩個零點，因此g(e)0g(1)02

2解得

1b-e1.因此b的取值范圍是(1,-e1］.ee........................13分3?解：(I)f(x)的定義域為(0,+^).1由于f'(x)-2x0,因此f(x)在［1,e］上是增函數(shù),x當x=1時，f(x)獲取最小值f(1)=1.12x22ax1a)x(U)解法一：f'(x)-2(xx設(shè)g(x)=2x2—2ax+1,1依題意，在區(qū)間［；,2］上存在子區(qū)間使得不等式g(x)>0成立.分由g⑵〉0,即8—4a+1>0,得a9114,3由g(—)0,即一222,9因此a9,4因此實數(shù)a的取值范圍是,;).12x22ax1解法二：f'(x)-2(xa)x依題意得，在區(qū)間［1,2］上存在子區(qū)間使不等式2x12—2ax+1>0成立.1又由于x>0,因此2a(2x丄).........................5分x11設(shè)g(x)2x一，因此2a小于函數(shù)g(x)在區(qū)間［-,2］的最大值.1x由g'(x)2—0解得xx21又由于g'(x)2—,x由2夕0解得0x彳g'(x)g(x)在區(qū)間(-il,2)上遞加，在區(qū)間(-^2)上遞減.因此函數(shù)2221因此函數(shù)g(x)在x-，或x=2處獲取最大值.91又g(2)，g('2)3，因此2a(川)由于f'(x)2x2ax1令h(x)=2x2—2ax+1因此實數(shù)a的取值范圍是(x①顯然，當a<0時，在(0，+x)上h(x)>0恒成立，f'(x)>0,此時函數(shù)f(x)沒有極值點；........................9分②當a>0時，當0,即0a,2時，在(0，+x)上h(x)>0恒成立，這時f'(x)>0，此時，函數(shù)f(x)沒有極值點；........................分當4>0時，即a遷時，a.a22a——2時，h(x)v0，這時f'(x)v0;易知，當x-號—2時，h(x)>0，這時f'(x)>0;x因此，當a、2時，xaa22a、a22—是函數(shù)f(x)的極大值點；X2是函數(shù)f(x)的極小值點.12分綜上，當「2時，函數(shù)f(x)沒有極值點;i~22jp是函數(shù)f(x)―-是函數(shù)f(x)的極大值點;的極小值點.24?解：f(x)ax(2a1).2(I)f(1)f⑶，解得a-....................................3分3/

、

(ax1)(x

2)

八(H)f(x)

(x0)....................4

分x①當a0時，x0,ax10,在區(qū)間(0,2)上,f(x)0;在區(qū)間(2,)上f(x)0,故f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間是(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2,)................5分11②當0a丄時，丄2，2a11在區(qū)間(0,2)和(-,)上,f(x)0；在區(qū)間(2,—)上f(x)0，aa1故f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間是(0,2)和(-，)，單調(diào)遞減區(qū)間是a1(2,-)...................6分a1(X2)2③當a2時,f(x)2x故f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間是(0,).11④當a—時，0—2,2a11x在區(qū)間(0,-)和(2,)上,f(x)0;在區(qū)間(III,2)上f(x)0,a1故f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間是(0,1)和(2,)，單調(diào)遞減區(qū)間是aIII(1,2)...................8分a(川)由已知，在(0,2］上有f(X)maxg(x)max..................................9分由已知，g(x)max0,由(H)可知,110①當a-時，f(x)在(0,2］上單調(diào)遞加，故f(x)maxf(2)2a2(2a1)21n22a22ln2,1因此，2a22ln20，解得aIn21,故In21a-.2分②當a1時，f(x)在(0,1］上單調(diào)遞加，在［丄芒］上單調(diào)遞減,2aa故f(x)maxf(l)2—2Ina.a2a1111，2Ina2，2Ina2，由a可知InaInIn-因此，22Ina0，f(x)max0，綜上所述，aIn21.......................12分5、(I)直線y=x+2的斜率為1,函數(shù)f(x)的定義域為0,由于f'(x)—，因此f1xx因此fx-Inx2,fxx由f'x0解得X>2;由f'x0解得0Vxv2因此f(x)得單調(diào)增區(qū)間是2,，單調(diào)減區(qū)間是0,2..................4分(n)f'(x)ax22~x2'2由fx0解得x;由fx0解得0x-a

a2

2因此

在區(qū)間

，)上單調(diào)遞加，在區(qū)間

上單調(diào)遞減a

a2

2因此當

x-時，函數(shù)

f(x)獲取最小值

ymin

f(-)a由于對于任意2

a2x0,都有fX2(a1)成立,因此f(二)2(a1)即可a2222則一aln-22(a1)，由aln-a解得0a2aaa因此a得取值范圍是(0,2)e9Inx2b，則g'(x)(川)依題意得g(x)-x由gx0解得x>1,gx0解得0vxv1因此函數(shù)g(x)在區(qū)間e1,e上有兩個零點,g(e1)0因此g(e)0解得1bg(1)0因此b得取值范圍是(1,-1]12分6解：e(1)由于f(x)1lnx,x0,則f(x)x1時，f(x)0;當x1時,f(x)0????f(x)在(0,1)上單調(diào)遞加；在(1,)上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)在x1處獲取極大值.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a1)(其中a0)上存在極值,2?a1,1a解得-a1......................；5分一21,2(2)不等式f(x)k，即為(x1)(1皿k,2x1x記令

g(x)(x1)(1Inx).[(x1)(1Inx)]x(x1)(1Inx)g(x)，9分xxh(x)xI