2021-2022學年上海市市北中學高二年級下冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年上海市市北中學高二下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知物體做直線運動的方程為，則表示的意義是（

）A．經(jīng)過4s后物體向前走了10m B．物體在前4秒內的平均速度為10m/sC．物體在第4秒內向前走了10m D．物體在第4秒末的瞬時速度為10m/sD【分析】根據(jù)導函數(shù)的定義判斷可得選項.【詳解】解：由導數(shù)的意義知表示物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s．故選：D.2．若，則的值是（

）A．-2 B．-3 C．125 D．-131C【詳解】試題分析：令，得；令，得，即．又，所以，故選C．二項式定理．3．如圖，在楊輝三角中，虛線所對應的斜行的各數(shù)之和構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的第10項為A．55 B．89 C．120 D．144A【分析】根據(jù)楊輝三角中，虛線所對應的斜行的各數(shù)之和構成一個新數(shù)列，找出規(guī)律，即可求出數(shù)列的第10項，得到答案.【詳解】由題意，可知，，故選A.本題主要考查了歸納推理的應用，其中解答中讀懂題意，理清前后項的關系，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、多選題4．對于函數(shù)，若，則當無限趨近于0時，在下列式子中無限趨近于2的式子有（

）A． B．C． D．AD【分析】利用平均變化率的定義以及導數(shù)的定義對四個選擇逐一判斷即可．【詳解】解：因為，故選項A正確；因為，故選項B錯誤；因為，故選項C錯誤；因為，故選項D正確．故選：AD．三、填空題5．除以的余數(shù)是___________.【分析】由結合二項式定理可求得除以的余數(shù).【詳解】，而能被整除，故除以的余數(shù)是.故答案為.6．展開式的中間項是___________.【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求解.【詳解】解：展開式的通項為：，展開共有7項，故中間項是第4項，，故答案為.7．函數(shù)的導數(shù)為___________.【分析】根據(jù)導數(shù)四則運算，即可求解.【詳解】解：，故8．計算：___________.35【分析】直接求解.【詳解】,故35.9．設常數(shù)，在空格內，寫出左邊到右邊的推導過程：___________.【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的運算，即可求解.【詳解】.故答案為.10．將4本不同的書分給3所不同的學校，其中一所學校分得2本，另兩所學校各分得1本，則分書的種數(shù)為___________.36【分析】這是部分均勻分配問題，先分堆，后分配.【詳解】解：分書的種數(shù)為(種).故36.11．曲線在點處的切線方程為___________.【分析】根據(jù)導數(shù)求切線斜率，即可求解.【詳解】解：，所以切線斜率為：，切線方程為，整理得：，故12．已知函數(shù)的定義域為R，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則對于任意，下列結論正確的是___________.（填序號）①恒成立；②；③；④；⑤②⑤【分析】由導數(shù)的圖象，分析原函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的單調性判斷①②③選項，根據(jù)圖象的凹凸性判斷④⑤選項.【詳解】由題中圖象可知，導函數(shù)的圖象在x軸下方，即，且其絕對值越來越小，因此過函數(shù)圖象上任一點的切線的斜率為負，并且從左到右切線的傾斜角是越來越大的鈍角，由此可得的大致圖象如圖所示．選項①，導函數(shù)只能反映原函數(shù)的單調性，不能反映原函數(shù)的正負，故①錯；選項②表示與異號，即圖象的割線斜率為負，故②正確，選項③表示與同號，即圖象的割線斜率為正，故③不正確；表示對應的函數(shù)值，即圖中點B的縱坐標，表示當和時所對應的函數(shù)值的平均值，即圖中點A的縱坐標，顯然有，故④不正確，⑤正確．故答案為:②⑤．四、雙空題13．有8名學生排成一排，甲?乙相鄰的排法種數(shù)為___________，甲不在排頭，乙不在排尾的排法種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）

10080

30960【分析】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外6人全排列；（2）可采用間接法得到；【詳解】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外6人全排列，故有種情況；（2）利用間接法，用總的情況數(shù)減去甲在排頭、乙在排尾的情況數(shù)，再加上甲在排頭同時乙在排尾的情況，故有種情況故10080；3096014．在一塊正三角形的鐵板的三個角上分別剪去三個全等的四邊形，然后折成一個正三棱柱，尺寸如圖所示當x為___________時，正三棱柱的體積最大，最大值是___________.

【分析】先設內部小三角形的邊長為，根據(jù)三棱柱的體積的表達式，構建函數(shù)，利用導函數(shù)求最值，即可.【詳解】解：由題意得：內部小三角形的邊長為，又，所以，三棱柱的體積為，令，所以故，所以.故；；五、解答題15．求函數(shù)的導函數(shù)，并由此確定正切函數(shù)的單調區(qū)間.單調遞增區(qū)間為：【分析】根據(jù)導函數(shù)及定義域，即可求解單調區(qū)間.【詳解】解：，又定義域為,所以單調遞增區(qū)間為：,無單調遞減區(qū)間.16．一個罐子中有同樣大小及重量的20個玻璃球，其中4個是紅色的，6個是黑色的，10個是白色的.經(jīng)充分混合后，從罐子中同時取出2個球，求下列事件的概率：(1)兩個球都是黑色的；(2)兩個球的顏色不同.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)組合數(shù)公式即可求解，（2）先算出摸出的兩個球是同色的概率，再用排除法即可求解.【詳解】(1)兩個球都是黑色的概率為(2)兩個球的顏色不同的概率為.17．設展開式的各項系數(shù)和為t，其二項式系數(shù)和為h，若，求：(1)展開式中x的無理項個數(shù)；(2)展開式中系數(shù)最大的項.(1)5(2)【分析】(1)由二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和可得n，再由通項公式，即可求解.(2)假設第項系數(shù)最大，再由不等式，即可求解.【詳解】(1)解：各項系數(shù)和為，解得：，解得，展開式通項公式為，，當時，是整數(shù)，時，不是整數(shù)，系數(shù)是無理數(shù)，共有5項．(2)假設第項系數(shù)最大，則，即，解得：，又,所以，所以系數(shù)最大的項為.18．（1）若，解不等式；（2）在的展開式中，第k項，第項，第項的系數(shù)成等差數(shù)列，求n和k的值；（3）設計一道排列組合的應用題，驗證下面這個等式成立：(1)；(2),.(3)過程見解析;【分析】(1)利用排列數(shù)公式,即可求解;(2)列用二項式展開式的通項公式,即可求解;(3)根據(jù)的展開式中項的系數(shù)設計題目,即可證明.【詳解】解:(1)得,,化簡得,又,所以(2),所以有展開得:,化簡得:,整理得,且,解得:或,所以只能是一個奇數(shù)的平方,令,所以,,此時,所以,.(3)題目為:“求的展開式中項的系數(shù)為多少?”,解:由題意可得:展開式中含項為,也可以拆開為,故展開式中含項可以按照前面提供個x,后面提供個x,前面提供個x,后面提供個x,……以此類推,即可得展開式中含項為,所以得證.19．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；(2)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(3)若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方；由此啟發(fā)，給出以下結論成立的一個判斷依據(jù)，“在區(qū)間（a為常數(shù)）上，可導函數(shù)的圖象在可導函數(shù)的圖象上方”（不必證明）.(1)極小值(2)，(3)見解析【分析】（1）代入，從而化簡并求其定義域，再求導判斷函數(shù)的單調性及極值即可；（2）代入，從而化簡并求其定義域，再求導判斷函數(shù)的單調性及求函數(shù)的最值；（3）代入，令，從而化在區(qū)間，上，函數(shù)的圖象在的圖象下方為在，上恒成立，再化為函數(shù)的最值問題即可．【詳解】(1)解：當時，的