第四章、Z變換和離散時(shí)間系統(tǒng)Z域分析

第四章、Z變換和離散時(shí)間系統(tǒng)Z域分析§8.1Z變換的定義—由拉氏變換引出Z變換有抽樣信號(hào)單邊拉氏變換2令,其中z為一個(gè)復(fù)變量則廣義上講T=1單邊Z變換3§8.2Z變換的收斂域收斂域：當(dāng)為有界時(shí)，令上述級(jí)數(shù)收斂的的所有可取的值的集合稱為收斂域1）比值判別法2)根值判別法4例：5幾類序列的收斂域（1）有限序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列收斂域?yàn)槌?和的整個(gè)平面6（1）右邊序列：只在區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列收斂半徑圓外為收斂域7（1）左邊序列：只在區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，若則不包括z=0點(diǎn)8（1）雙邊序列：只在區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列圓內(nèi)收斂圓外收斂有環(huán)狀收斂域沒有收斂域9例：右邊序列10例：左邊序列收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，若則不包括z=0點(diǎn)11例：有限長(zhǎng)序列收斂域?yàn)槌?和的整個(gè)平面8個(gè)零點(diǎn)7階極點(diǎn)一階極點(diǎn)12例：雙邊序列13§8.3典型序列的Z變換單位樣值序列單位階躍序列斜變序列指數(shù)序列正弦余弦序列141516余弦序列的Z變換:17正弦序列的Z變換:18例19§8.4Z變換的逆變換（1）留數(shù)法（2）冪級(jí)數(shù)展開法（略）（3）部分分式法20（1）留數(shù)法假設(shè)有一固定的圍線C，它包圍原點(diǎn)，沿圍線逆時(shí)針轉(zhuǎn)一圈，兩邊乘以，然后沿著圍線積分，得到：21由復(fù)變函數(shù)中的柯西定理只有右邊的即一項(xiàng)，于是逆變換22用留數(shù)求圍線積分一階極點(diǎn)：S階極點(diǎn)：23例解必然是因果序列，右邊序列2425（2）部分分式法Am是在Pm處的留數(shù)只有一階極點(diǎn)2627含有M個(gè)一階S個(gè)高階極點(diǎn)部分分式為另一種形式28例雙邊序列簡(jiǎn)單的可用公式或查下冊(cè)第75頁(yè)的表8-2，8-3，8-4：左邊序列右邊序列29§8.5Z變換的基本性質(zhì)

線性和位移性序列線性加權(quán)（Z域微分）序列指數(shù)加權(quán)（Z域尺度變換）初值定理和終值定理時(shí)域卷積和Z域卷積定理帕斯瓦爾定理30 Z變換的基本性質(zhì)和定理如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。1.線性31[例]已知,求其z變換。解：322.序列的移位如果 則有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。333.Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：344.序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則證明：355.共軛序列如果，則證明：366.翻褶序列如果，則證明：377.初值定理證明：388.終值定理證明：39又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子（z-1)將抵消這一極點(diǎn)，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1的極限。409.有限項(xiàng)累加特性證明：41[例]已知,求其z變換。解：4210.序列的卷積和(時(shí)域卷積定理)

43證明：4411.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時(shí)針單封閉圍線。（證明從略）45

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內(nèi)。（證明從略）如果則有:46§8.6Z變換與拉氏變換的關(guān)系（一）從S平面到Z平面的映射（二）連續(xù)信號(hào)與抽樣信號(hào)的拉氏變換 的關(guān)系（三）連續(xù)信號(hào)的拉氏變換與Z變換的關(guān) 系47（一）從S平面到Z平面的映射4849多圈5051（二）連續(xù)信號(hào)與抽樣信號(hào)的拉氏變換的關(guān)系5253（三）連續(xù)信號(hào)的拉氏變換與其Z變換的關(guān)系抽樣信號(hào)的拉氏變換與Z變換的關(guān)系連續(xù)信號(hào)與抽樣信號(hào)的拉氏變換的關(guān)系54連續(xù)信號(hào)的拉氏變換與Z變換的關(guān)系若只含一階極點(diǎn)則55§8.7用單邊Z變換解差分方程解差分方程的方法：（1）時(shí)域經(jīng)典法（2）卷積和解法（3）Z變換解法56（一）復(fù)習(xí)Z變換的位移特性若x(n)分別是雙邊序列、雙邊左移序列、雙邊右移序列時(shí)，它們的雙邊和單邊Z變換是不同的：（1）雙邊序列的雙邊Z變換(p79-p83)57（2）雙邊左移序列的單邊Z變換58（3）雙邊右移序列的單邊Z變換因果序列是右移序列59（4）對(duì)于因果序列x(n)60（二）用單邊Z變換解差分方程的步驟和思路x(n-r),y(n-k)均為右移序列兩邊取單邊Z變換初始狀態(tài)若因果信號(hào)此項(xiàng)為零61例：完全解里面已含有初始條件62例：完全解63§8.8離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、定義：（1）系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換與輸入的Z變換之比（2）系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h(n)的Z變換64（1）定義一：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換與輸入的Z變換之比

若x(n)是因果序列,則在系統(tǒng)零狀態(tài)下：請(qǐng)注意這里與解差分有何不同？因果！零狀態(tài)65（2）定義二：系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h(n)的Z變換激勵(lì)與單位樣值響應(yīng)的卷積為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)由卷積定理66二、對(duì)系統(tǒng)特性的影響由極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)由極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)穩(wěn)定性由零極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)決定系統(tǒng)頻率特性（§8.9)67（1）由極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)

一般為復(fù)數(shù)它在平面的分布位置決定了系統(tǒng)特性68極點(diǎn)分布對(duì)h(n)的影響69（2）由極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位樣值響應(yīng)絕對(duì)可和。即：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為：h(n)是單邊的而且是有界的。即： 因果 穩(wěn)定非因果也可以穩(wěn)定70離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充是要條件為h(n)絕對(duì)可和71對(duì)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)收斂域?yàn)椋喝繕O點(diǎn)位于單位圓內(nèi)對(duì)于非因果系統(tǒng)，收斂域并不是在圓外區(qū)域，極點(diǎn)不限于單位圓內(nèi)。72例：已知因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下：試說明該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？解：臨界穩(wěn)定73例：已知系統(tǒng)函數(shù)如下，試說明分別在（1）（2）兩種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性：（1）（2）解：（1）因果系統(tǒng)，右邊序列因果系統(tǒng)但極點(diǎn)在單位圓外，不穩(wěn)定發(fā)散74（2）非因果系統(tǒng)，右序左序有界 所以，該非因果系統(tǒng)，但是，是穩(wěn)定的75§8.8離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一、什么是離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)？ 定義一：?jiǎn)挝粯又淀憫?yīng)的傅 立葉變換 定義二：離散系統(tǒng)在正弦序 列作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)二、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幾何確定76定義一：序列的傅立葉變換序列的傅立葉變換：由S_Z的映射來看，當(dāng)，則，于是相當(dāng)于自變量沿著z=1單位圓周變化，則：序列的傅立葉正變換77序列的傅立葉反變換序列的傅立葉逆變換78連續(xù)信號(hào)和離散序列的傅立葉變換的比較連續(xù)離散79定義一：系統(tǒng)頻率響應(yīng)即系統(tǒng)單位樣值函數(shù)的傅立葉變換當(dāng)h(n)已知時(shí)，下列表達(dá)式表示系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)，是以h(n)為加權(quán)系數(shù)，對(duì)各次諧波進(jìn)行加權(quán)或改變的情況（物理意義）。80系統(tǒng)的激勵(lì)是時(shí)，它的頻譜覆蓋了的范圍于是系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)可以看成對(duì)各次的諧波的濾波的總的效果反映了系統(tǒng)對(duì)整個(gè)頻帶的濾波作用81定義二：正弦序列及其作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的傅立葉變換之比82因?yàn)槭侵芷诘?，所以也是周期的，其周期為重?fù)頻率。83定義二的物理意義把看成無數(shù)個(gè)窄帶濾波器，每個(gè)濾波器的幅頻特性是，且對(duì)信號(hào)有相移作用。8485二、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幾何確定86系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幾何確定法87由幾何法可以看出：（1）z=0處的零極點(diǎn)對(duì)幅頻特性沒有影響，只對(duì)相位有影響（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)某個(gè)極點(diǎn)附近時(shí)，例如在同一半徑上時(shí)，較短，則在該點(diǎn)應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)峰值，越短，附近越尖銳。若落在單位圓上，則，則處的峰值趨于無窮大。（3）對(duì)于零點(diǎn)則其作用與極點(diǎn)的作用正好相反。88低通高通89帶通帶阻90全通靠近單位圓周的極點(diǎn)附近有尖峰91例：（8-34）解9293例:(8-23)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下,試說明這些系統(tǒng)是否穩(wěn)定? 因果系統(tǒng)的極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)解極點(diǎn)在單位圓內(nèi),系統(tǒng)穩(wěn)定。Re[z]jIm[z]94解有一個(gè)極點(diǎn)在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。jIm[z]Re[z]95解有一對(duì)共軛極點(diǎn)在單位圓上，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。jIm[z]Re[z]96例：（8-29）求如下一階離散系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解已知：暫態(tài)解穩(wěn)態(tài)解97暫態(tài)解穩(wěn)態(tài)解98例：（8-31）已知系統(tǒng)函數(shù)如下：求：（1）寫出對(duì)應(yīng)的差分方程；（2）畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（3）求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并畫出k=0,0.5,1三種情況下系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)解99100§8.10數(shù)字濾波器的基本原理和構(gòu)成周期頻譜連續(xù)頻譜非周期連續(xù)頻譜周期頻率特性濾波結(jié)果加矩形窗