結(jié)構力學09第九章漸近法

第九章

漸近法§９-1力矩分配法基本概念§９-2多結(jié)點力矩分配§９-3無剪力分配法第一頁，共五十八頁。§９-1力矩分配法基本概念

力矩分配法源自位移法，不必求解方程組，只需按表格進行計算，計算方便、快捷。

力矩分配法是逐步逼近（對多結(jié)點力矩分配）精確解的計算方法，是漸近法，不是近似法。

力矩分配法只適用于連續(xù)梁和無結(jié)點線位移的剛架。第二頁，共五十八頁。一、轉(zhuǎn)動剛度a)

SAB=4i，遠端為固端下面討論等截面直桿的轉(zhuǎn)動剛度。

轉(zhuǎn)動剛度表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力，在數(shù)值上等于使桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角（無線位移）時所需施加的力矩。用符號S表示，見下面各圖。施力端為近端，另一端為遠端。SABiAB第三頁，共五十八頁。

當A端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時，A端無線位移。轉(zhuǎn)動剛度SAB只取決于遠端支承條件及桿件的線剛度。b)

SAB=3i，遠端為滾軸支座或鉸支座。d)

SAB=0，遠端為滾軸支座，沿桿軸布置。c)

SAB=i，遠端為滑動支座。SABiABSABiABSABiAB第四頁，共五十八頁。二、分配系數(shù)桿端彎矩表達式：

用位移法求解右圖示結(jié)構，未知量為θA。ii2i2iBCADEM0第五頁，共五十八頁。平衡方程為：AMAEMADMABMACM0第六頁，共五十八頁。回代求桿端彎矩：第七頁，共五十八頁。對某結(jié)點，各桿分配系數(shù)之代數(shù)和為1，即：

由上式可以看出，結(jié)點力偶M0按系數(shù)μ的比例分配給各桿端。系數(shù)μ稱為分配系數(shù)，某桿的分配系數(shù)μ等于該桿的轉(zhuǎn)動剛度S與交于同一結(jié)點的各桿轉(zhuǎn)動剛度之和的比值，即第八頁，共五十八頁。三、傳遞系數(shù)

當近端有轉(zhuǎn)角時（無線位移），遠端彎矩與近端彎矩的比值稱為傳遞系數(shù)，用C表示。

在上面的討論中可知，遠端彎矩等于近端彎矩乘傳遞系數(shù)，即。iABiABiAB第九頁，共五十八頁。四、單結(jié)點力矩分配

用位移法解圖a)所示結(jié)構時，首先在結(jié)點B加上附加轉(zhuǎn)動約束，鎖住B使之不能轉(zhuǎn)動。其產(chǎn)生的反力矩MB等于各桿端固端力矩的代數(shù)和，見圖b)。BMB=60kN.m150kN.m-90kN.m200kN20kN/mABCEIEI200kN20kN/mABCb)a)第十頁，共五十八頁。

其次放松結(jié)點B，即在結(jié)點B加－MB，這是結(jié)構受結(jié)點力矩作用的情況，可以用力矩分配法進行計算，見圖c）。ABCc)第十一頁，共五十八頁。2）求固端彎矩1）求分配系數(shù)結(jié)點B約束力矩為：解：結(jié)點B分配力矩為：第十二頁，共五十八頁。3）運算格式分配系數(shù)固端彎矩分配傳遞桿端彎矩4）作彎矩圖ACBA0.5710.429BC-150150-90-34.26-25.74-167.13115.74-115.740-17.130ABC167.13115.74158.5632.13M圖（kN.m

）第十三頁，共五十八頁。例題9-1-1

作圖示剛架M圖。1）求分配系數(shù)12kN6kN/mII(i)(i)2I(2i)ABCD解：第十四頁，共五十八頁。MBB9

-82)求固端彎矩結(jié)點約束力矩為：分配力矩為：第十五頁，共五十八頁。3)運算格式BA0.2310.462BC0.307BDDAC89-801.382.084.162.76011.084.169.38-5.240第十六頁，共五十八頁。4)作彎矩圖5)討論若結(jié)點力矩為逆時針方向，則：MBB9

-8ABCD11.085.249.384.164.696.46M圖（kN.m

）第十七頁，共五十八頁。例9-1-2

討論懸臂端的處理。

200kN20kN/mABCEIEI30kNDa)30kNDC200kN20kN/mABCEIEIb)解：

切除CD段，則BC桿的C端有順時針方向的力矩60kN.m，該力矩在BC桿產(chǎn)生固端彎矩，見圖b）。第十八頁，共五十八頁。BA0.5710.429BC-51.39-38.61ACD-150150-9060-60-175.7098.61-98.6160-6030-25.700CiBC第十九頁，共五十八頁。M圖（

kN.m

）175.7098.6160ABC162.8510.70D第二十頁，共五十八頁?！?-2多結(jié)點力矩分配

1）鎖住結(jié)點B、C，各桿產(chǎn)生固端彎矩。一、多結(jié)點力矩分配結(jié)點約束力矩：ABCEIEID60kNEIABCD60kN-3030EIEIEI第二十一頁，共五十八頁。2）放松結(jié)點B，即在結(jié)點B施加力矩-MB，結(jié)點C仍鎖住。這相當于做一個單結(jié)點力矩分配。結(jié)點C約束力矩變?yōu)椋築CD157.5157.5A第二十二頁，共五十八頁。

3）重新鎖住結(jié)點B，同時放松結(jié)點C，即在C施加力矩，這又相當于做一個單結(jié)點力矩分配。結(jié)點B新的約束力矩為-9.375ABCD-18.75-9.375-18.75第二十三頁，共五十八頁。

4）重新鎖住結(jié)點C，同時放松結(jié)點B，即在B施加力矩，這又相當于做一個單結(jié)點力矩分配。結(jié)點C約束力矩變?yōu)?/p>

如此循環(huán)，可見連續(xù)梁的變形曲線越來越接近實際的變形曲線，即越來越趨近于精確解。

所謂多結(jié)點力矩分配，本質(zhì)上是單結(jié)點力矩分配。通常各結(jié)點做兩輪至三輪分配運算，就可以達到滿意的精度。ABCD4.6882.3444.6882.344第二十四頁，共五十八頁。結(jié)點B例9-2-1

作圖示剛架M圖。1)求分配系數(shù)結(jié)點C解：18kN/m4I4I(2i)(i)4I(i)BEDA6kN/m2I(2i/3)C第二十五頁，共五十八頁。

2)

求固端彎矩18kN/m4I4I(2i)(i)4I(i)BEDA6kN/m2I(2i/3)C第二十六頁，共五十八頁。3)運算格式EADBA0.20.4BE0.4BCCB0.6670.333CD-242484-8-16-84.89.69.6-1.6-3.2-1.60.320.640.64-0.107-0.2134.8-4.84.80.32-0.320.3213.1210.24-23.36-1.129.71-9.715.12第二十七頁，共五十八頁。4)作彎矩圖小結(jié)：

1）分配運算通常從約束力矩較大的結(jié)點開 始，這樣收斂較快。

2）若停止分配運算，就不應再向中間結(jié)點 的桿端傳遞彎矩。BEDAC1.1213.1223.3610.245.129.7119.47M圖（kN.m

）第二十八頁，共五十八頁。

例9-2-2

《結(jié)構力學教程（Ι）》第456頁例9-4的說明（2000年7月第1版）。ABCDEIEI5ii50kN105/61/6-505025-4.2-20.8-20.820.850-50ADBC第二十九頁，共五十八頁。說明：1）在計算B結(jié)點各桿的分配系數(shù)時，C結(jié)點不鎖住，即C結(jié)點處看作鉸支座。2）結(jié)點C處的分配系數(shù)是為了解決固端彎矩的求解問題。3）上面的計算過程等同于下圖所示的處理方法。D50kNCABCEIEI5ii第三十頁，共五十八頁。二、幾個問題的討論1.對稱結(jié)構的計算

對稱結(jié)構在對稱荷載作用下，結(jié)構無側(cè)移，可以利用力矩分配法計算。根據(jù)位移法中的討論，取半邊結(jié)構以簡化計算。ABq2q1q1ABq2此桿轉(zhuǎn)動剛度S=0第三十一頁，共五十八頁。2.多結(jié)點時的分配

下圖示結(jié)構，鎖住結(jié)點C，放松結(jié)點B、D，即結(jié)點B、D同時分配并向結(jié)點C傳遞。然后鎖住結(jié)點B、D，放松結(jié)點C，即結(jié)點C進行分配并向B、D傳遞，依此類推。3/74/70.50.54/73/7BCDAE-17.14-12.8634.2945.7122.86-8.57-32.15-32.15-508050-80-16.07-16.07第三十二頁，共五十八頁。

下圖示剛架，打×的結(jié)點為一組，其余為另一組。兩組結(jié)點依次鎖住或放松，可大大加快計算速度。第三十三頁，共五十八頁。§9-3無剪力分配法

力矩分配法只適用于無側(cè)移剛架或連續(xù)梁。因為若剛架的內(nèi)部結(jié)點有側(cè)移△，則力矩分配法中的分配關系和傳遞關系均不能成立。

有一類剛架，其內(nèi)部結(jié)點雖然有線位移△，但△可以不取作位移法的基本未知量，對這類剛架也可以求得類似于力矩分配法中的分配關系和傳遞關系，于是可以按照力矩分配法的格式進行計算，此即為無剪力分配法。一、概述第三十四頁，共五十八頁。二、基本概念1．適用無剪力分配法的條件1）剛架除兩端無相對側(cè)移的桿件外；2）其余桿件為剪力靜定桿（即剪力只取決于外荷載）。若結(jié)構中只存在下列兩類桿件，則適用于無剪力分配法。第三十五頁，共五十八頁。

下面用位移法解上題，基本未知量取θB

，△BH不必作為未知量。2．無剪力分配法的概念鎖住結(jié)點B放松結(jié)點B原結(jié)構產(chǎn)生固端彎矩約束力矩反號分配qABCEI，lEI，lqABCMB（約束力矩）iABC-MBiABi第三十六頁，共五十八頁。桿端彎矩表達式位移法方程彎矩圖M圖ABC第三十七頁，共五十八頁。由上面的討論可得出如下結(jié)論：1）剪力靜定桿AB在B端的轉(zhuǎn)動剛度為SBA=iBA,傳遞系數(shù)為CBA=-1。2）剪力靜定桿AB的固端彎矩按下端固定、上端滑動的單跨梁查表求得。qAB第三十八頁，共五十八頁。下面用無剪力分配法解上題。1）求轉(zhuǎn)動剛度及分配系數(shù)2）求固端彎矩qABCEI，lEI，l第三十九頁，共五十八頁。3）運算格式ACBA0.250.75BC-ql2/6ql2/24ql2/8-ql2/3-ql2/24-ql2/8ql2/8-3ql2/8彎矩圖見前頁。第四十頁，共五十八頁。如右圖示，放松結(jié)點B，AB桿剪力等于零。小結(jié)：1）在放松結(jié)點B，即約束力矩MB反號分配的始終，剪力靜定桿之剪力始終等于零，所以稱為無剪力分配法。2）若剛架橫梁的兩端無相對側(cè)移，柱的剪力靜定，則該剛架可用無剪力分配法計算。iABCi第四十一頁，共五十八頁。3）對于剪力靜定桿：轉(zhuǎn)動剛度S=i；傳遞系數(shù)C=-1；按下端固定，上端滑動的單跨梁求固端彎矩。第四十二頁，共五十八頁。三、雙層半剛架橫梁AB、CD兩端無相對側(cè)移，柱AC、CE為剪力靜定桿。ABCDE4kN2kN3kN/miiii鎖住結(jié)點A、C產(chǎn)生固端彎矩。ABCDE4kN2kN3kN/m求固端彎矩CA4kN3kN/mEC18kN第四十三頁，共五十八頁。放松結(jié)點Ｃ鎖住結(jié)點ＡＣＡiＥＣiABCDE放松結(jié)點Ａ鎖住結(jié)點CABCDEＣＡi第四十四頁，共五十八頁。

由上述討論可以得到和單層半剛架中的剪力靜定桿相同的結(jié)論：1）剪力靜定桿的固端彎矩仍按下端固定，上端滑動的單跨梁求解。上層柱所受的水平荷載會在下層柱中產(chǎn)生固端彎矩，下層柱應首先求出柱上端的剪力，此剪力要作為集中荷載加在滑動端求固端彎矩。2）剪力靜定桿的轉(zhuǎn)動剛度及傳遞系數(shù)仍舊為：轉(zhuǎn)動剛度S=i

，傳遞系數(shù)C=-1。第四十五頁，共五十八頁。結(jié)點A結(jié)點C例9-3-1

用無剪力分配法作半剛架的M圖。1）求分配系數(shù)解：ABCDEiiii4kN2kN3kN/m第四十六頁，共五十八頁。AC柱CE柱2)求固端彎矩CA4kN3kN/mEC18kN第四十七頁，共五十八頁。3)

運算格式BDE1.050.35AC0.250.75AB0.20.20.6CACECD-0.35-16-12-24-361.41.44.2-1.4-1.4-360.070.070.21-0.07217121236-7-12-22.0522.05-17.88-22.5340.41-49.47EC第四十八頁，共五十八頁。4)作彎矩圖ABDE22.0517.8822.5349.4740.418.09M圖（kN.m

）C第四十九頁，共五十八頁。結(jié)點B結(jié)點C例9-3-2

用無剪力分配法圖示剛架的M圖。1）求分配系數(shù)解：ABCD18kN/miii10kN/m第五十頁，共五十八頁。2)求固端彎矩ABCD18kN/miii10kN/m第五十一頁，共五十八頁。3)

運算格式BA0.20.8BCCB0.5710.429CD9.638.40.4570.343AD0.229-0.046-0.1830.0520.03919.2-9.6-0.091-0.046-48-20-9619.62-19.62-38.4538.45-105.65AB第五十二頁，共五十八頁。4)

作彎矩圖ACD38.4519.62105.652.4010.19M圖（kN.m

）B第五十三頁，共五十八頁。例9-3-3

剪力靜定桿固端彎矩的求解。1)ABCDE4kN10kN2kN/mCA4kN2kN/mEC22kN第五十四頁，共五十八頁。2)ABCDE2kN