2020高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 22 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學案 2-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學習目標核心素養(yǎng)1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．(重點）2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義．（難點)1.通過學習雙曲線的幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng).2.借助雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用及直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，提升學生的直觀想象及數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng).1．雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a＞0,b＞0)eq\f(y2，a2）－eq\f（x2,b2）＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點（－a，0)，(a，0)（0，－a),（0,a）軸長實軸長＝2a,虛軸長＝2離心率e＝eq\f(c,a)>1漸近線y＝±eq\f(b，a）xy＝±eq\f(a，b）x思考：(1）漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎？（2)雙曲線的離心率和漸近線的斜率有怎樣的關(guān)系?[提示］（1）漸近線相同的雙曲線有無數(shù)條，但它們實軸與虛軸的長的比值相同．(2)e2＝eq\f（c2,a2)＝1＋eq\f(b2，a2)，eq\f(b，a）是漸近線的斜率或其倒數(shù)．2．雙曲線的中心和等軸雙曲線（1)雙曲線的中心雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心．（2)等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,其離心率e＝eq\r（2）．1．雙曲線eq\f（x2,16）－y2＝1的頂點坐標是（）A．（4，0），(0，1） B．(－4，0),(4，0)C．(0，1)，（0，－1) D．(－4，0),(0，－1）B［由題意知，雙曲線的焦點在x軸上,且a＝4，因此雙曲線的頂點坐標是(－4，0）,（4,0）．]2．已知雙曲線9y2－m2x2＝1(m＞0）的一個頂點到它的一條漸近線的距離為eq\f（1，5)，則m＝(）A．1 B．2C．3 D．4D［方程9y2－m2x2＝1（m＞0)可化為eq\f(y2，\f(1,9)）－eq\f(x2，\f（1，m2））＝1（m＞0)，則a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1，m)，取頂點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（1，3）））,一條漸近線為mx－3y＝0，所以eq\f(1，5)＝eq\f（\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(－3×\f（1，3))），\r（m2＋9）)，則m2＋9＝25?！適＞0，∴m＝4.]3．若雙曲線eq\f（x2，4）－eq\f（y2,m)＝1(m＞0)的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3），2）x，則雙曲線的焦點坐標是________．（－eq\r(7），0)，(eq\r(7)，0)[由雙曲線方程得出其漸近線方程為y＝±eq\f(\r(m),2)x，∴m＝3，求得雙曲線方程為eq\f(x2，4)－eq\f（y2，3）＝1，從而得到焦點坐標為（－eq\r(7)，0），（eq\r(7)，0)．]4．已知點（2，3)在雙曲線C:eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0,b＞0)上，C的焦距為4,則它的離心率為________．2［由題意知eq\f（4,a2)－eq\f（9,b2)＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝eq\r(3），∴e＝2.］根據(jù)雙曲線方程研究幾何性質(zhì)【例1】（1)已知雙曲線C：eq\f（x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1(a＞0，b＞0）過點(eq\r(2)，2eq\r（2）),過點(0，－2）的直線l與雙曲線C的一條漸近線平行，且這兩條平行線間的距離為eq\f(2，3）,則雙曲線C的實軸長為（）A．2 B．2eq\r(2）C．4 D．4eq\r（2)(2）求雙曲線nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程．（1)A[雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f（b,a）x，則點（0，－2)到漸近線bx－ay＝0（或bx＋ay＝0）的距離d＝eq\f（|2a｜，\r(a2＋b2）)＝eq\f（2a，c)＝eq\f(2,3），得c＝3a,即b＝2eq\r(2)a。由雙曲線C過點(eq\r(2)，2eq\r（2）），可得eq\f(2,a2）－eq\f（8,8a2)＝1，解得a＝1,故雙曲線C的實軸長為2a＝2.]（2)把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0）,化為標準方程eq\f(x2,m)－eq\f（y2,n)＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，實半軸長a＝eq\r(m），虛半軸長b＝eq\r(n），c＝eq\r（m＋n），焦點坐標為（eq\r(m＋n），0）,(－eq\r(m＋n)，0)，離心率e＝eq\f(c，a)＝eq\f（\r(m＋n),\r(m)）＝eq\r(1＋\f(n,m)）。頂點坐標為（－eq\r(m)，0），(eq\r（m),0)．所以漸近線的方程為y＝±eq\f（\r（n）,\r（m）)x＝±eq\f(\r（mn)，m）x.由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關(guān)鍵．（2）由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值．(3）由c2＝a2＋b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)．提醒:求性質(zhì)時一定要注意焦點的位置．1．(1）下列雙曲線中,焦點在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是()A．x2－eq\f（y2,4）＝1 B。eq\f(x2,4）－y2＝1C.eq\f（y2，4）－x2＝1 D．y2－eq\f（x2，4）＝1C[A、B選項中雙曲線的焦點在x軸上，可排除；C、D選項中雙曲線的焦點在y軸上,令eq\f（y2,4）－x2＝0,得y＝±2x；令y2－eq\f(x2，4）＝0,得y＝±eq\f(1，2）x.故選C。］(2)若雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1的離心率為eq\r（3），則其漸近線方程為(）A．y＝±2x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f（1,2）x D．y＝±eq\f（\r(2)，2）xB［在雙曲線中,離心率e＝eq\f(c，a)＝eq\r(1＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（b，a）))\s\up20(2）)＝eq\r（3)，可得eq\f(b,a)＝eq\r（2），故所求的雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\r(2）x。]利用幾何性質(zhì)求雙曲線方程【例2】（1)已知雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1(a>0，b〉0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點），則雙曲線的方程為（)A。eq\f（x2,4)－eq\f（y2,12）＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f（y2,4)＝1C.eq\f(x2,3）－y2＝1 D．x2－eq\f(y2，3)＝1(2)漸近線方程為y＝±eq\f(1，2）x，且經(jīng)過點A（2，－3）的雙曲線方程為_________．思路探究：(1）△OAF是邊長為2的等邊三角形?求c和點A的坐標?漸近線的斜率?求a，b。（2)法一：分焦點在x軸和y軸上兩種情況求解．法二：待定系數(shù)法求解．(1)D(2)eq\f（y2，8）－eq\f（x2，32）＝1［（1）不妨設(shè)點A在第一象限，由題意可知c＝2,點A的坐標為(1,eq\r(3))，所以eq\f（b，a）＝eq\r(3)，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求雙曲線的方程為x2－eq\f（y2，3)＝1，故選D。（2)法一：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x,若焦點在x軸上,設(shè)所求雙曲線的標準方程為：eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a>0,b〉0），則eq\f(b,a）＝eq\f（1，2）.①因為點A（2，－3）在雙曲線上，所以eq\f（4，a2)－eq\f(9,b2）＝1.②聯(lián)立①②，無解．若焦點在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標準方程為eq\f（y2，a2)－eq\f(x2，b2）＝1(a>0,b>0)，則eq\f（a，b）＝eq\f（1，2)。③因為點A（2,－3）在雙曲線上,所以eq\f(9，a2）－eq\f(4，b2)＝1.④聯(lián)立③④，解得a2＝8，b2＝32。故所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,8）－eq\f（x2,32)＝1.法二：由雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f（1,2）x，可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,22）－y2＝λ(λ≠0)．因為點A（2,－3)在雙曲線上，所以eq\f（22，22）－（－3）2＝λ，即λ＝－8。故所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2，8)－eq\f(x2，32)＝1.]1.由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的方程的常用方法:一是設(shè)法確定基本量a，b，c,從而求出雙曲線方程；二是采用待定系數(shù)法．首先依據(jù)焦點的位置設(shè)出標準方程的形式，再由題目條件確定參數(shù)的值．當焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，此時應(yīng)注意分類討論，防止漏解．為了避免討論,也可設(shè)方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，從而直接求解．2．常見雙曲線方程的設(shè)法(1）漸近線為y＝±eq\f（n，m)x的雙曲線方程可設(shè)為eq\f（x2,m2）－eq\f（y2，n2）＝λ(λ≠0，m〉0，n〉0）；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2－B2y2＝m（m≠0，A〉0，B〉0)．（2)與雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1或eq\f（y2,a2）－eq\f(x2，b2)＝1（a>0,b>0）共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2)＝λ或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2，b2)＝λ（λ≠0）．（3)與雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2）＝1(a>0，b〉0)離心率相等的雙曲線系方程可設(shè)為eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝λ（λ〉0）或eq\f（y2,a2)－eq\f(x2，b2)＝λ(λ〉0),這是因為離心率不能確定焦點位置．2．求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:（1）以直線2x±3y＝0為漸近線，過點(1，2)；(2)與雙曲線eq\f(y2,4）－eq\f（x2,3）＝1具有相同的漸近線,且過點M(3，－2）;（3)過點（2,0），與雙曲線eq\f（y2,64）－eq\f（x2,16）＝1離心率相等．[解](1)由題意可設(shè)所求雙曲線方程為4x2－9y2＝λ（λ≠0），將點(1,2）的坐標代入方程解得λ＝－32。因此所求雙曲線的標準方程為eq\f（y2，\f（32，9）)－eq\f（x2,8）＝1.（2)設(shè)所求雙曲線方程為eq\f（y2，4)－eq\f(x2,3)＝λ（λ≠0）．由點M（3，－2）在雙曲線上得eq\f(4，4)－eq\f(9,3）＝λ，得λ＝－2.故所求雙曲線的標準方程為eq\f（x2，6)－eq\f（y2,8）＝1。（3）當所求雙曲線的焦點在x軸上時，可設(shè)其方程為eq\f(x2，64)－eq\f(y2,16）＝λ（λ>0）,將點（2，0）的坐標代入方程得λ＝eq\f(1，16),故所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2，4）－y2＝1；當所求雙曲線的焦點在y軸上時，可設(shè)其方程為eq\f(y2，64）－eq\f(x2,16)＝λ(λ>0)，將點(2，0）的坐標代入方程得λ＝－eq\f(1，4）<0(舍去）．綜上可知，所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2，4)－y2＝1。求雙曲線的離心率【例3】(1)若雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1的一條漸近線經(jīng)過點（3，－4)，則此雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(7），3)B.eq\f（5，4)C。eq\f(4,3)D。eq\f(5，3）（2)已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上,△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A。eq\r(5) B．2C。eq\r（3） D.eq\r(2）思路探究：(1）漸近線經(jīng)過點（3,－4)?漸近線的斜率?離心率．（2)由已知條件畫圖?點M的坐標?代入雙曲線方程．（1）D(2）D[（1)由題意知eq\f(b，a）＝eq\f（4，3),則e2＝1＋eq\f（b2,a2）＝eq\f（25,9），所以e＝eq\f(5，3).（2）設(shè)雙曲線方程為eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2）＝1(a〉0,b>0），不妨設(shè)點M在雙曲線的右支上，如圖，AB＝BM＝2a,∠MBA＝120°,作MH⊥x軸于H，則∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝eq\r（3）a,所以M(2a，eq\r(3)a）．將點M的坐標代入雙曲線方程eq\f（x2，a2)－eq\f(y2，b2)＝1，得a＝b，所以e＝eq\r（2).故選D。］求雙曲線離心率的方法（1）若可求得a，c,則直接利用e＝eq\f(c，a）得解．(2）若已知a,b，可直接利用e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(b，a）))\s\up20（2)）得解．(3）若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋qac＋ra2＝0（p，q，r為常數(shù)，且p≠0），則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．3．(1)（2019·全國卷Ⅱ）設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2)＝1(a＞0,b＞0)的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ｜＝|OF|，則C的離心率為（）A。eq\r(2) B。eq\r（3）C．2 D。eq\r（5)[答案］A(2）過雙曲線C：eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b〉0）的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為________．2＋eq\r（3)［如圖，F(xiàn)1,F2為雙曲線C的左,右焦點,將點P的橫坐標2a代入eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1中，得y2＝3b2，不妨令點P的坐標為（2a,－eq\r(3)b)，此時kPF2＝eq\f（\r(3)b，c－2a）＝eq\f(b，a）,得到c＝（2＋eq\r(3)）a，即雙曲線C的離心率e＝eq\f（c，a）＝2＋eq\r(3）.］直線與雙曲線的位置關(guān)系［探究問題]1．直線和雙曲線只有一個公共點，那么直線和雙曲線一定相切嗎？[提示]可能相切，也可能相交，當直線和漸近線平行時,直線和雙曲線相交且只有一個交點．2．過點(0，2）和雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2，9)＝1只有一個公共點的直線有幾條？[提示]四條，其中兩條切線，兩條和漸近線平行的直線．【例4】已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l:y＝kx－1.(1）若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為eq\r（2)，求實數(shù)k的值．思路探究：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組?判斷“Δ”與“0”的關(guān)系?直線與雙曲線的位置關(guān)系．［解］(1）聯(lián)立方程組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))消去y并整理得（1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直線與雙曲線有兩個不同的交點,則eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（1－k2≠0，,Δ＝4k2＋8（1－k2）＞0，））解得－eq\r(2)＜k＜eq\r（2），且k≠±1.∴若l與C有兩個不同交點，實數(shù)k的取值范圍為（－eq\r（2),－1)∪(－1，1）∪(1，eq\r（2)）．(2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2，y2)，對于(1）中的方程(1－k2）x2＋2kx－2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1＋x2＝－eq\f(2k，1－k2)，x1x2＝－eq\f(2,1－k2)，∴|AB|＝eq\r（1＋k2）|x1－x2|＝eq\r(1＋k2）·eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（2k，1－k2）))\s\up20（2)＋\f（8,1－k2））＝eq\r（\f(（1＋k2）(8－4k2）,（1－k2）2)).又∵點O(0，0）到直線y＝kx－1的距離d＝eq\f(1,\r(1＋k2）)，∴S△AOB＝eq\f(1,2）·|AB｜·d＝eq\f（1，2）eq\r(\f（8－4k2，（1－k2)2）)＝eq\r（2），即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±eq\f(\r(6）,2).∴實數(shù)k的值為±eq\f（\r(6），2)或0。直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法（1）方程思想的應(yīng)用把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．①Δ〉0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點．②Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點．③Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點．(2）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用①直線過定點時,根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系．②直線斜率一定時，通過平行移動直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系．提醒:利用判別式來判斷直線與雙曲線的交點個數(shù)問題的前提是通過消元化為一元二次方程．4．已知雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1，求過點A(3，－1）且被點A平分的弦MN所在直線的方程．［解]法一：由題意知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3k－1，，\f（x2，4）－y2＝1，）)消去y，整理得（1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f（8k（3k＋1），4k2－1)?！逜(3，－1)為MN的中點，∴eq\f(x1＋x2，2)＝3，即eq\f（8k（3k＋1），2（4k2－1））＝3，解得k＝－eq\f(3，4).當k＝－eq\f(3，4）時，滿足Δ〉0，符合題意，∴所求直線MN的方程為y＝－eq\f（3,4)x＋eq\f(5，4）,即3x＋4y－5＝0.法二:設(shè)M（x1,y1），N（x2，y2）,∵M，N均在雙曲線上，∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al（2，1）,4）－yeq\o\al（2,1)＝1，,\f（xeq\o\al（2，2)，4）－yeq\o\al（2，2)＝1，)）兩式相減，得eq\f(xeq\o\al(2,2）－xeq\o\al（2,1),4）＝y(tǒng)eq\o\al（2，2)－yeq\o\al（2，1），∴eq\f（y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4（y2＋y1）)?！唿cA平分弦MN,∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2。∴kMN＝eq\f（y2－y1，x2－x1）＝eq\f（x2＋x1,4（y2＋y1））＝－eq\f(3,4)。經(jīng)驗證，該直線MN存在．∴所求直線MN的方程為y＋1＝－eq\f（3,4）(x－3)，即3x＋4y－5＝0.1．漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)．兩方程聯(lián)系密切,