2020高中數(shù)學(xué) 第10章 概率 10.1 隨機(jī)事件與概率 47 概率的基本性質(zhì) 第二冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)47概率的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一概率的性質(zhì)1。下列結(jié)論正確的是（）A．事件A發(fā)生的概率為P（A）＝1.1B．不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1C．小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然要發(fā)生的事件D．如果A?B,那么P(A)〈P(B)答案B解析因?yàn)槭录嗀發(fā)生的概率0≤P(A)≤1，所以A錯(cuò)誤;不可能事件的概率規(guī)定為0，必然事件的概率規(guī)定為1，所以B正確；小概率事件是指這個(gè)事件發(fā)生的可能性很小，但并不是不發(fā)生，大概率事件發(fā)生的可能性較大，但并不是一定發(fā)生，所以C錯(cuò)誤；由概率的單調(diào)性可知，如果A?B，那么P（A）≤P(B)，所以D錯(cuò)誤.知識(shí)點(diǎn)二互斥事件的概率2.盒子里裝有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,從中任取3個(gè)球．設(shè)事件A表示“3個(gè)球中有1個(gè)紅球,2個(gè)白球”，事件B表示“3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球”．已知P（A)＝eq\f（3,10），P(B）＝eq\f(1，2),則這3個(gè)球中既有紅球又有白球的概率是________．答案eq\f（4,5)解析記事件C為“3個(gè)球中既有紅球又有白球"，則它包含事件A“3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球”和事件B“3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球”，而且事件A與事件B是互斥的，所以P（C)＝P（A∪B)＝P(A)＋P（B)＝eq\f(3，10)＋eq\f(1，2）＝eq\f(4,5)。3．在某超市的一個(gè)收銀臺(tái)等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下表所示：等候人數(shù)01234大于等于5概率0。050.140。350.300。100。06求：(1）等候人數(shù)不超過2的概率；(2)等候人數(shù)大于等于3的概率．解設(shè)A，B，C，D，E,F分別表示等候人數(shù)為0,1，2，3,4，大于等于5的事件，則易知A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1）設(shè)M表示事件“等候人數(shù)不超過2”，則M＝A∪B∪C，故P（M)＝P（A）＋P（B）＋P（C)＝0.05＋0。14＋0。35＝0.54,即等候人數(shù)不超過2的概率為0。54。（2）設(shè)N表示事件“等候人數(shù)大于等于3",則N＝D∪E∪F，故P(N）＝P(D）＋P（E)＋P（F）＝0。30＋0。10＋0。06＝0。46,即等候人數(shù)大于等于3的概率為0。46。知識(shí)點(diǎn)三對(duì)立事件的概率4.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品},事件B＝｛抽到二等品}，事件C＝｛抽到三等品}，且已知P(A)＝0。65，P（B）＝0.2,P（C）＝0。1.則事件“抽到的不是一等品"的概率為（)A．0。7 B．0。65C．0.35 D．0.3答案C解析由對(duì)立事件的概率關(guān)系知抽到的不是一等品的概率為P＝1－0。65＝0.35.5．某射擊手平時(shí)的射擊成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表所示:環(huán)數(shù)7環(huán)以下78910命中概率0.13ab0。250。24已知他命中7環(huán)及7環(huán)以下的概率為0。29.(1)求a和b的值;（2)求命中10環(huán)或9環(huán)的概率；（3）求命中環(huán)數(shù)不足9環(huán)的概率．解（1）因?yàn)樗?環(huán)及7環(huán)以下的概率為0.29，所以a＝0.29－0.13＝0.16,b＝1－(0。29＋0。25＋0。24）＝0。22。(2）命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0。24＋0。25＝0.49。(3)命中環(huán)數(shù)不足9環(huán)的概率為1－0.49＝0.51.易錯(cuò)點(diǎn)不能區(qū)分事件是否互斥而錯(cuò)用加法公式6.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子,向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)的概率都是eq\f（1，6）,記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”,求P(A∪B）．易錯(cuò)分析由于忽視了“和事件"概率公式應(yīng)用的前提條件，由于“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)"與“朝上一面的數(shù)不超過3”這二者不是互斥事件，即出現(xiàn)1或3時(shí),事件A，B同時(shí)發(fā)生，所以不能應(yīng)用公式P(A∪B)＝P（A）＋P(B）求解，而致誤．正解記事件“出現(xiàn)1點(diǎn)"“出現(xiàn)2點(diǎn)”“出現(xiàn)3點(diǎn)”“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1,A2，A3，A4，由題意知這四個(gè)事件彼此互斥．則A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4.故P（A∪B）＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P（A1）＋P（A2)＋P（A3)＋P（A4）＝eq\f(1,6)＋eq\f(1，6）＋eq\f（1，6)＋eq\f(1，6)＝eq\f（2,3).一、選擇題1．若隨機(jī)事件A,B互斥,A,B發(fā)生的概率均不等于0,且P(A)＝2－a，P（B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)aA。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（5,4），2)) B.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5，4），\f（3,2）））C.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(5，4），\f（3,2)）) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（5，4），\f(4,3)））答案D解析由題意可知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0〈PA<1，，0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0〈2－a<1，,0<4a－5〈1，，3a－3≤1,）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1<a<2，，\f(5,4）〈a〈\f(3,2），,a≤\f(4，3),））解得eq\f(5，4）〈a≤eq\f（4，3)。2．下列說法正確的是()A．對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件B．A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小C．若P(A）＋P(B)＝1,則事件A與B是對(duì)立事件D．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大答案A解析根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念,得到對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件，故A正確．對(duì)于兩個(gè)不可能事件來說，同時(shí)發(fā)生的概率與恰有一個(gè)發(fā)生的概率相等,且均為零，故B錯(cuò)誤．若P(A）＋P(B)＝1，且AB＝?時(shí),事件A與B是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生包括事件A發(fā)生B不發(fā)生，A不發(fā)生B發(fā)生，A,B都發(fā)生；A，B中恰有一個(gè)發(fā)生包括A發(fā)生B不發(fā)生，A不發(fā)生B發(fā)生；當(dāng)事件A，B互斥時(shí),事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于事件A，B恰有一個(gè)發(fā)生的概率,故D錯(cuò)誤．3．一個(gè)袋子里有4個(gè)紅球,2個(gè)白球，6個(gè)黑球，若隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記A＝｛摸出黑球},B＝｛摸出紅球}，C＝{摸出白球}，則事件A∪B及B∪C的概率分別為()A.eq\f(5，6），eq\f(1,2）B.eq\f（1，6），eq\f(1,2)C.eq\f（1，2)，eq\f（5,6）D.eq\f（1,3），eq\f（1，2)答案A解析P(A)＝eq\f（1,2），P（B)＝eq\f（1,3)，P（C)＝eq\f(1,6).因?yàn)槭录嗀，B,C兩兩互斥，則P(A∪B）＝P（A)＋P(B）＝eq\f（5，6)。P(B∪C)＝P（B）＋P(C）＝eq\f(1，2).4．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,三個(gè)事件A1，A2，A3的概率分別是0。2，0。3,0.5，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①A1∪A2與A3是互斥事件,也是對(duì)立事件;②A1∪A2＋A3是必然事件；③P(A2∪A3）＝0。8；④P（A1∪A2）≤0.5.A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由題意知,A1,A2,A3不一定是互斥事件，所以P（A1∪A2)≤0。5，P（A2∪A3)≤0.8，P（A1∪A3)≤0.7，所以，只有④正確，所以說法正確的個(gè)數(shù)為1。故選B。5．在5件產(chǎn)品中，有3件一級(jí)品和2件二級(jí)品，從中任取2件，下列事件中概率為eq\f（7，10）的是（)A．都是一級(jí)品B．都是二級(jí)品C．一級(jí)品和二級(jí)品各1件D．至少有1件二級(jí)品答案D解析設(shè)A1,A2，A3分別表示3件一級(jí)品，B1，B2分別表示2件二級(jí)品．任取2件，則樣本空間Ω＝{A1A2，A1A3，A2A3，A1B1,A1B2，A2B1,A2B2,A3B1，A3B2,B1事件A表示“2件都是一級(jí)品”，包含3個(gè)樣本點(diǎn),則P（A)＝eq\f（3，10），事件B表示“2件都是二級(jí)品”,包含1個(gè)樣本點(diǎn)，則P（B）＝eq\f（1,10)，事件C表示“2件中一件一級(jí)品、一件二級(jí)品”，包含6個(gè)樣本點(diǎn)，則P(C)＝eq\f（6,10）＝eq\f（3,5).事件A，B,C互斥,P（B)＋P（C)＝eq\f（7，10)，B∪C表示“至少有1件二級(jí)品”，故選D。二、填空題6．從一副撲克牌（52張,無大小王）中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃"，則P(A∪B）＝________.答案eq\f（7，26）解析事件A，B為互斥事件，由題意可知P(A)＝eq\f（1,52），P(B）＝eq\f（13,52）＝eq\f(1,4），所以P(A∪B）＝P(A）＋P（B）＝eq\f(1,52）＋eq\f（1，4）＝eq\f(7，26).7．在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點(diǎn)"，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則事件A∪eq\o(B,\s\up6(－））發(fā)生的概率為________．（eq\o（B，\s\up6（－）)表示B的對(duì)立事件)答案eq\f（2,3）解析隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次共有六種不同的結(jié)果，且每種結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的．其中事件A“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點(diǎn)”包括2，4兩種結(jié)果，P（A)＝eq\f(2,6）＝eq\f（1，3）。事件B“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”包括1，2，3,4四種結(jié)果，P（B)＝eq\f（4，6）＝eq\f（2，3），P(eq\o(B，\s\up6(－）））＝eq\f(1，3).且事件A和事件eq\o(B,\s\up6(－)）是互斥事件，所以P(A∪eq\o（B,\s\up6(－))）＝eq\f（1,3)＋eq\f(1,3）＝eq\f(2，3)。8．袋中有12個(gè)小球,分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球,已知得到紅球的概率是eq\f（1，3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5，12），則得到黑球、黃球、綠球的概率分別是________，________，________。答案eq\f(1，4)eq\f(1，6）eq\f（1，4）解析設(shè)事件A,B，C，D分別表示事件“得到紅球”“得到黑球"“得到黃球”“得到綠球”，且事件A,B，C，D兩兩互斥,根據(jù)題意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（PA＝\f(1,3），,PB＋PC＝\f(5,12）,,PC＋PD＝\f(5,12），,PA＋PB＋PC＋PD＝1，))解得P(B)＝eq\f（1，4)，P(C)＝eq\f(1，6），P(D）＝eq\f（1，4).三、解答題9．某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購多得。1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C，求：(1)P（A)，P（B)，P（C);（2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3）1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．解（1)P(A）＝eq\f（1，1000)，P(B)＝eq\f(10，1000）＝eq\f(1，100)，P(C)＝eq\f（50,1000)＝eq\f(1，20)。（2）1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M，則M＝A∪B∪C，∵事件A,B,C兩兩互斥，∴P(M)＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B)＋P(C)＝eq\f(1，1000）＋eq\f（1，100)＋eq\f(1,20）＝eq\f（61，1000）.故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為eq\f(61,1000).(3）設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，由對(duì)立事件概率公式得P（N）＝1－P（A∪B）＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，1000)＋\f(1,100)）)＝eq\f(989，1000).故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989,1000).10．甲、乙兩人玩一種游戲，每次甲、乙各出1到5根手指頭，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．（1)若事件A表示“和為6”，求P（A）；（2)現(xiàn)連玩三次,若事件B表示“甲至少贏一次",事件C表示“乙至少贏兩次"，試問B與C是否為互斥事件？為什么？（3)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由．解（1）易知樣本點(diǎn)總數(shù)n＝25，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等．事件A