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第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算1.理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).(重點(diǎn))能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).(難點(diǎn))3.會(huì)運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)與證明.(易混點(diǎn))重點(diǎn):對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)難點(diǎn):對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的探究是教學(xué)的難點(diǎn),突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是抓住指數(shù)式與對(duì)數(shù)式之間的聯(lián)系,啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化。1.對(duì)數(shù)(1)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化及有關(guān)概念:(2)底數(shù)a的范圍是________________.2.運(yùn)算性質(zhì)條件,且,性質(zhì)(nR)3.換底公式(a>0,且a1;c>0,且c1;b>0).問(wèn)題提出:在引入對(duì)數(shù)之后,自然應(yīng)研究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).你認(rèn)為可以怎樣研究?我們知道了對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系,能否利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)得出相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)呢?探究一:對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)回顧指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):,,.把指對(duì)數(shù)互化的式子具體化:設(shè),,于是有.根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有:,,.于是有對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):如果,且時(shí),M>0,N>0,那么:(1);(積的對(duì)數(shù)等于兩對(duì)數(shù)的和)(2);(商的對(duì)數(shù)等于兩對(duì)數(shù)的差)(3);().(冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對(duì)數(shù))1.思考辨析(1)積、商的對(duì)數(shù)可以化為對(duì)數(shù)的和、差.()(2)loga(xy)=logax·logay.()(3)log2(-3)2=2log2(-3).()例1.求下列各式的值(1)log84+log82;(2)log510-log52(3)log2(47×25)跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算下列各式的值:(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)-eq\f(4,3)lgeq\r(8)+lgeq\r(245);(2)lg52+eq\f(2,3)lg8+lg5·lg20+(lg2)2;(3)eq\f(lg\r(2)+lg3-lg\r(10),lg1.8).探究二:換底公式問(wèn)題1:前面我們學(xué)習(xí)了常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù),我們知道任意不等于1的正數(shù)都可以作為對(duì)數(shù)的底,能否將其它底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10或?yàn)榈椎膶?duì)數(shù)?把問(wèn)題一般化,能否把以為底轉(zhuǎn)化為以為底?探究:設(shè),則,對(duì)此等式兩邊取以為底的對(duì)數(shù),得到:,根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì),有:,所以.即.其中,且,,且.公式;稱(chēng)為換底公式.用換底公式可以很方便地利用計(jì)算器進(jìn)行對(duì)數(shù)的數(shù)值計(jì)算.問(wèn)題2:在4.2.1的問(wèn)題1中,求經(jīng)過(guò)多少年B地景區(qū)的游客人次是2001年的2倍,就是計(jì)算x=log1.11例3.盡管目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震,但科學(xué)家通過(guò)研究,已經(jīng)對(duì)地震有所了解,例如,地震時(shí)釋放出的能量E(單位:焦耳)與地震里氏震M之間的關(guān)系為2011年3月11日,日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震,它所釋放出來(lái)的能量是2008年5月12日我國(guó)汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震的多少倍(精確到1)?跟蹤訓(xùn)練2求值:(1)log23·log35·log516;(2)(log32+log92)(log43+log83).1.計(jì)算:log153-log62+log155-log63=()A.-2B.0C.1D.22.計(jì)算log92·log43=()A.4B.2C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)3.設(shè)10a=2,lg3=b,則log26=()A.eq\f(b,a)B.eq\f(a+b,a)C.a(chǎn)bD.a(chǎn)+b4.log816=________.5.計(jì)算:(1)log535-2log5eq\f(7,3)+log57-log51.8;(2)log2eq\r(\f(7,48))+log212-eq\f(1,2)log242-1.1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則。2.利用定義及指數(shù)運(yùn)算證明對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則。3.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用。4.換底公式的證明及應(yīng)用。參考答案:二、學(xué)習(xí)過(guò)程思考辨析1.[答案](1)√(2)×(3)×例1.解:(1)log84+log82=log88=1.(2)log510-log52=log55=1(3)log2(47×25)=log2219=19跟蹤訓(xùn)練1[解](1)原式=eq\f(1,2)(5lg2-2lg7)-eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2+eq\f(1,2)(2lg7+lg5)=eq\f(5,2)lg2-lg7-2lg2+lg7+eq\f(1,2)lg5=eq\f(1,2)lg2+eq\f(1,2)lg5=eq\f(1,2)(lg2+lg5)=eq\f(1,2)lg10=eq\f(1,2).(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.(3)原式=eq\f(\f(1,2)lg2+lg9-lg10,lg1.8)=eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)=eq\f(lg1.8,2lg1.8)=eq\f(1,2).例2.[解]問(wèn)題2:換底公式可得;x=log1.11利用計(jì)算工具,可得x=lg2lg1.11由此可得,大約經(jīng)過(guò)7年,B地景區(qū)的游客人次就達(dá)到2001年的2倍,類(lèi)似地,可以求出游客人次是2001年的3倍,4倍,:…所需要的年數(shù)。例3解:設(shè)里氏9.0級(jí)和里氏8.0級(jí)地震的能量分別為E1和E2設(shè)里利用計(jì)算工具可得,雖然里氏9.0級(jí)和里氏8.0級(jí)地震僅相差1級(jí),但前者釋放出的能量卻是后者的約32倍。跟蹤訓(xùn)練2.[解](1)原式=eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)=eq\f(lg16,lg2)=eq\f(4lg2,lg2)=4.(2)原式=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)+\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)+\f(lg3,lg8)))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)+\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)+\f(lg3,3lg2)))=eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)=eq\f(5,4)..三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.【答案】B[原式=log15(3×5)-log6(2×3)=1-1=0.]2.【答案】D[log92·log43=eq\f(lg2,lg9)·eq\f(lg3,lg4)=eq\f(1,4).]3.【答案】B[∵10a=2,∴l(xiāng)g2=a,∴l(xiāng)og26=eq\f(lg6,lg2)=eq\f(lg2+lg3,lg2)=eq\f(a+b,a).]4.【答案】eq\f(4,3)[log816=log2324=eq\f(4,3).]5【答案】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5eq\f(9,5)=log55+log57-2log57+2log53+log57-2
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