11正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的方差分析（修）

第十一章正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的方差分析單因素或兩因素試驗(yàn)考察的因素少，試驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)施與分析都比擬簡單。但在實(shí)際工作中，常常需要同時(shí)考察3個(gè)或3個(gè)以上的試驗(yàn)因素，假設(shè)進(jìn)行全面試驗(yàn)，那么試驗(yàn)的規(guī)模將很大，往往因受試驗(yàn)條件的限制而難于實(shí)施。希望尋求一種既可以考查較多的因素、水平組合數(shù)又不是很多的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。正交設(shè)計(jì)就是這樣的一種設(shè)計(jì)方法。第一節(jié)正交設(shè)計(jì)原理和方法正交設(shè)計(jì)〔orthogonaldesign〕是利用正交表安排多因素試驗(yàn)、分析試驗(yàn)結(jié)果的一種設(shè)計(jì)方法。它從多因素試驗(yàn)的全部水平組合中挑選局部有代表性的水平組合進(jìn)行試驗(yàn)，通過對這局部試驗(yàn)結(jié)果的分析了解全面試驗(yàn)的情況，找出最優(yōu)水平組合。例如，研究氮、磷、鉀肥施用量對某小麥品種產(chǎn)量的影響，氮肥施用量A有3個(gè)水平：A1、A2、A3；磷肥施用量B有3個(gè)水平：B1、B2、B3；鉀肥施用量C有3個(gè)水平：C1、C2、C3。這是一個(gè)3因素每個(gè)因素3水平的試驗(yàn)，簡記為33試驗(yàn)，各因素水平之間全部組合有27個(gè)。如果對各因素全部27水平組合都進(jìn)行試驗(yàn)，即進(jìn)行全面試驗(yàn)，可以分析各因素的效應(yīng)、交互作用，也可選出最優(yōu)水平組合，這是全面試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)。但全面試驗(yàn)包含的水平組合數(shù)多，工作量大，由于受試驗(yàn)場地、經(jīng)費(fèi)等限制而常常難于實(shí)施。假設(shè)試驗(yàn)的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，那么可利用正交設(shè)計(jì)來安排試驗(yàn)。正交設(shè)計(jì)的根本特點(diǎn)是：用局部試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)，通過對局部試驗(yàn)結(jié)果的分析，了解全面試驗(yàn)的情況。正因?yàn)檎辉囼?yàn)是用局部試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)，它不可能像全面試驗(yàn)?zāi)菢訉Ω饕蛩匦?yīng)、交互作用一一分析；且當(dāng)交互作用存在時(shí)，有可能出現(xiàn)交互作用的混雜。雖然正交設(shè)計(jì)有上述缺乏，但它能通過局部試驗(yàn)找到最優(yōu)水平組合，因而很受實(shí)際工作者青睞。如一、正交設(shè)計(jì)的根本原理全面試驗(yàn)方案包含各因素的全部27水平組合，試驗(yàn)方案如表11-1所示。這27水平組合就是3維因子空間中一個(gè)立方體上的27個(gè)點(diǎn)，如圖11-1所示。這27個(gè)點(diǎn)均勻分布在立方體上：每個(gè)平面上有9個(gè)點(diǎn)，每兩個(gè)平面的交線上有3個(gè)點(diǎn)。表11-1試驗(yàn)的全面試驗(yàn)方案C1C2C3A1B1A1B1CA1B1CA1B1CB2A1B2CA1B2CA1B2CB3A1B3CA1B3CA1B3CA2B1A2B1CA2B1CA2B1CB2A2B2CA2B2CA2B2CB3A2B3CA2B3CA2B3CA3B1A3B1CA3B1CA3B1CB2A3B2CA3B2CA3B2CB3A3B3CA3B3CA3B3C圖11-13因素每個(gè)因素3水平正交試驗(yàn)點(diǎn)的均衡分布圖3因素每個(gè)因素3水平的全面試驗(yàn)水平組合數(shù)為33=27，4因素每個(gè)因素3水平的全面試驗(yàn)水平組合數(shù)為34=81，5因素每個(gè)因素3水平的全面試驗(yàn)水平組合數(shù)為35=243。正交設(shè)計(jì)就是從全面試驗(yàn)點(diǎn)〔水平組合〕中挑選出有代表性的局部試驗(yàn)點(diǎn)〔水平組合〕來進(jìn)行試驗(yàn)。圖11-1中標(biāo)有試驗(yàn)號的9個(gè)“(·)〞，就是利用正交表L9(34)從27個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)中挑選出來的9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B(4)A2B1C2(5)A2B2C3(6)A2B(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B上述選擇，保證了A因素的每個(gè)水平與B因素、C因素的各個(gè)水平在試驗(yàn)中各搭配一次。對于A、B、C3個(gè)因素來說，是在27個(gè)全面試驗(yàn)點(diǎn)中選擇9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，僅是全面試驗(yàn)的三分之一。從圖11-1中可以看到，9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)在立方體中分布是均衡的：在立方體的每個(gè)平面上有3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，每兩個(gè)平面的交線上有1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)均衡地分布于整個(gè)立方體內(nèi)，有很強(qiáng)的代表性，能夠比擬全面地反映27個(gè)全面試驗(yàn)點(diǎn)的根本情況。二、正交表及其特性(一)正交表〔orthogonaltable〕正交設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)和分析試驗(yàn)結(jié)果都要用正交表。下面先對正交表及其特性作一介紹。表11-2是L8(27)正交表，其中“L〞代表正交表；L右下角的數(shù)字“8”表示該正交表有8個(gè)橫行，用這張正交表安排試驗(yàn)包含8個(gè)處理(水平組合)；括號內(nèi)的底數(shù)“2”表示因素的水平數(shù)，括號內(nèi)2的指數(shù)“7”表示有7列，用這張正交表最多可以安排7表11-2L8(27試驗(yàn)號列號12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112常用的正交表已由數(shù)學(xué)工作者制定出來，供進(jìn)行正交設(shè)計(jì)時(shí)選用。2水平正交表除L8(27)外，還有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)……等〔詳見附表9及有關(guān)參考書〕。(二)正交表的特性任何一張正交表都有如下兩個(gè)特性：1、任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同例如，L8(27)的任一列中不同數(shù)字只有1和2，它們各出現(xiàn)4次；L9(34)的任一列中不同數(shù)字只有1、2、3，它們各出現(xiàn)3次。2、任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相同例如，L8(27)的任兩列中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出現(xiàn)兩次；L9(34)的任兩列中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出現(xiàn)1次。即每個(gè)因素的一個(gè)水平與另一因素的各個(gè)水平互碰次數(shù)相同，說明正交表任意兩列各個(gè)數(shù)字之間的搭配是均勻的。根據(jù)以上兩個(gè)特性，用正交表安排的試驗(yàn)，具有均衡分散和整齊可比的特點(diǎn)。所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均勻的。由圖11-1看出，在立方體內(nèi)，任一平面內(nèi)都包含3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)“(·)〞，任兩個(gè)平面的交線上都包含1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)“(·)〞，因此，這些試驗(yàn)點(diǎn)代表性強(qiáng)，能夠較好地反映全面試驗(yàn)的情況。整齊可比是指每一個(gè)因素的各水平間具有可比性。因?yàn)檎槐碇忻恳灰蛩氐娜我凰较露季獾匕硗庖蛩氐母鱾€(gè)水平，當(dāng)比擬某因素的不同水平時(shí)，其它因素的效應(yīng)都彼此抵消。例如，在A、B、C3個(gè)因素中，A因素的3個(gè)水平A1、A2、A3條件下各有B、C的3個(gè)不同水平，即：B1CB1CB1CA1B2CA2B2CA3B2CB3CB3CB3C在這9個(gè)水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個(gè)水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當(dāng)比擬A因素的不同水平時(shí)，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素不同水平的效應(yīng)也相互抵消。所以A因素3個(gè)水平間具有可比性。同樣，B、C因素3個(gè)水平間亦具有可比性。(三)正交表的類別1、相同水平正交表各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字相同的正交表稱為相同水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大數(shù)字為2，稱為兩水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大數(shù)字為3，稱為3水平正交表。2、混合水平正交表各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L8(4×24)中有1列最大數(shù)字為4，有4列最大數(shù)字為2，也就是說該表可以安排1個(gè)4水平因素和4個(gè)2水平因素，L8(4×24)是混合水平正交表。再如L16(44×23)，L16(4×212)等都是混合水平正交表。三、正交設(shè)計(jì)方法下面結(jié)合實(shí)例介紹正交設(shè)計(jì)方法?！纠?1·1】某水稻栽培試驗(yàn)選擇了3個(gè)水稻優(yōu)良品種(A)：二九矮、高二矮、窄葉青，3種密度(B)：15、20、25〔萬苗/666.7m2〕；3種施氮量(C)：3、5、8〔kg/666.7m2〕，試采用采用正交設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)方案一般有以下幾個(gè)步驟。(一)確定試驗(yàn)因素及其水平影響試驗(yàn)結(jié)果的因素很多，我們不可能把所有影響因素通過一次試驗(yàn)都予以研究，只能根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康暮徒?jīng)驗(yàn)，挑選幾個(gè)對試驗(yàn)指標(biāo)影響最大、有較大經(jīng)濟(jì)意義而又了解不夠清楚的因素來研究。同時(shí)還應(yīng)根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)，確定各因素適宜的水平，列出因素水平表。【例11·1】的因素水平表如表11-3所示。表11-3水稻栽培試驗(yàn)因素水平表水平因素品種(A)密度〔萬苗/666.7m2〕施氮量〔kg/666.7m2〕1二九矮(A1)15(B1)3(C1)2高二矮(A2)20(B2)5(C2)3窄葉青(A3)25(B3)8(C3)注意，在因素水平表中，以數(shù)量級別劃分水平的因素的各水平最好不要全按由小到大或全按由大到小排列，以免在試驗(yàn)方案中出現(xiàn)無實(shí)際意義的水平組合。(二)選用適宜的正交表確定了因素及其水平后，根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇適宜的正交表。選用正交表的原那么是：既要能安排下試驗(yàn)的全部因素〔包括需要考察的交互作用〕，又要使局部水平組合數(shù)〔處理數(shù)〕盡可能地少。一般情況下，試驗(yàn)因素的水平數(shù)應(yīng)等于正交表記號中括號內(nèi)的底數(shù)；因素的個(gè)數(shù)〔包括需要考察的交互作用〕，選用相同水平正交表時(shí)，應(yīng)不大于正交表記號中括號內(nèi)的指數(shù)，選用混合水平正交表時(shí)，應(yīng)不大于正交表記號中括號內(nèi)的指數(shù)之和；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選正交表的總自由度，以能估計(jì)試驗(yàn)誤差。假設(shè)各因素及交互作用的自由度之和等于所選正交表總自由度，可采用有重復(fù)正交試驗(yàn)來估計(jì)試驗(yàn)誤差。此例有3個(gè)3水平因素，假設(shè)不考察交互作用，那么各因素自由度之和為因素個(gè)數(shù)×(水平數(shù)─1)=3×(3-1)=6，小于L9(34)正交表的總自由度9-1=8，故可以選用L9(34)正交表來安排試驗(yàn)方案；假設(shè)要考察交互作用，那么應(yīng)選用L27(313)正交表來安排試驗(yàn)方案，此時(shí)所安排的試驗(yàn)方案實(shí)際上是全面試驗(yàn)方案。(三)表頭設(shè)計(jì)正交表選好后，就可以進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。所謂表頭設(shè)計(jì)，就是把試驗(yàn)因素和要考察的交互作用分別安排在正交表表頭的適當(dāng)列上。在不考察交互作用時(shí)，各因素可隨機(jī)安排在各列上；假設(shè)要考察交互作用，就應(yīng)按該正交表的交互作用列表安排各因素與交互作用。此例不考察交互作用，可將水稻品種(A)、密度(B)和施氮量(C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4列為空列，見表11-4。表11-4表頭設(shè)計(jì)列號1234因素ABC空(四)列出試驗(yàn)方案把正交表中安排因素的各列(不包含欲考察的交互作用列)中的每個(gè)數(shù)字依次換成該因素的實(shí)際水平，就得到一個(gè)正交試驗(yàn)方案。表11-5就是【例11·1】的正交試驗(yàn)方案。表11-5正交試驗(yàn)方案試驗(yàn)號因素ABC12311(二九矮)1(15)1(3)21(二九矮)2(20)2(5)31(二九矮)3(25)3(8)42(高二矮)1(15)2(5)52(高二矮)2(20)3(8)62(高二矮)3(25)1(3)73(窄葉青)1(15)3(8)83(窄葉青)2(20)1(3)93(窄葉青)3(25)2(5)根據(jù)表11-5，1號試驗(yàn)處理是A1B1C1，即品種二九矮、密度15萬苗/666.7m2、施氮量3kg/666.7m2；2號試驗(yàn)處理是A1B2C2，即品種二九矮、密度20萬苗/666.7m2、施氮量5kg/666.7m2；……；9號試驗(yàn)處理為A3B3C2第二節(jié)正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的方差分析假設(shè)各號試驗(yàn)處理都只有一個(gè)觀測值，那么稱為單個(gè)觀測值正交試驗(yàn)；假設(shè)各號試驗(yàn)處理都有兩個(gè)或兩個(gè)以上觀測值，那么稱為有重復(fù)觀測值正交試驗(yàn)。下面分別介紹單個(gè)觀測值和有重復(fù)觀測正交試驗(yàn)資料的方差分析。單個(gè)觀測值正交試驗(yàn)資料的方差分析【例11·2】對【例11·1】用L9(34)安排試驗(yàn)方案后，各號試驗(yàn)處理只進(jìn)行一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果列于表11-6，試對其進(jìn)行方差分析。(11-1)該次試驗(yàn)的9個(gè)觀測值總變異由A因素、B因素、C因素及誤差變異四局部組成，(11-1)SST=SSA+SSB+SSC+SSedfT=dfA+dfB+dfC+dfe用n表示試驗(yàn)處理號數(shù)目；a、b、c表示A、B、C因素的水平數(shù)；ka、kb、kc表示A、B、C因素各水平重復(fù)數(shù)。本例，n=9、a=b=c=3、ka=kb=kc=3。表11-6正交試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算表試驗(yàn)號因素產(chǎn)量(kg/666.7m2ABC(1)(2)(3)1111340.0()2122422.5()3133439.0()4212360.0()5223492.5()6231439.0()7313392.0()8321363.5()9332462.5()T11201.51092.01142.53711.0(T)T21291.51278.51245.0T31218.01340.51323.5400.50364.00380.83430.50426.17415.00406.00446.83441.17表340.0422.5439.01201.5360.0492.5439.01291.5T3=x7+x8+x9=392.0+363.5+462.5=1218.0340.0360.0392.01092.0422.5492.5363.51278.5439.0439.0462.51340.5。TT=x7+x8+x9=340.0422.5439.0+360.0492.5439.0+392.0+363.5+462.5=3711.0為各因素同一水平試驗(yàn)指標(biāo)的平均數(shù)，如A因素第1水平=1201.5/3=400.5A因素第2水平=1291.5/3=430.5A因素第3水平=1218.0/3=406.0同樣可求得B、C因素各水平試驗(yàn)指標(biāo)的平均數(shù)。1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度矯正數(shù)C=T2/n=3711.02/9=1530169.00總平方和SST=Σx2-C=〔340.02+422.52+…+462.52〕-1530169.00=21238.00A因素平方和SSA=ΣT2A/ka-C=(1201.52+1291.52+1218.02)/3-1530169.00=1530.50B因素平方和SSB=ΣT2B/kb-C=(1092.02+1278.52+1340.52)/3-1530169.00=11153.17C因素平方和SSC=ΣT2C/kc-C=(1142.52+1245.02+1323.52)/3-1530169.00=5492.17誤差平方和SSe=SST-SSA-SSB-SSC=21238.00-1530.5-11153.17-5492.17=3062.16總自由度dfT=n-1=9-1=8A因素自由度dfA=a-1=3-1=2B因素自由度dfB=b-1=3-1=2C因素自由度dfC=c-1=3-1=2誤差自由度dfe=dfT-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2=22、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表11-7方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05品種(A)1530.502765.25<119.00密度(B)11153.1725576.593.64施氮量(C)5492.1722746.091.79誤差3062.1621531.08總變異21238.008F檢驗(yàn)結(jié)果說明，3個(gè)因素對產(chǎn)量的影響都不顯著。究其原因可能是本例試驗(yàn)誤差大且誤差自由度小(僅為2)，檢驗(yàn)的靈敏度低，掩蓋了考察因素的顯著性。由于各因素對產(chǎn)量影響都不顯著，不必進(jìn)行各因素水平間的多重比擬。此時(shí)，可從表11-6中選擇平均數(shù)大的水平A2、B3、C3組合成最優(yōu)水平組合A2B3C3。所得到的最優(yōu)水平組合A2B3C3在試驗(yàn)方案中不存在，因此，應(yīng)將最優(yōu)水平組合A2B3C3與試驗(yàn)方案中產(chǎn)量最高第5水平組合A2B2假設(shè)F檢驗(yàn)結(jié)果3個(gè)因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響顯著或極顯著，進(jìn)行各因素水平間多重比擬常采用SSR法。本例是選用相同水平正交表L9(34)安排的試驗(yàn)，A、B、C因素各水平重復(fù)數(shù)相同，即ka=kb=kc=3，它們的均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤相同，即，均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算公式為：〔11-2〕假設(shè)選用混合水平正交表安排的試驗(yàn)，各因素水平的重復(fù)數(shù)不完全相同，它們的均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤須分別計(jì)算。【例11·3】水稻品種〔A〕、氮、磷、鉀比例〔B〕、施氮量〔C〕、有效苗數(shù)〔D〕4因素試驗(yàn)，水稻品種有4個(gè)水平，氮、磷、鉀比例、施氮量、有效苗數(shù)各有2個(gè)水平，用正交表L8〔4×24〕安排試驗(yàn)方案，A、B、C、D4因素依次安排在L8〔4×24〕的1、2、3、4列上。試驗(yàn)方案及結(jié)果見表11－8，對該資料進(jìn)行方差分析。本試驗(yàn)的觀測值〔產(chǎn)量kg/小區(qū)，小區(qū)面積333.3m2〕的總變異是由因素A、B、C、D及誤差變異5局部組成，進(jìn)行方差分析時(shí)總平方和與自由度的分解式〔11-3〕用表示試驗(yàn)處理號數(shù)目；用、、、分別表示A、B、C、D四個(gè)因素的水平數(shù)；、、、分別表示A、B、C、D四個(gè)因素各水平的重復(fù)次數(shù)。本例中，＝8，＝4，＝＝＝2，＝2，===4。表11-84因素〔水平數(shù)不等〕正交試驗(yàn)方案及結(jié)果計(jì)算表試驗(yàn)號因素產(chǎn)量(kg/小區(qū))ABCD(1)(2)(3)(4)11(珍珠矮)1(2:2:1)1(15)1(10)18.0(x1)21(珍珠矮)2(3:2:3)2(20)2(12)19.0(x2)32(科六8)1(2:2:1)1(15)2(12)20.9(x3)42(科六8)2(3:2:3)2(20)1(10)21.3(x4)53(窄葉青)1(2:2:1)2(20)1(10)20.0(x5)63(窄葉青)2(3:2:3)1(15)2(12)20.0(x6)74(原豐早)1(2:2:1)2(20)2(12)17.0(x7)84(原豐早)2(3:2:3)1(15)1(10)17.2(x8)T137.075.976.176.5153.4(T)T242.277.577.376.9T340.0T434.218.518.9819.0319.1321.119.3819.3319.2320.017.1表T【例11·1】，如A因素第1水平T1=x1+x2=18+19=37；A因素第2水平T2=x3+x4=20.9+21.3=42.2A因素第3水平T3=x5+x6=20+20=40；A因素第4水平T4=x7+x8=17+17.2=34.2B因素第1水平T1=x1+x3+x5+x7=18+20.9+20+17=75.9B因素第2水平T2=x2+x4+x6+x8=19+21.3+20+17.2=77.5。T=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=18+19+20.9+21.3+20+20+17+17.2=153.4為各因素同一水平試驗(yàn)指標(biāo)的平均數(shù)，如A因素第1水平=37/2=18.5；A因素第2水平=42.2/2=21.1A因素第3水平=40/2=20；A因素第4水平=34.2/2=17.1B因素第1水平=75.9/4=18.98；B因素第2水平=77.5/4=19.38同樣可求得C、D因素各水平試驗(yàn)指標(biāo)的平均數(shù)。1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度矯正數(shù)C=T2/n=153.42/8=2941.45總平方和SST=Σx2-C=〔182+192+…+17.22〕-2941.45=18.89A因素平方和SSA=ΣT2A/ka-C=(372+42.22+402+34.22)/2-2941.45=18.29B因素平方和SSB=ΣT2B/kb-C=(75.92+77.52)/4-2941.45=0.32C因素平方和SSC=ΣT2C/kc-C=(76.12+77.32)/4-2941.45=0.18D因素平方和SSD=ΣT2D/kd-C=(76.52+76.92)/4-2941.45=0.02誤差平方和SSe=SST-SSA-SSB-SSC-SSD=18.89-18.29-=0.08；總自由度dfT=n-1=8-1=7A因素自由度dfA=a-1=4-1=3B因素自由度dfB=b-1=2-1=1C因素自由度dfC=c-1=2-1=1D因素自由度dfD=d-1=2-1=1誤差自由度dfe=dfT-dfA-dfB-dfC-dfC=7-3-12、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表11-9方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05品種(A)18.2936.1076.25215.71氮、磷、鉀比例(B)0.3210.324.00161.45施氮量(C)0.1810.182.25有效苗數(shù)(D)0.0210.020.25誤差0.0810.08總變異18.897F檢驗(yàn)結(jié)果說明，4個(gè)因素對產(chǎn)量的影響都不顯著。究其原因可能是本例試驗(yàn)誤差大且誤差自由度太小(僅為1)，檢驗(yàn)的靈敏度低，掩蓋了考察因素的顯著性。由于各因素對產(chǎn)量影響都不顯著，不必進(jìn)行各因素水平間的多重比擬。此時(shí)，可從表11-8中選擇平均數(shù)大的水平A2、B2、C2、D2組合成最優(yōu)水平組合。所得到的最優(yōu)水平組合在試驗(yàn)方案中不存在，因此，應(yīng)將最優(yōu)水平組合與試驗(yàn)方案表中產(chǎn)量最高的水平組合，再做一次驗(yàn)證性試驗(yàn)。但在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，試驗(yàn)周期長，同時(shí)，又考慮到因素是次要因素，在試驗(yàn)中兩個(gè)水平對試驗(yàn)指標(biāo)的影響差異很小，故可以直接選為最優(yōu)水平組合。假設(shè)F檢驗(yàn)結(jié)果4個(gè)因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響顯著或極顯著，進(jìn)行各因素水平間多重比擬常采用SSR法。本例選用混合水平正交表L8(4×25)安排的試驗(yàn)，各因素水平的重復(fù)數(shù)不完全相同：ka=2，kb=kc=kd=4，它們的均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤須分別計(jì)算。均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算公式為：〔11-4〕上述單個(gè)觀測值正交試驗(yàn)資料的方差分析，其誤差是由“空列〞來估計(jì)的。然而“空列〞并不“空〞，實(shí)際上是被未考察的試驗(yàn)因素間的交互作用所占據(jù)。這種誤差既包含試驗(yàn)誤差，也包含試驗(yàn)因素間的交互作用，稱為模型誤差。如果試驗(yàn)因素間的交互作用不存在，用模型誤差估計(jì)試驗(yàn)誤差是可行的；如果試驗(yàn)因素間存在交互作用，那么模型誤差會(huì)夸大試驗(yàn)誤差，有可能掩蓋考察因素的顯著性。這時(shí)，試驗(yàn)誤差應(yīng)通過重復(fù)試驗(yàn)值來估計(jì)。所以，進(jìn)行正交試驗(yàn)最好能有二次以上的重復(fù)。正交試驗(yàn)的重復(fù)，可采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)或隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)。二、有重復(fù)觀測值正交試驗(yàn)資料的方差分析【例11·4】為了探討花生銹病藥劑防治效果的好壞，進(jìn)行了藥劑種類〔A〕、濃度〔B〕、劑量〔C〕3因素試驗(yàn)，各有3個(gè)水平，選用正交表L9(34)安排試驗(yàn)。試驗(yàn)重復(fù)2次，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)。正交試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果(產(chǎn)量kg/小區(qū)，小區(qū)面積133.3m2)見表11—10，對試驗(yàn)結(jié)果用n表示試驗(yàn)處理號數(shù)目，r表示試驗(yàn)處理的重復(fù)數(shù)〔區(qū)組數(shù)〕。a、b、c、ka、kb、kc的意義同上。此例n=9、r=2、a=b=c=3、ka=kb=dc=3。表11-10防治花生銹病藥劑種類、濃度、劑量正交試驗(yàn)方案及結(jié)果計(jì)算表試驗(yàn)號因素產(chǎn)量(kg/小區(qū))TtABC區(qū)組I區(qū)組II(1)(2)(3)11〔百菌清〕1〔高〕1〔80〕28.028.556.528.2521〔百菌清〕2〔中〕2〔100〕35.034.869.834.9031〔百菌清〕3〔低〕3〔120〕32.232.564.732.3542〔敵銹靈〕1〔高〕2〔100〕33.033.266.233.1052〔敵銹靈〕2〔中〕3〔120〕27.427.054.427.2062〔敵銹靈〕3〔低〕1〔80〕31.832.063.831.9073〔濃爾多〕1〔高〕3〔120〕34.234.568.734.3583〔濃爾多〕2〔中〕1〔80〕22.523.045.522.7593〔濃爾多〕3〔低〕2〔100〕29.430.059.429.70T1191.0191.4165.8273.5275.5549.0T2184.4169.7195.4T3173.6187.9187.831.8331.9027.6330.7328.2832.5728.9331.3231.30對于有重復(fù)、且重復(fù)采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的正交試驗(yàn)，總變異可以劃分為處理間、區(qū)組間和誤差變異3局部，而處理間變異可進(jìn)一步劃分為A因素、B因素、C因素與模型誤差變異4局部。此時(shí)，總平方和與自由度可分解為：SST=SSt+SSr+SSe2dfT=dft+dfr+dfe2而SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1dft=dfA+dfB+dfC+dfe1于是SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2(12-5)dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2其中：SSr為區(qū)組間平方和；SSe1為模型誤差平方和；SSe2為試驗(yàn)誤差平方和；SSt為處理間平方和；dfr、dfe1、dfe2、dft為相應(yīng)自由度。注意，對于重復(fù)采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的正交試驗(yàn)，在平方和與自由度分解式中無區(qū)組間平方和與自由度SSr、dfr項(xiàng)。1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度矯正數(shù)C=T2/rn=549.02/〔2×9〕=16744.50總平方和SST=Σx2-C=28.02+35.02+…+30.02-16744.50=246.62區(qū)組間平方和SSr=ΣT2r/n-C=(273.52+275.52)/9-16744.50=0.22處理間平方和SSt=ΣT2t/r-C=(56.52+69.82+…+59.42)/2-16744.50=245.96A因素平方和SSA=ΣT2A/kar-C=(191.02+184.42+173.62)/(3×2)-16744.50=25.B因素平方和SSB=ΣT2B/kbr-C=(191.42+169.72+187.92)/(3×2)-16744.50=45.24C因素平方和SSC=ΣT2C/kcr-C=(165.82+195.42+187.82)/(3×2)-16744.50=78.模型誤差平方和SSe1試驗(yàn)誤差平方和SSe2總自由度dfT=rn-1=2×9-1=17區(qū)組自由度dfr=r-1=2-1=1處理自由度dft=n-1=9-1=8A因素自由度dfA=a-1=3-1=2B因素自由度dfB=b-1=3-1=2C因素自由度dfC=c-1=3-1=2模型誤差自由度dfe1=dft-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2-2=2試驗(yàn)誤差自由度dfe2=dfT-dft=17-1-8=82、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表11-11有重復(fù)觀測值正交試驗(yàn)資料方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05F0.01A25.72212.86214.33**4.107.55B45.24222.62377.00**C78.77239.39656.50**區(qū)組0.2210.223.674.96模型誤差(e1)248.12802.00**試驗(yàn)誤差(e2)80.06總的246.6217首模型誤差均方試驗(yàn)誤差均方模型誤差、試驗(yàn)誤差的試驗(yàn)誤差均方**模型誤差均方試驗(yàn)誤差均方試驗(yàn)誤差均方藥劑種類〔A〕、濃度〔B〕、劑量〔C〕3因素花生產(chǎn)量3、多重比擬有重復(fù)觀測值正交試驗(yàn)資料多重比擬分兩種情況：(1)假設(shè)模型誤差顯著，存在，各因素所在列有可能出現(xiàn)已不能真正反映多重比擬無多大實(shí)際意義，但應(yīng)多重比擬，以尋求最正確最優(yōu)水平組合。多重比擬時(shí)選用試驗(yàn)誤差均方模型誤差顯著，還應(yīng)進(jìn)一步試驗(yàn)，以分析因素間的交互作用。(2)假設(shè)模型誤差不顯著，顯著，各因素所在列有可能未出現(xiàn)能真正反映多重比擬有實(shí)際意義，并從多重比擬中選出多重比擬時(shí)，用SSe1+SSe2〕/〔dfe1+dfe2〕此時(shí)可不多重比擬。本例模型誤差極顯著，存在多重比擬，應(yīng)多重比擬，以尋求最正確最優(yōu)水平組合。為了讓讀者了解多重比擬的方法，下面仍對多重比擬?！?〕A、B、C因素各水平平均數(shù)的多重比擬表11-12A因素各水平平均數(shù)的多重比擬表(A因素平均數(shù)-28.93-30.73A131.832.90**1.10*A230.731.80**A328.93表11-13B因素各水平平均數(shù)的多重比擬表(SSR法)B因素平均數(shù)-28.28-31.32B131.903.62**0.58**B331.323.04**B228.28表11-14C因素各水平平均數(shù)的多重比擬表(C因素平均數(shù)-27.63-31.30C232.574.94**1.27**C331.303.67**C127.63因?yàn)橛蒬fe=8和k=2,3,查得SSR值并計(jì)算出LSR值列于表11-15。表11-15SSR值與LSR值表dfekSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.011023.264.740.330.4733.395.000.340.50多重比擬結(jié)果說明：A因素各水平平均產(chǎn)量間、B因素各水平平均產(chǎn)量間、C因素各水平平均產(chǎn)量間差異顯著或極顯著。各因素的最優(yōu)水平為A1、B1、C2。注意，本例模型誤差顯著，試驗(yàn)存在從多重比擬中選出〔2〕各平均數(shù)多重比擬表11-16各平均數(shù)多重比擬表(LSD法)試驗(yàn)號平均數(shù)-22.75-27.20-28.25-29.70-31.90-32.35-33.10-34.35234.9012.15**7.70**6.65**5.20**3.00**2.55**1.80**0.55734.3511.60**7.15**6.10**4.65**2.45**2.00**1.25**433.1010.35**5.90**4.85**3.40**1.20**0.75*332.359.60**5.15**4.10**2.65**0.45631.909.15**4.70**3.65**2.20**929.706.95**2.50**1.45**128.255.50**1.05**527.204.45**822.75因?yàn)橛蒬fe=8,查得t0.05(8)=2.306，t0.01(8)=3.355，計(jì)算出LSD值為：LSD0.05=t0.05(8)×=2.306×0.245=0.565，LSD0.01=t0.01(8)×=3.355×0.245=0.822各平均數(shù)多重比擬結(jié)果見表11-16，除第2號試驗(yàn)與第7號試驗(yàn)、第3號試驗(yàn)與第6號試驗(yàn)平均產(chǎn)量差異不顯著外，其余各平均產(chǎn)量間差異極顯著或顯著，最優(yōu)水平組合為第2號試驗(yàn)A1B2C2〔或第7號試驗(yàn)A3B1C3本例模型誤差顯著，存在，應(yīng)以多重比擬尋求的最優(yōu)水平組合，即第2號試驗(yàn)處理A1B2C2〔或第7號試驗(yàn)A3B1C3〕為該試驗(yàn)的第三節(jié)因素間有交互作用的正交設(shè)計(jì)與分析對于既考察因素主效應(yīng)又考察因素間交互作用的正交設(shè)計(jì)，除表頭設(shè)計(jì)和結(jié)果分析與前面介紹略有不同外，其它根本相同?！纠?1·5】某一抗菌素發(fā)酵培養(yǎng)基由A、B、C3種成分組成，各有2個(gè)水平，除考察A、B、C3個(gè)因素的主效外，還考察A與B、B與C的交互作用。試安排一個(gè)正交試驗(yàn)方案并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。(一)選用正交表，作表頭設(shè)計(jì)由于本試驗(yàn)有3個(gè)兩水平的因素和2個(gè)交互作用需要考察，各項(xiàng)自由度之和為：3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5，因此可選用正交表L8(27)來安排試驗(yàn)方案。正交表L8(27)中有根本列和交互列之分，根本列就是各因素所占的列，交互列為兩因素交互作用所占的列。利用L8(27)二列間交互作用列表(見表11-17)來安排各因素和交互作用。表11-17L8(2列號12345671(1)3254762(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)1如果將A因素放在第1列，B因素放在第2列，查表11-17，第1列〔A因素所在列〕與第2列〔B因素所在列〕的交互作用列是第3列，于是將A與B的交互作用A×B放在第3列。這樣第3列不能再安排其它因素，以免出現(xiàn)交互作用“混雜〞。然后將C放在第4列。查表11-17，第2列〔B因素所在列〕與第4列〔C因素所在列〕的交互作用列是第6列，于是將B與C的交互作用B×C放在第6列，余以下為空列，如此可得表頭設(shè)計(jì)，見表11-18。表11-18表頭設(shè)計(jì)列號1234567因素ABA×BC空B×C空(二)列出試驗(yàn)方案根據(jù)表頭設(shè)計(jì)，將A、B、C各列對應(yīng)的數(shù)字“1”、“2”換成各因素的具體水平，得出試驗(yàn)方案列于表11-表11-19試驗(yàn)方案表試驗(yàn)號因素1(A)2(B)3(C)11(A1)1(B1)1(C1)21(A1)1(B1)2(C2)31(A1)2(B2)1(C1)41(A1)2(B2)2(C2)52(A2)1(B1)1(C1)62(A2)1(B1)2(C2)72(A2)2(B2)1(C1)82(A2)2(B2)2(C2)(三)結(jié)果分析按表11-19所列的試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果見表11-20。表中Ti、、T計(jì)算方法同前。此例為單個(gè)觀測值正交試驗(yàn)，總變異劃分為A因素、B因素、C因素、A×B、B×C與誤差變異5局部，平方和與自由度分解式為：SST=SSA+SSB+SSC+SSA×B+SSB×C+SSedfT=dfA+dfB+dfC+dfA×B+dfB×C+dfe(12-8)1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度矯正數(shù)C=T2/n=6652/8=55278.1250總平方和SST=Σx2-C=552+382+…+612-55278.1250=6742.8750A因素平方和SSA=ΣT2A/ka-C=(2792+3862B因素平方和SSB=ΣT2B/kb-C=(3392+3262)/4-55278.1250=21.1250C因素平方和SSC=ΣT2C/kc-C=(3532+3122A×B平方和SSA×B=ΣT2A×B/ka×b-C=(2332+4322〔ka×b為交互作用A×B所在列各數(shù)字的重復(fù)數(shù)〕B×C平方和SSB×C=ΣT2B×C/kb×c-C=(3272+3382)/4-55278.1250=15.1250〔kb×c為交互作用B×C所在列各數(shù)字的重復(fù)數(shù)〕誤差平方和SSe=SST-SSA-SSB-SSC-SSA×B-SSB×C=115.2500總自由度dfT=n-1=8-1=7各因素自由度dfA=dfB=dfC=2-1=1交互作用自由度dfA×B=dfB×C=(2-1)×(2-1)=1誤差自由度dfe=dfT-dfA—dfB-dfC-dfA×B-dfB×C=7-1-1-1-1-1=2表11-20有交互作用正交試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算表試驗(yàn)號因素試驗(yàn)結(jié)果(%)*ABA×BCB×C11111155(x1)21112238(x2)31221297(x3)41222189(x4)521211122(x5)621222124(x6)72211279(x7)82212161(x8)T1279339233353327665(T)T238632643231233869.7584.7588.2596.5081.5078.00*試驗(yàn)結(jié)果以對照為100計(jì)。2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)表11-21方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05F0.01A1431.125011431.125024.84*18.5198.49B21.1250121.1250<1C210.12501210.12503.65A×B4950.125014950.125085.90*B×C15.1250112.1250<1誤差115.2500257.6250總變異6742.87507F檢驗(yàn)結(jié)果說明：A因素和交互作用A×B顯著，B、C因素及交互作用B×C不顯著。因交互作用A×B顯著，應(yīng)對A與B的水平組合進(jìn)行多重比擬，以選出A與B的最優(yōu)水平組合。3、A與B各水平組合的多重比擬先計(jì)算出A與B各水平組合的平均數(shù)：A1B1水平組合的平均數(shù)=(55+38)/2=46.50A1B2水平組合的平均數(shù)=(97+89)/2=93.00A2B1水平組合的平均數(shù)=(122+124)/2=123.00A2B2水平組合的平均數(shù)=(79+61)/2=70.00列出A、B因素各水平組合平均數(shù)多重比擬表，見表11-22。表11-22A、B因素各水平組合平均數(shù)的多重比擬表(SSR法水平組合平均數(shù)-46.5-70-93A2B1123.0076.5**(**)53*(**)30(**)A1B293.0046.5*(**)23(*)A2B270.0023.5(*)A1B146.50注：括號內(nèi)為合并誤差的多重比擬表結(jié)果。因?yàn)?，，由dfe=2與k=2,3,4,查臨界SSR值，并計(jì)算出LSR值列于表11-23。表12-23SSR值與LSR值表dfekSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.01226.0914.032.7075.1836.0914.032.7075.1846.0914.032.7075.18多重比擬結(jié)果說明，A2B1極顯著高于A1B1，顯著高于A2B2；A1B2顯著高于A1B1，其余差異不顯著。最優(yōu)水平組合為