湖南省長沙市四校2022-2023學年高二年級上冊學期期中聯(lián)考數(shù)學試題B卷

長沙市四校聯(lián)考2022-2023學年度第一學期期中（B）高二數(shù)學本試卷為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，時間120分鐘注意事項：1.答卷前，請考生務必把自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.作答時，務必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效。3.結(jié)束后，將答題卡交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若數(shù)列，，，，是等比數(shù)列，則的值是（

）A．12 B． C． D．2．已知方程表示橢圓，則的取值范圍為（

）A．且 B．且C． D．3．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列，滿足，，其中是等差數(shù)列，且，則（

）A．2022 B．－2022 C． D．10115．橢圓的左、右焦點分別為、，動點A在橢圓上，B為橢圓的上頂點，則周長的最大值為（

）A．8 B．10 C．12 D．166．已知圓，直線，若上存在點，過作圓的兩條切線，切點分別為，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點M在正方體表面上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．08．設(shè)是數(shù)列的前項和，，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是（

）A． B． C．(為常數(shù)) D．10．已知橢圓分別為它的左?右焦點，為橢圓的左?右頂點，點是橢圓上異于的一個動點，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．的周長為15 B．若，則的面積為9C．為定值 D．直線與直線斜率的乘積為定值11．已知直線與圓相交于，兩點，則（

）A．的面積為定值 B．C．圓上總存在3個點到直線的距離為2 D．線段中點的軌跡方程是12．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項之和為Sn滿足S10﹣S5＝20，那么a8＝14．已知數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列_____________．15．已知圓關(guān)于直線對稱，為圓C上一點，則的最大值為__________．16．己知橢圓的右焦點和上頂點B，若斜率為的直線l交橢圓C于P，O兩點，且滿足，則橢圓的離心率為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知直線(1)求證：直線l過定點，并求出此定點;(2)求點到直線l的距離的最大值.18．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a8=4，a13=14.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求Sn的最小值及相應的n的值；（3）在公比為q的等比數(shù)列{bn}中，b2=a8，b1+b2+b3=a13，求.19．已知正項數(shù)列滿足且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項的和．20．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，平面，E為的中點．.(1)若點M在線段上，試確定點M的位置使得直線平面．并證明；(2)若，求平面與平面所成角的余弦值．21．記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，bn＝an＋1－Sn，且{bn}是以－1為公差的等差數(shù)列，a1＝2，a2＝3．(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和．22．如圖，橢圓的右焦點為，過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A?B兩點，P為線段的中點.(1)求點P的軌跡H的方程；(2)在Q的方程中，令，確定的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設(shè)l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形的面積最大？答案：1．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到，結(jié)合得到答案.【詳解】數(shù)列，，，，是等比數(shù)列，則，故，，故.故選：C2．B【分析】根據(jù)橢圓的標準方程可得，即得.【詳解】因為方程表示橢圓，所以，解得且.故選：B.3．B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列的前n項和的公式計算即可.【詳解】由題意可得：，則，故.故選：B.4．B【分析】根據(jù)條件，可以推出.然后，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得結(jié)果；也可以直接根據(jù)前n項和公式求和.【詳解】解法1：由已知，得，則，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有，所以，有解法2：由已知，得，則，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有，所以，.故選：B.5．C【分析】轉(zhuǎn)化周長為，結(jié)合，即得解.【詳解】由題意，橢圓，其中，，由于點B為橢圓的上頂點，故，周長為，其中，當且僅當點在線段延長線上時取得等號，，即，故周長最大值為12.故選：C6．D【分析】由圓的性質(zhì)可確定，且當為圓心到直線的距離時，取得最大值，由此可構(gòu)造不等式解得的范圍.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，，，，，，，當取得最小值，即為圓心到直線的距離時，取得最大值，存在點使得，則此時，則，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.7．B【分析】本題通過基底法，得到，再通過立體圖得到的值，以及的最小值，最終代入數(shù)據(jù)得到最小值.【詳解】如圖為棱長為8的正方體外接球的一條直徑,為球心，為正方體表面上的任一點則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任一點的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑,它等于棱長的一半，即長度為4，,的長為正方體的對角線長，為，我們將三角形單獨抽取出來如下圖所示：所以的最小值為.故選：B.將空間向量知識與正方體結(jié)合考察最值問題，難度較大，需要一定空間想象能力以及向量基底法的熟練運用，平時要多加訓練.8．D【分析】利用，得到，，變形后得到是等差數(shù)列，首項為6，公差為4，從而求出，故代入整理得，利用作差法得到單調(diào)遞減，最小值為，列出不等式求出答案.【詳解】當時，，解得：，當時，，整理得，方程兩邊同除以，得，又，故是等差數(shù)列，首項為6，公差為4，所以，故，經(jīng)驗證，滿足要求，所以為，故，對任意恒成立，，當時，，故，單調(diào)遞減，當時，取得最大值，故，解得：，則的最小值為.故選：D9．BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐一進行檢驗即可求解.【詳解】對于選項A，數(shù)列是等差數(shù)列，取絕對值后不是等差數(shù)列，故選項A不符合題意；對于選項B，若為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知：數(shù)列為常數(shù)列，故為等差數(shù)列，故選項B符合題意；對于選項C，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為常數(shù)列，故為等差數(shù)列，故選項C符合題意；對于選項D，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為常數(shù)，故為等差數(shù)列，故選項D符合題意，故選：BCD.10．BCD【分析】對于A，結(jié)合橢圓的定義和性質(zhì)，即可求解，對于B，結(jié)合橢圓的定義和條件可求得，即可求得面積，對于C，利用向量的坐標運算可化簡，根據(jù)其結(jié)果即可判斷；對于D，結(jié)合直線的斜率公式，以及點在橢圓上進行化簡，即可判斷．【詳解】對于A，∵橢圓C,

∴，,,∴的周長為,故A錯誤，對于B，∵，，∵，故，∴，∴的面積為，故B正確；對于C,由題意知,設(shè)，則為定值，故C正確；對于D，設(shè)（），則，∴，∵在橢圓上，則，即，∴。聯(lián)立可得，故D正確故選：．11．ABD【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，求出圓心到直線的距離為定值1，可判斷AD，再由圓的幾何性質(zhì)知，由二倍角公式可判斷B，根據(jù)點到直線的距離及與2的大小比較可判斷D.【詳解】對A，點O到直線的距離，為定值，所以為定值，所以為定值，故正確；對B，由A知，，所以，故正確；對C，因為圓的半徑，圓心到直線的距離，所以，故圓上到直線的距離為2的點只有2個，故錯誤；對D，設(shè)線段中點，由圓的幾何性質(zhì)知，所以點的軌跡方程為，即，故正確.故選：ABD12．BCD【分析】利用累加法，分別求出，進而分別利用裂項求和法、放縮法，逐個選項進行判斷即可得到答案.【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，則有，利用累加法，得，得到；n=1成立正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，則有，利用累加法，得，得到,n=1成立對于A，，利用裂項求和法：，故A錯誤；對于B，令，解得；令，解得；故B正確；對于C，，則，整理得，，故C正確；對于D，取，且，則令，則有，故，總存在，使得成立，故D正確；故選：BCD13．4【分析】根據(jù)數(shù)列前n項和的定義S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求．【詳解】根據(jù)數(shù)列前n項和的定義得出：S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即為5a8＝20，a8＝4故答案為4．本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)可得，再利用累乘法即可求解.【詳解】由題意可得，所以，所以，所以，又因為，所以，故15．20【分析】由圓關(guān)于直線對稱列方程求，由此確定圓的圓心坐標和半徑，設(shè)，由直線與圓有公共點，列不等式求的范圍及最大值.【詳解】方程可化為，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓關(guān)于直線對稱，所以，所以，令，則，所以，所以，所以的最大值為20，故20.16．##【分析】先由得到F為的重心，再利用點差法求得之間的關(guān)系，進而求得橢圓的離心率【詳解】設(shè)，線段PQ的中點為，由，知F為的重心，故，即，解得，又M為線段PQ的中點，則，又P、Q為橢圓C上兩點，則，兩式相減得，所以，化簡得，則解得或（故舍去）則，則離心率.故17．(1)證明見解析，定點(2)【分析】（1）整理方程，分離出參數(shù)，建立方程組，解得答案；（2）由（1）可知直線過定點，兩點距離公式，可得答案.【詳解】（1）由直線，則，可得，解得，故直線l過定點.（2）由（1）可知直線過定點，18．（1）an=2n﹣12；（2）最小值為﹣30，此時相應的n=5或6；（3）答案見解析.（1）利用等差數(shù)列的通項公式，通過解方程組進行求解即可；（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合配方法進行求解即可；（3）利用等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式進行求解即可.【詳解】解：（1）∵a8=4，a13=14.∴，則數(shù)列{an}的通項公式an=﹣10+2(n﹣1)=2n﹣12.（2），∴當n=5或6時，Sn取得最小值，最小值為﹣30，此時相應的n=5或6；（3）∵b2=a8=4，b1+b2+b3=a13=14，∴b1+b3=14﹣4=10，設(shè)公比為q，則2q2﹣5q+2=0，解得q=2或q=.若q=2，則，若q=，則.本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.19．(1).(2).【分析】（1）將化簡可得，由此可求得答案；（2）由（1）可得的通項公式，采用分組求和的方法，結(jié)合等差等比數(shù)列的前n項和公式求得答案.【詳解】（1）由題意得：,∵，∴，即為常數(shù)，∴數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴．（2）由（1）得,∴.20．(1)為的中點，證明見解析；(2)【分析】（1）利用中位線定理及矩形的性質(zhì)證得且，由此證得，再利用線面平行的判定定理即可證得平面；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，先求得平面與平面的法向量，再利用空間向量的數(shù)量積的坐標表示求得平面與平面所成角的余弦值.【詳解】（1）為的中點，證明如下：記為的中點，連接，如圖，因為為的中點，所以且，又因為四邊形是矩形，所以且，故且，又因為E為的中點，所以且，故四邊形是平行四邊形，故，又面，面，所以平面．.（2）在平面內(nèi)過作軸垂直于，因為平面，則，軸，故以為坐標原點，以為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，因為，則，故，所以，則，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，所以，因為平面，所以為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為..21．(1)(2)【分析】（1）求出，得到，利用得到的特征，求出通項；（2）由，采用分組求和，分別求數(shù)列和的前n項和.（1）由，當時，，∴是以1為首項，－1為公差的等差數(shù)列，，∴，當時，有，兩式相減，得，即，，，滿足，∴是1為首項2為公比的等比數(shù)列，∴，，∴的通項公式為.（2），設(shè)，，數(shù)列的前n項和為，，則，兩式相減，得，令，則，兩式相減，，，，.數(shù)列的前n項和為，則，，所以數(shù)列的前n項和為.1.等差等比數(shù)列關(guān)鍵要尋找首項和公差公比，就可計算數(shù)列通項及前n項和；2.的類型，要使用公式；3.數(shù)列求和，要使用錯位相減、裂項相消、分組求和等求和方法；4.由遞推公式求通項公式，構(gòu)造新數(shù)列是常用方法.22．(1)；(2)當直線繞點轉(zhuǎn)動到垂直軸的位置時，面積最大．【分析】（1）設(shè)，設(shè)，兩點坐標代入橢圓方程相減，利用可得軌跡方程，說明直線與軸垂直時也適用即可；（2）右準線方程，原點到右準線的距離是，代入已知式，由三角函圖象變換化為函數(shù)，由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值，求出，設(shè)橢圓上的點，的面積為，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程應用韋達定理得，代入面積表達式，利用基本不等式求得最大值．【詳解】（1）設(shè)，設(shè)，在橢圓上，則，當不垂直于軸時，，①－②得，，所以，整理得（*）．當直線與軸垂直時，點即為點，滿足方程（*）,故所求點的軌跡的方程為：；（2）橢圓的右準線的方程是，原點距右準線的距離為，由于，，，則，時，上式達到最大值，所以時，原點距離右準線最遠，此時，，，，，