貴州省百所學(xué)校2023年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)_第1頁(yè)
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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.2.已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A. B. C. D.3.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.4.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.5.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.6.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.7.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時(shí),f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)9.執(zhí)行下面的程序框圖,若輸出的的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是()A. B. C. D.10.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.11.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且對(duì)于任意,滿足,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人,分為甲、乙兩個(gè)小組,在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示,若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81,乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73,則x-y的值為_(kāi)_______.14.在平面直角坐標(biāo)系中,圓.已知過(guò)原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線和,其中與圓相交于,兩點(diǎn),與圓相切于點(diǎn).若,則直線的斜率為_(kāi)____________.15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),,的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為,則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.16.已知函數(shù),若在定義域內(nèi)恒有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;(2)已知點(diǎn)M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn),求的值.18.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說(shuō)明理由.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)是直線的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,求的最小值.20.(12分)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的滿足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是,前n項(xiàng)和為,求證:對(duì)于任意的正數(shù)n,總有.21.(12分)為貫徹十九大報(bào)告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長(zhǎng)的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求,某生物小組通過(guò)抽樣檢測(cè)植物高度的方法來(lái)監(jiān)測(cè)培育的某種植物的生長(zhǎng)情況.現(xiàn)分別從、、三塊試驗(yàn)田中各隨機(jī)抽取株植物測(cè)量高度,數(shù)據(jù)如下表(單位:厘米):組組組假設(shè)所有植株的生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.從、、三組各隨機(jī)選株,組選出的植株記為甲,組選出的植株記為乙,組選出的植株記為丙.(1)求丙的高度小于厘米的概率;(2)求甲的高度大于乙的高度的概率;(3)表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為.從、、三塊試驗(yàn)田中分別再隨機(jī)抽取株該種植物,它們的高度依次是、、(單位:厘米).這個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,試比較和的大?。ńY(jié)論不要求證明)22.(10分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值;(2)記關(guān)于的方程的兩根分別為,求證:.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【答案解析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性得解.【題目詳解】,

將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,故選D.【答案點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一,經(jīng)??疾槎x域、值域、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問(wèn)題中進(jìn)行體現(xiàn),在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與落實(shí).三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵,在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質(zhì)求解.2.B【答案解析】

計(jì)算求半徑為,再計(jì)算球體積和圓錐體積,計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖所示:設(shè)球半徑為,則,解得.故求體積為:,圓錐的體積:,故.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了圓錐,球體積,圓錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.3.B【答案解析】

設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時(shí),取得最小值,由此求得答案.【題目詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過(guò)作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,

,

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取“=”號(hào),∴的最小值為.

故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.4.A【答案解析】

由,可得以及,而,代入即可得到答案.【題目詳解】設(shè)公差為d,則解得,所以.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,是一道基礎(chǔ)題.5.B【答案解析】

設(shè),根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個(gè)未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標(biāo).【題目詳解】設(shè),且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解,涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.6.C【答案解析】

不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【題目詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7.D【答案解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為,故選D.8.B【答案解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【題目詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時(shí)的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項(xiàng)A,,所以,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,因?yàn)椋?,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項(xiàng)B正確;選項(xiàng)C,,所以,即,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.9.B【答案解析】

根據(jù)程序框圖,逐步執(zhí)行,直到的值為63,結(jié)束循環(huán),即可得出判斷條件.【題目詳解】執(zhí)行框圖如下:初始值:,第一步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第二步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第三步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第四步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第五步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第六步:,此時(shí)要輸出,結(jié)束循環(huán);故,判斷條件為.故選B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖,只需逐步執(zhí)行框圖,結(jié)合輸出結(jié)果,即可確定判斷條件,屬于??碱}型.10.B【答案解析】

基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【題目詳解】在不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【答案點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.11.C【答案解析】

先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【題目詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.12.D【答案解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項(xiàng)的正誤即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念,求出x、y的值.【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),得:甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為,解得;又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73,則;.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù),考查數(shù)據(jù)分析能力,屬于簡(jiǎn)單題.14.【答案解析】

設(shè):,:,利用點(diǎn)到直線的距離,列出式子,求出的值即可.【題目詳解】解:由圓,可知圓心,半徑為.設(shè)直線:,則:,圓心到直線的距離為,,.圓心到直線的距離為半徑,即,并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用,可列式得到,解得.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用,并結(jié)合圓的方程,垂徑定理的基本知識(shí),屬于中檔題.15.2【答案解析】

由題意畫(huà)出圖形,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,圓分別切于,可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺(tái)雙曲線的定義,求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo),結(jié)合已知列式,即可求得雙曲線的離心率.【題目詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,圓分別切于,連接,則,故四邊形為正方形,邊長(zhǎng)為圓的半徑,由,,得,與重合,,,即——①,——②聯(lián)立①②解得:,又因圓心的縱坐標(biāo)為,.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.16.【答案解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,湊而可知的圖象在過(guò)原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間;利用過(guò)一點(diǎn)的曲線切線的求法可求得兩切線斜率,結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知:,恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立,即恒成立,,即是夾在函數(shù)與的圖象之間,的圖象在過(guò)原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn),則切線斜率,解得:;設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn),則切線斜率,解得:;當(dāng)時(shí),,又,滿足題意;綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案點(diǎn)睛】本題考查恒成立問(wèn)題的求解,重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過(guò)一點(diǎn)的曲線切線的求解方法;關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問(wèn)題;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分母不為零的限制,忽略對(duì)于臨界值能否取得的討論.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)l:,C方程為;(2)=【答案解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【題目詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)),所以,,所以=.【答案點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.18.(1);(2)不存在.【答案解析】

(1)由已知,利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求,利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為,由不等式的傳遞性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值為,而,故不存在.【題目詳解】(1)由,得,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).故,且當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為;(2)由(1)知,.由于,從而不存在,使得成立.【考點(diǎn)定位】基本不等式.19.(1),;(2)見(jiàn)解析【答案解析】

(1)消去t,得直線的普通方程,利用極坐標(biāo)與普通方程互化公式得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)判斷與圓相離,連接,在中,,即可求解【題目詳解】(1)將的參數(shù)方程(為參數(shù))消去參數(shù),得.因?yàn)?,,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)知曲線是以為圓心,3為半徑的圓,設(shè)圓心為,則圓心到直線的距離,所以與圓相離,且.連接,在中,,所以,,即的最小值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標(biāo)與普通方程互化,直線與圓的位置關(guān)系,是中檔題20.(1)(2)證明見(jiàn)解析【答案解析】

(1)根據(jù)公式得到,計(jì)算得到答案.(2),根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到,得到證明.【題目詳解】(1)由已知得時(shí),,故.故數(shù)列為等比數(shù)列,且公比.又當(dāng)時(shí),,..(2)..【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和證明數(shù)列不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.21.(1);(2);(3).【答案解析】

設(shè)事件為“甲是組的第株植物”,事件為“乙是組的第株植物”,事件為“丙是組的第株植物”,、、、,可得出.(1)設(shè)事件為“丙的高度小于厘米”,可得,且、互斥,利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果;(

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