2020高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 11 柱體、錐體、臺體的表面積與體積（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積［基礎(chǔ)鞏固］（25分鐘，60分）選擇題(每小題5分，共25分)1．如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為eq\r（3)，則該圓錐的表面積為()A．πB．2πC．3πD．4π解析：設(shè)圓錐的母線長為l，則l＝eq\r（12＋\r(3)2)＝2，所以圓錐的表面積為S＝π×1×（1＋2）＝3π.答案:C2．若棱臺的上、下底面面積分別為4,16，高為3,則該棱臺的體積為（）A．26B．28C．30D．32解析：所求棱臺的體積V＝eq\f（1，3）×（4＋16＋eq\r（4×16)）×3＝28.答案：B3．若圓柱的底面半徑為1,其側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的側(cè)面積是(）A．4π2B．3π2C．2π2D．π2解析:依題意，圓柱的母線長l＝2πr,故S側(cè)＝2πrl＝4π2r2＝4π2。答案：A4．正方體ABCD－A1B1C1D1中,以頂點A、C、B1、D1為頂點的正三棱錐的全面積為4eq\r（3）,則該正方體的棱長為(）A.eq\r(2）B．2C．4D．2eq\r(2）解析：設(shè)正方體棱長為a,側(cè)面的對角線長為eq\r（2)a，所以正三棱錐A－CB1D1的棱長為eq\r(2）a，其表面積為4×eq\f（\r(3），4)×（eq\r（2）a)2＝4eq\r（3),可得a2＝2，即a＝eq\r（2).答案：A5．在△ABC中，AB＝2，BC＝eq\f(3,2）,∠ABC＝120°，將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積是()A。eq\f(9,2)πB。eq\f(7，2）πC.eq\f（5，2）πD.eq\f（3,2）π解析：如圖，△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是以△ACD為軸截面的圓錐中挖去一個以△ABD為軸截面的圓錐后剩余的部分．因為AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°,所以AE＝ABsin60°＝eq\r(3)，BE＝AB·cos60°＝1，CE＝eq\f(5,2）。V1＝eq\f(1,3)π·AE2·CE＝eq\f(5π，2），V2＝eq\f(1，3)π·AE2·BE＝π，所以V＝V1－V2＝eq\f(3，2）π.故選D。答案:D二、填空題(每小題5分，共15分）6．[2019·重慶市巴南區(qū)校級月考]已知圓錐的底面半徑為2cm，高為1cm，則圓錐的側(cè)面面積是________cm2.解析：根據(jù)圓錐的側(cè)面面積公式可得S側(cè)＝π×2×eq\r(22＋12)＝2eq\r（5)π(cm)2.答案：2eq\r(5)π7．[2019·鄭州市校級月考]底面是菱形的直棱柱，它的體對角線的長分別是7和15，高是5，則這個直棱柱的側(cè)面面積是________．解析：依題意得，直棱柱底面的一條對角線長為eq\r（152－52)＝10eq\r(2)，底面的另一條對角線長為eq\r(72－52)＝2eq\r(6）。又菱形的兩對角線互相垂直平分，故底面邊長為eq\r（5\r（2）2＋\r(6）2）＝2eq\r（14)，則這個直棱柱的側(cè)面面積S側(cè)＝4×2eq\r(14）×5＝40eq\r（14）。答案：40eq\r（14)8．[2019·啟東市校級檢測］如圖,已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩余部分母線長的最大值為a,最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．解析:將該幾何體上部補上一個與該幾何體相同的幾何體，得到一個圓柱，其體積為π（a＋b)r2，所以所求幾何體的體積為eq\f（1,2)π(a＋b)r2.答案：eq\f(1,2）π（a＋b)r2三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S－ABC如圖所示，求它的表面積．解析：因為四面體S－ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍．不妨求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D，如圖所示．因為BC＝SB＝a，SD＝eq\r（SB2－BD2)＝eq\r（a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，2)）)2）＝eq\f(\r（3),2）a，所以S△SBC＝eq\f（1,2）BC·SD＝eq\f（1,2)a×eq\f（\r（3）,2）a＝eq\f（\r(3）,4）a2.故四面體S－ABC的表面積S＝4×eq\f(\r(3),4）a2＝eq\r（3)a2。10．如圖，在四邊形ABCD中,∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2），AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的體積．解析：如圖，過C作CE垂直于AD，交AD延長線于E，則所求幾何體的體積可看成是由梯形ABCE繞AE旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺的體積,減去△EDC繞DE旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積．所以所求幾何體的體積V＝V圓臺－V圓錐＝eq\f（1，3)π×（52＋5×2＋22）×4－eq\f(1，3）π×22×2＝eq\f（148,3)π。［能力提升］(20分鐘，40分)11．如圖所示，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為4，動點E，F(xiàn)在棱AB上,且EF＝2，動點Q在棱D′C′上，則三棱錐A′－EFQ的體積()A．與點E，F(xiàn)的位置有關(guān)B．與點Q的位置有關(guān)C．與點E，F(xiàn),Q的位置都有關(guān)D．與點E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)，是定值解析：因為點Q到平面A′EF的距離為正方體的棱長4，A′到EF的距離為正方體的棱長4，所以VA′－QEF＝VQ－A′EF＝eq\f（1,3）×eq\f（1，2)×2×4×4＝eq\f(16，3）,是定值，因此與點E，F(xiàn),Q的位置均無關(guān)．答案：D12．如圖所示，正方形ABCD的邊長為6cm,BC，CD的中點分別為E,F，現(xiàn)沿AE，EF，AF折疊,使B，C,D三點重合，構(gòu)成一個三棱錐，則這個三棱錐的表面積為________．解析：因為折疊后構(gòu)成的三棱錐的表面均由原正方形的各部分圍成，且沒有重疊，因此這個三棱錐的表面積等于正方形ABCD的面積，為6×6＝36（cm2)．答案:36cm213．如圖是一建筑物的三視圖（單位：m),現(xiàn)需將其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2kg，問需要油漆多少千克？（無需求近似值）解析：由三視圖知建筑物為一組合體，自上而下分別是圓錐和正四棱柱，并且圓錐的底面半徑為3m，母線長為5m，正四棱柱的高為4m,底面是邊長為3m的正方形，圓錐的表面積為πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(m2）；四棱柱的一個底面積為9m2，正四棱柱的側(cè)面積為4×4×3＝48（m2),所以外壁面積為24π－9＋48＝(24π＋39）(m2)．所以需要油漆(24π＋39）×0.2＝(4。8π＋7。8）(kg）．14．一個直角梯形的兩底邊長分別為2和5，高為4，將其繞較長的底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積．解析：如圖，梯形ABCD中，AD＝2,AB＝4，BC＝5。作DM⊥BC,垂足為點M，則DM＝4，MC＝5－2＝3