2020高中數(shù)學(xué) 第章 概率 1 幾何概型 2 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3.1幾何概型3.3。2隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。理解幾何概型及隨機(jī)數(shù)的定義及特點．(重點)2．掌握幾何概型的計算方法和求解步驟，準(zhǔn)確地把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題．(難點)3．會利用隨機(jī)數(shù)模擬某一問題的試驗來解決具體的有關(guān)概率的問題．（重點、難點）1.通過幾何概型及隨機(jī)數(shù)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助幾何概型及利用隨機(jī)模擬法解決概率問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).1．幾何概型的定義事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A(如圖所示）,A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，滿足以上條件的試驗稱為幾何概型．2．幾何概型的概率公式在幾何概型中，事件A的概率定義為：P（A)＝eq\f(μA,μΩ），其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量．思考：幾何概型有哪些特點？[提示］(1）無限性:在每次隨機(jī)試驗中，不同的試驗結(jié)果有無窮多個,即基本事件有無限多個；（2）等可能性：在每次隨機(jī)試驗中，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件的發(fā)生是等可能的．3．隨機(jī)數(shù)的含義隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機(jī)會一樣．4．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法(1)用函數(shù)型計算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法:每次按eq\x（SHIFT)eq\x(Ran＃)鍵都會產(chǎn)生一個0～1之間的隨機(jī)數(shù),而且出現(xiàn)0~1內(nèi)任何一個數(shù)的可能性是相同的．(2）用計算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)（這里介紹的是Scilab中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法）：①Scilab中用rand(）函數(shù)來產(chǎn)生0～1的均勻隨機(jī)數(shù)．每調(diào)用一次rand()函數(shù)，就產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)．②如果要產(chǎn)生a～b之間的隨機(jī)數(shù)，可以使用變換rand（)＊（b－a)＋a得到．1．下列概率模型是幾何概型的為(）A．已知a，b∈｛1，2，3，4｝，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實根的概率B．已知a，b滿足｜a|≤2,｜b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實根的概率C．從甲、乙、丙三人中選2人參加比賽，求甲被選中的概率D．求張三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天計算)B[A、C、D的基本事件是有限的，為古典概型，只有B為幾何概型．］2．面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為(）A.eq\f（1，3)B。eq\f（1，2)C.eq\f(1，4)D．eq\f（1，6)B［向△ABC內(nèi)投一點的結(jié)果有無限個，屬幾何概型．設(shè)點落在△ABD內(nèi)為事件A，則P(A）＝eq\f（△ABD面積,△ABC面積）＝eq\f(1，2）.］3．用隨機(jī)模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實際概率的大小為n，則(）A．m〉nB．m<nC．m＝nD．m是n的近似值D[隨機(jī)模擬法求其概率，只是對概率的估計．]4．在區(qū)間［－1，2]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則｜x｜≤1的概率為________．eq\f（2,3)［∵區(qū)間[－1,2]的長度為3，由｜x｜≤1得x∈［－1,1］，而區(qū)間［－1,1］的長度為2，x取每個值為隨機(jī)的，∴在［－1，2］上取一個數(shù)x，｜x｜≤1的概率P＝eq\f(2,3）.]與長度、角度有關(guān)的幾何概型[探究問題］1．古典概型和幾何概型有何異同點？[提示]相同點：古典概型與幾何概型中每一個基本事件發(fā)生的可能性都是相等的．不同點：古典概型要求隨機(jī)試驗的基本事件的總數(shù)必須是有限的;幾何概型要求隨機(jī)試驗的基本事件的個數(shù)是無限的,而且?guī)缀胃判徒鉀Q的問題一般都與幾何知識有關(guān)．2．P(A)＝0?A是不可能事件，P（A)＝1?A是必然事件是否成立?[提示](1)無論是古典概型還是幾何概型，若A是不可能事件，則P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，則P(A)＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A的概率P（A)＝0，則A為不可能事件；若事件A的概率P（A）＝1，則A為必然事件．(3)在幾何概型中，若事件A的概率P（A)＝0，則A不一定是不可能事件，如：事件A對應(yīng)數(shù)軸上的一個點,則其長度為0，該點出現(xiàn)的概率為0,但A并不是不可能事件；同樣地,若事件A的概率P（A）＝1，則A也不一定是必然事件．3．解決幾何概型問題的關(guān)鍵是什么？幾何概型求概率問題一般有幾種類型？[提示］解決幾何概型的關(guān)鍵是把握好“測度”問題,常見測度為長度（角度）、面積、體積．【例1】如圖，在△ABC中，∠B＝60°,∠C＝45°,高AD＝eq\r（3)，在邊BC上找一點M,求BM＜1的概率．［思路探究]由題意M是邊BC上一點，故試驗全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為邊BC的長，E事件的區(qū)域長度為1.可由幾何概型概率公式求解．［解]∵AD⊥BC,∠B＝60°,∠C＝45°，∴BD＝1，DC＝eq\r（3）,∴BC＝1＋eq\r（3).記事件E為“在BC上找一點M，使BM＜1”，則P（A）＝eq\f（1，BC)＝eq\f（1,1＋\r（3））＝eq\f（\r（3）－1，2）。1．(變條件）本例把“在邊BC上找一點M”改為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M”，其他條件不變，求BM＜1的概率．[解]∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°,∵AD⊥BC，AD＝eq\r（3），∴BD＝1,∠BAD＝30°。記事件F為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM＜1”，則P(F）＝eq\f（30°,75°)＝eq\f(2,5）。2．(變結(jié)論)本題條件不變，求M到邊BC兩端點的距離均大于1的概率．［解]∵AD⊥BC,∠B＝60°，∠C＝45°,∴BD＝1，DC＝eq\r（3），∴BC＝1＋eq\r（3).記事件G為“在BC上找一點M，使M到BC兩端點的距離均大于1”,則P(G）＝eq\f(1＋\r(3）－2,1＋\r(3）)＝2－eq\r(3)。1．若一次試驗中所有可能的結(jié)果和某個事件A包含的結(jié)果(基本事件）都對應(yīng)一個長度，如線段長、時間區(qū)間長、距離、路程等，那么需要先求出各自相應(yīng)的長度,然后運用幾何概型的概率計算公式求出事件A發(fā)生的概率．2．“角度”型幾何概型問題容易與“長度”型混淆，求解時應(yīng)特別注意辨別．與面積有關(guān)的幾何概型【例2】甲、乙兩人約定在6時到7時在某處會面,并約定先到者應(yīng)等候另一人20分鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率．［思路探究]解答本題可先求出解析圖中陰影部分面積及整個區(qū)域面積,然后利用幾何概型公式求出相應(yīng)事件的概率．［解]用x和y分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會地點的時間，則兩人能會面的條件是|x－y|≤20.在平面上建立直角坐標(biāo)系如圖所示,則（x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，可能會面的時間用圖中陰影部分表示，所以P（A)＝eq\f(602－402,602)＝eq\f（5,9）。1．解此類幾何概型問題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)題意確認(rèn)是否是與面積有關(guān)的幾何概型問題．(2)找出或構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形,利用圖形的幾何特征計算相關(guān)面積，套用公式從而求得隨機(jī)事件的概率．2．對于幾何概型，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形,利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率．1．如圖所示,一個等腰直角三角形的直角邊長為2，分別以三個頂點為圓心,1為半徑在三角形內(nèi)作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域M（圖中白色部分）．若在此三角形內(nèi)隨機(jī)取一點P，則點P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為________．1－eq\f（π,4）[由題意知題圖中的陰影部分的面積相當(dāng)于半徑為1的半圓面積,即陰影部分面積為eq\f(π,2),又易知直角三角形的面積為2，所以區(qū)域M的面積為2－eq\f（π,2).故所求概率為eq\f（2－\f(π，2），2）＝1－eq\f（π，4）。］與體積有關(guān)的幾何概型【例3】一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，求蜜蜂“安全飛行”的概率．[思路探究］利用體積之比求概率．[解］依題意，在棱長為3的正方體內(nèi)任意取一點，這個點到各面的距離均大于1.則滿足題意的點區(qū)域為：位于該正方體中心的一個棱長為1的小正方體．由幾何概型的概率公式，可得滿足題意的概率為：P＝eq\f(13，33)＝eq\f（1,27)。3．本例條件不變，求這個蜜蜂飛到正方體某一頂點A的距離小于eq\f(1，3)的概率．[解]到A點的距離小于eq\f(1,3）的點，在以A為球心,半徑為eq\f(1，3)的球內(nèi)部，而點又必須在已知正方體內(nèi)，則滿足題意的A點的區(qū)域體積為eq\f（4，3)π×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）)）3×eq\f(1，8），所以P＝eq\f(\f(4，3)π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，3))）eq\s\up20（3）×\f(1，8），33）＝eq\f(π，2×37）。與體積有關(guān)的幾何概型問題的解決方法1如果試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，則其概率的計算公式為：PA＝eq\f（構(gòu)成事件A的體積，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的體積)。2解決此類問題一定要注意幾何概型的條件，并且要特別注意所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆.用隨機(jī)模擬法估計面積問題【例4】如圖所示，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板,上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm,4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投鏢,設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時不算，可重投，利用隨機(jī)模擬的方法近似計算下列問題：（1）投中大圓內(nèi)的概率是多少?（2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？（3）投中大圓之外的概率是多少？[思路探究］與面積有關(guān)的幾何概型要表示平面圖形內(nèi)的點必須有兩個坐標(biāo)，我們可以產(chǎn)生兩組隨機(jī)數(shù)來表示點的坐標(biāo)確定點的位置．[解］記事件A＝{投中大圓內(nèi)}，事件B＝｛投中小圓與中圓形成的圓環(huán)}，事件C＝｛投中大圓之外｝．①用計算機(jī)產(chǎn)生兩組［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝rand（)，b1＝rand（）．②經(jīng)過變換,a＝a116－8，b＝b116－8，得到兩組［－8,8]的均勻隨機(jī)數(shù)．③統(tǒng)計投在大圓內(nèi)的次數(shù)N1(即滿足a2＋b2＜36的點（a，b)數(shù))，投中小圓與中圓形成的圓環(huán)次數(shù)N2（即滿足4＜a2＋b2＜16的點(a,b)數(shù)）,投中木板的總次數(shù)N(即滿足上述－8＜a＜8，－8＜b＜8的點(a，b)數(shù)）．④計算頻率fn（A）＝eq\f(N1，N)，fn(B）＝eq\f(N2，N)，fn（C）＝eq\f(N－N1,N），即分別為概率P(A）、P（B)、P(C)的近似值．通過模擬得（1)P（A）≈0。44。（2）P(B）≈0。15。（3）P(C)≈0。56.1．解決本題的關(guān)鍵是利用隨機(jī)模擬法和幾何概率公式分別求得幾何概率，然后通過解方程求得陰影部分面積的近似值．2．解決此類問題時注意兩點：一是選取合適的對應(yīng)圖形，二是由幾何概型正確計算概率．2．利用隨機(jī)模擬的方法近似計算圖中陰影部分（y＝2－2x－x2與x軸圍成的圖形)的面積．[解］（1）利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝rand(），b1＝rand（)．（2）經(jīng)過變換a＝a1]（3)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N和落在陰影部分的點的個數(shù)N1(滿足條件b＜2－2a－a2的點(a，b）的個數(shù))．（4）計算頻率eq\f(N1，N)就是點落在陰影部分的概率的近似值．（5)設(shè)陰影部分面積為S.由幾何概型概率公式得點落在陰影部分的概率為eq\f(S,12).∴eq\f（S，12）≈eq\f(N1,N）?！郤≈eq\f（12N1，N），即為陰影部分面積的近似值．1．本節(jié)課的重點是了解幾何概型的意義，會求幾何概型的概率．難點是理解幾何概型的特點和計算公式和計算機(jī)模擬試驗．2．本節(jié)課要掌握以下幾類問題:（1）理解幾何概型,注意與長度有關(guān)的幾何概型的求解關(guān)鍵點．(2)求解與面積相關(guān)的幾何概型問題的三個關(guān)鍵點．（3）注意與體積有關(guān)的幾何概型的求解策略．3．本節(jié)課的易錯點：不能正確求出相關(guān)線段的長度或相關(guān)區(qū)域的面積或相關(guān)空間的體積．1．思考辨析(1）幾何概型的概率與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關(guān)．（）（2)在射擊中，運動員擊中靶心的概率在（0，1）內(nèi)．（)（3）幾何概型的基本事件有無數(shù)多個．（)(4）計算機(jī)或計算器只能產(chǎn)生[0，1］的均勻隨機(jī)數(shù),對于試驗結(jié)果在[2，5］上的試驗，無法用均勻隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬估計試驗．(）[答案](1)√(2）×（3）√（4）×2．轉(zhuǎn)動圖中各轉(zhuǎn)盤，指針指向紅色區(qū)域的概率最大的是（)D［D中紅色區(qū)域面積是圓面積的一半,其面積比A，B，C中要大，故指針指到的概率最大．］3．在區(qū)間(10,20]內(nèi)的所有實數(shù)中，隨機(jī)取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)a<13的概率是()A.eq\f(1，3） B.eq\f（1,7）C.eq\f（3,10) D．eq\f（7,10)C[∵a∈(10，13）,∴P(