2020高中數(shù)學(xué) 第章 空間向量與立體幾何 .1. 兩個(gè)向量的數(shù)量積學(xué)案 2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1。3兩個(gè)向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握空間向量夾角概念及表示方法。2。掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算律．（重點(diǎn)）3。掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途,能運(yùn)用數(shù)量積求向量夾角和判斷向量的共線與垂直．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))1.通過(guò)兩向量的數(shù)量積的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2。借助于求兩向量的夾角、模及判斷兩向量垂直，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).1．空間向量的夾角如果<a,b〉＝90°,那么向量a,b互相垂直，記作a⊥b.思考：等邊△ABC中，eq\o(AB，\s\up15(→））與eq\o（BC，\s\up15(→）)的夾角是多少？[提示]120°2．兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則｜a|｜b｜c(diǎn)os〈a,b〉叫做a，b的數(shù)量積（或內(nèi)積)，記作a·b。(2）數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律（λa）·b＝λ(a·b)交換律a·b＝b·a分配律（a＋b)·c＝a·c＋b·c3．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b＝0②若a與b同向,則a·b＝|a|·|b|；若反向，則a·b＝－｜a|·｜b｜.特別地，a·a＝|a｜2或|a｜＝eq\r(a·a)③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b，｜a||b｜)④｜a·b|≤|a｜·｜b｜1．下列命題中正確的是(）A．(a·b）2＝a2·b2B．|a·b|≤｜a||b｜C．（a·b）·c＝a·（b·c）D．若a⊥（b－c），則a·b＝a·c＝0B[對(duì)于A項(xiàng)，左邊＝|a|2|b|2cos2<a，b〉,右邊＝|a｜2|b｜2，∴左邊≤右邊,故A錯(cuò)誤．對(duì)于C項(xiàng)，數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴C錯(cuò)誤．在D中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b與a·c不一定等于零,故D錯(cuò)誤．對(duì)于B項(xiàng)，∵a·b＝｜a|｜b|cos<a，b>，－1≤cos<a，b〉≤1，∴｜a·b|≤|a｜｜b|,故B正確．］2．已知a，b，c是兩兩垂直的單位向量，則｜a－2b＋3cA．14B。eq\r（14）C．4D．2B[∵｜a－2b＋3c｜2＝(a－2b＋3c）·(a－2b＋＝｜a|2＋4|b｜2＋9|c|2＝14，∴｜a－2b＋3c｜＝eq\r(14).]3．已知|a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，則<a,b>＝________。120°［∵cos〈a,b>＝eq\f（a·b，｜a|｜b｜）＝eq\f（－3,3×2)＝－eq\f(1，2)。∴〈a，b>＝120°。］數(shù)量積運(yùn)算【例1】如圖所示，已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．求下列向量的數(shù)量積：(1)eq\o（OA,\s\up15（→）)·eq\o(OB，\s\up15（→）)；（2)eq\o(EF,\s\up15(→)）·eq\o（CB,\s\up15(→))；(3)（eq\o(OA，\s\up15(→）)＋eq\o（OB,\s\up15（→)）)·（eq\o(CA,\s\up15（→)）＋eq\o（CB,\s\up15（→）））．［思路探究］根據(jù)數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算，求出每組向量中每個(gè)向量的模以及它們的夾角，注意充分結(jié)合正四面體的特征．[解]（1）正四面體的棱長(zhǎng)為1,則|eq\o（OA,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB，\s\up15（→））|＝1?！鱋AB為等邊三角形，∠AOB＝60°，于是:eq\o（OA,\s\up15（→)）·eq\o（OB，\s\up15(→)）＝｜eq\o（OA,\s\up15(→))｜｜eq\o（OB,\s\up15(→）)|cos〈eq\o（OA，\s\up15（→)），eq\o（OB,\s\up15(→))>＝｜eq\o(OA，\s\up15（→))||eq\o(OB，\s\up15(→))｜c(diǎn)os∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1，2)。（2）由于E，F(xiàn)分別是OA,OC的中點(diǎn)，所以EF綊eq\f（1,2)AC，于是eq\o（EF,\s\up15(→））·eq\o（CB,\s\up15(→))＝｜eq\o（EF,\s\up15（→）)|｜eq\o(CB,\s\up15（→))|cos〈eq\o(EF，\s\up15（→))，eq\o(CB,\s\up15（→））〉＝eq\f（1，2）｜eq\o（CA,\s\up15(→））｜·|eq\o（CB,\s\up15（→)）|cos〈eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o（CB，\s\up15（→）)〉＝eq\f（1，2）×1×1×cos〈eq\o(AC，\s\up15（→)）,eq\o（CB,\s\up15(→）)〉＝eq\f（1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f（1,4).（3）(eq\o(OA，\s\up15（→）)＋eq\o(OB,\s\up15（→)))·（eq\o(CA,\s\up15(→））＋eq\o（CB，\s\up15(→）））＝(eq\o(OA,\s\up15(→)）＋eq\o(OB，\s\up15(→）））·（eq\o(OA，\s\up15（→)）－eq\o（OC,\s\up15（→）)＋eq\o（OB,\s\up15（→））－eq\o(OC,\s\up15（→）））＝(eq\o（OA，\s\up15（→））＋eq\o（OB，\s\up15(→))）·(eq\o(OA，\s\up15（→)）＋eq\o(OB,\s\up15(→))－2eq\o(OC，\s\up15(→）)）＝eq\o(OA，\s\up15(→）)2＋eq\o(OA，\s\up15（→）)·eq\o(OB，\s\up15(→))－2eq\o（OA,\s\up15（→))·eq\o(OC,\s\up15(→））＋eq\o(OB，\s\up15（→)）·eq\o(OA,\s\up15（→）)＋eq\o（OB,\s\up15(→））2－2eq\o（OB，\s\up15（→))·eq\o（OC,\s\up15(→)）＝1＋eq\f(1，2）－2×eq\f(1，2)＋eq\f（1,2)＋1－2×eq\f(1，2）＝1。1要牢記公式a·b＝|a｜｜b|cos<a,b〉。2在求兩個(gè)向量夾角時(shí)，要注意向量的方向，如eq〈\o(EF，\s\up15（→))，\o(CB，\s\up15(→））〉＝<\o(AC,\s\up15（→)），\o（CB,\s\up15(→）)>＝120°易錯(cuò)寫成60°.為避免出錯(cuò)，應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算。1．已知長(zhǎng)方體ABCD。A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1（1)eq\o(BC,\s\up15（→)）·eq\o(ED1，\s\up15（→)）；(2)eq\o(BF,\s\up15（→）)·eq\o（AB1，\s\up15(→））；（3)eq\o(EF，\s\up15（→））·eq\o（FC1，\s\up15(→））。[解］如圖，設(shè)eq\o（AB，\s\up15(→））＝a,eq\o（AD，\s\up15(→))＝b,eq\o（AA1,\s\up15（→)）＝c，則｜a｜＝｜c(diǎn)|＝2,|b｜＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0。(1)eq\o（BC,\s\up15（→）)·eq\o(ED1,\s\up15(→）)＝eq\o（AD，\s\up15(→)）·(eq\o(EA1,\s\up15（→））＋eq\o（A1D1,\s\up15(→）))＝eq\o(AD,\s\up15（→）)·eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)\o(AA1,\s\up15（→))－\o（AB，\s\up15（→））＋\o(AD,\s\up15（→）)）)＝b·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2）c－a＋b)）＝|b｜2＝42＝16.（2）eq\o(BF，\s\up15（→)）·eq\o(AB1,\s\up15(→))＝(eq\o(BA1，\s\up15（→）)＋eq\o(A1F，\s\up15（→)））·(eq\o（AB,\s\up15（→）)＋eq\o（BB1，\s\up15（→)))＝(eq\o(AA1,\s\up15（→）)－eq\o(AB，\s\up15（→)）＋eq\f(1,2)eq\o（AD,\s\up15(→)））·(eq\o(AB,\s\up15（→))＋eq\o(AA1，\s\up15（→）))＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f（1，2)b)）·（a＋c)＝|c｜2－｜a｜2＝22－22＝0。(3)eq\o（EF,\s\up15（→)）·eq\o(FC1,\s\up15（→)）＝(eq\o（EA1，\s\up15(→））＋eq\o(A1F,\s\up15(→）))·(eq\o（FD1，\s\up15（→））＋eq\o（D1C1，\s\up15(→）)）＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1，2）\o(AA1，\s\up15(→）)－\o(AB，\s\up15(→))＋\f(1，2)\o（AD,\s\up15(→））））·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)\o(AD,\s\up15（→)）＋\o(AB,\s\up15(→）））)＝eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）c－a＋\f(1,2)b)）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)b＋a))＝eq\f（1,2)(－a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a）)＝－eq\f（1，2)|a｜2＋eq\f（1，4)｜b｜2＝2.利用數(shù)量積求夾角和模[探究問(wèn)題］1．空間兩個(gè)向量夾角定義的要點(diǎn)是什么？［提示］（1)任意兩個(gè)空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義一樣．(2）作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起．（3)兩個(gè)空間向量的夾角是唯一的,且〈a，b>＝〈b，a〉．2．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)有什么作用？［提示](1）向量模的應(yīng)用：式子｜a|＝eq\r(a·a)可以解決有關(guān)空間長(zhǎng)度問(wèn)題．（2）向量夾角的應(yīng)用：空間中兩條直線（特別是兩條異面直線）的夾角，可以通過(guò)求出這兩個(gè)向量的夾角而求得．(3)數(shù)量積的應(yīng)用：兩非零向量a，b，若a·b＝0,則兩向量對(duì)應(yīng)的直線相互垂直．【例2】(1）如圖，在直三棱柱ABC.A1B1C1中,∠ABC＝90°,AB＝BC＝1，AA1＝eq\r（2),求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．（2)如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)都等于1,且彼此的夾角都是60°,求對(duì)角線AC1和BD1［思路探究](1)先求eq\o（BA1,\s\up15（→))·eq\o（AC,\s\up15（→)）,再由夾角公式求cos〈eq\o(BA1,\s\up15（→）)，eq\o（AC,\s\up15(→)）>，并由此確定eq\o(BA1，\s\up15(→))與eq\o（AC，\s\up15（→））所成角的余弦值．(2）用向量eq\o（AC1,\s\up15(→））和eq\o（BD1,\s\up15（→）)用已知向量eq\o(AB,\s\up15（→）)、eq\o(AD,\s\up15(→)）、eq\o(AA1,\s\up15(→）)表示出來(lái),再用數(shù)量積的定義運(yùn)算．［解]（1)∵eq\o（BA1,\s\up15（→）)＝eq\o(BA，\s\up15（→)）＋eq\o(AA1，\s\up15（→））＝eq\o(BA,\s\up15（→)）＋eq\o(BB1，\s\up15(→))，eq\o（AC，\s\up15(→)）＝eq\o(BC，\s\up15(→））－eq\o(BA,\s\up15(→)），且eq\o（BA，\s\up15(→））·eq\o（BC，\s\up15（→））＝eq\o（BB1,\s\up15（→))·eq\o(BA，\s\up15（→)）＝eq\o（BB1,\s\up15（→))·eq\o(BC,\s\up15（→)）＝0，∴eq\o（BA1,\s\up15(→）)·eq\o(AC,\s\up15(→)）＝－eq\o（BA，\s\up15（→)）2＝－1。又|eq\o（AC，\s\up15(→)）|＝eq\r(2)，｜eq\o(BA1，\s\up15(→)）|＝eq\r（1＋2)＝eq\r（3).∴cos<eq\o（BA1,\s\up15(→)），eq\o(AC，\s\up15（→））〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up15(→））·\o（AC,\s\up15（→)),｜\o(BA1,\s\up15（→））|｜\o（AC,\s\up15(→））|)＝eq\f（－1,\r(6））＝－eq\f(\r(6),6).∵異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2）)），∴異面直線BA1與AC所成角的余弦值為eq\f(\r（6),6）.（2)∵eq\o（AC1,\s\up15（→））＝eq\o（AB，\s\up15(→)）＋eq\o(AD,\s\up15（→)）＋eq\o（AA1,\s\up15（→）)，∴|eq\o（AC1，\s\up15(→))｜2＝eq\o(AC1，\s\up15(→)）·eq\o（AC1，\s\up15（→))＝(eq\o（AB，\s\up15（→))＋eq\o(AD，\s\up15（→））＋eq\o（AA1,\s\up15（→））)·(eq\o（AB，\s\up15（→)）＋eq\o(AD,\s\up15（→))＋eq\o（AA1,\s\up15(→）))＝|eq\o（AB，\s\up15（→））｜2＋｜eq\o（AD,\s\up15（→）)｜2＋｜eq\o(AA1,\s\up15(→)）｜2＋2(eq\o(AB,\s\up15(→）)·eq\o(AD，\s\up15（→）)＋eq\o(AB，\s\up15(→））·eq\o(AA1，\s\up15（→））＋eq\o（AD，\s\up15（→))·eq\o（AA1,\s\up15（→))）＝1＋1＋1＋2（cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6?！鄚eq\o(AC1,\s\up15（→)）｜＝eq\r(6），即對(duì)角線AC1的長(zhǎng)為eq\r(6）.同理，｜eq\o（BD1，\s\up15(→）)｜2＝eq\o（BD1,\s\up15(→）)·eq\o（BD1，\s\up15（→））＝(eq\o（AD，\s\up15（→))＋eq\o（AA1,\s\up15（→）)－eq\o（AB,\s\up15（→)））·(eq\o（AD，\s\up15(→))＋eq\o(AA1,\s\up15（→)）－eq\o（AB，\s\up15(→))）＝|eq\o(AD，\s\up15（→)）|2＋|eq\o（AA1,\s\up15（→））｜2＋|eq\o(AB，\s\up15（→））|2＋2(eq\o（AD,\s\up15(→）)·eq\o(AA1,\s\up15(→)）－eq\o(AB,\s\up15（→))·eq\o（AA1,\s\up15(→））－eq\o(AD，\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15（→)))＝1＋1＋1＋2（cos60°－cos60°－cos60°)＝2?！鄚eq\o(BD1,\s\up15（→））|＝eq\r(2)，即對(duì)角線BD1的長(zhǎng)為eq\r（2).1．（改變結(jié)論）若把本例（1）中的結(jié)論“求異面直線BA1與AC所成角的余弦值”改為“求向量eq\o(BA1,\s\up15(→)）與eq\o（AC，\s\up15（→))夾角的余弦值”結(jié)果如何？［解］由本例(1）解析可知eq\o(BA1，\s\up15（→))與eq\o(AC,\s\up15(→）)夾角的余弦值是－eq\f(\r（6），6)。2.(改變條件、改變結(jié)論)本例（2）中，若E為CC1的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng)．［解]eq\o(AE，\s\up15(→）)＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15（→））＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up15(→)），∴｜eq\o(AE,\s\up15(→))|2＝eq\o(AE，\s\up15（→)）·eq\o（AE，\s\up15（→))＝(eq\o（AB,\s\up15（→））＋eq\o(AD,\s\up15(→））＋eq\f(1,2)eq\o（AA1,\s\up15（→）））·(eq\o（AB,\s\up15（→）)＋eq\o(AD，\s\up15(→)）＋eq\f（1,2)eq\o（AA1,\s\up15（→)）)＝|eq\o（AB,\s\up15（→））|2＋|eq\o（AD,\s\up15（→）)｜2＋eq\f（1,4)｜eq\o(AA1,\s\up15(→))｜2＋2eq\o（AB，\s\up15（→）)·eq\o（AD，\s\up15（→））＋eq\o(AB,\s\up15(→）)·eq\o（AA1，\s\up15（→))＋eq\o（AD，\s\up15(→））·eq\o（AA1，\s\up15(→））＝1＋1＋eq\f（1，4）＋2cos60°＋cos60°＋cos60°＝4eq\f(1,4），∴|eq\o（AE，\s\up15（→))|＝eq\f(\r(17)，2)。（1)利用數(shù)量積求異面直線所成角(或余弦值)的方法：(2)求兩點(diǎn)間的距離或某條線段的長(zhǎng)度的方法：先將此線段用向量表示，然后用其他已知夾角和模的向量表示此向量，最后利用｜a|2＝a·a，通過(guò)向量運(yùn)算去求|a｜，即得所求距離．利用數(shù)量積解決垂直問(wèn)題【例3】如圖,在空間四邊形OABC中，OB＝OC,AB＝AC，求證：OA⊥BC.［思路探究]證明eq\o（OA，\s\up15(→））·eq\o(BC,\s\up15（→）)＝0。［證明]因?yàn)镺B＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB,所以∠AOC＝∠AOB.又eq\o(OA，\s\up15(→）)·eq\o(BC，\s\up15(→）)＝eq\o（OA,\s\up15（→））·（eq\o(OC，\s\up15(→))－eq\o（OB，\s\up15（→)））＝eq\o(OA,\s\up15(→）)·eq\o（OC,\s\up15(→））－eq\o(OA,\s\up15（→）)·eq\o(OB,\s\up15(→））＝|eq\o(OA,\s\up15（→）)｜·｜eq\o（OC，\s\up15(→））｜c(diǎn)os∠AOC－｜eq\o（OA,\s\up15（→))|·|eq\o(OB，\s\up15（→))|cos∠AOB＝0，所以eq\o（OA，\s\up15（→)）⊥eq\o（BC，\s\up15(→）)，即OA⊥BC。1證明線線垂直的方法，證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來(lái)判斷兩直線是否垂直。2證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n,再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0。2．已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD,AC⊥BD，求證：AD⊥BC。[證明］∵AB⊥CD,AC⊥BD，∴eq\o（AB，\s\up15（→))·eq\o(CD，\s\up15（→））＝0，eq\o（AC，\s\up15（→）)·eq\o(BD，\s\up15（→））＝0?！鄀q\o（AD,\s\up15（→))·eq\o（BC，\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15（→）)＋eq\o(BD,\s\up15（→)）)·（eq\o（AC，\s\up15(→）)－eq\o(AB,\s\up15（→))）＝eq\o(AB，\s\up15（→））·eq\o（AC,\s\up15（→）)＋eq\o(BD,\s\up15（→））·eq\o（AC,\s\up15(→））－|eq\o(AB，\s\up15（→)）|2－eq\o（AB，\s\up15（→）)·eq\o(BD,\s\up15(→)）＝eq\o（AB,\s\up15（→））·eq\o(AC,\s\up15(→））－｜eq\o（AB,\s\up15（→）)|2－eq\o(AB，\s\up15(→））·eq\o(BD，\s\up15（→)）＝eq\o(AB,\s\up15（→））·(eq\o（AC,\s\up15(→））－eq\o（AB,\s\up15(→））－eq\o(BD，\s\up15（→)）)＝eq\o(AB,\s\up15(→）)·eq\o(DC，\s\up15(→））＝0。∴eq\o(AD,\s\up15(→))⊥eq\o(BC,\s\up15(→）)，從而AD⊥BC。1．思考辨析(1）對(duì)于非零向量a，b，〈a,b〉與<a,－b>相等． （)(2)對(duì)于任意向量a，b，c，都有（a·b)c＝a(b·c)． ()（3）(3a＋2b）·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2.[提示］(1）×互補(bǔ)．（2)×（a·b）·c與c共線，a（b·c）與a共線，但c與a不一定共線．(3)√2．如圖，已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD,DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是（)A．2eq\o(BA，\s\up15（→））·eq\o（AC,\s\up15（→）） B．2eq\o（AD,