立體幾何中的外接內(nèi)切球

立體幾何中的外接內(nèi)切球如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球。有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)。考查學(xué)生的空間想象能力及歸納能力。研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)。并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作業(yè)。本專題主要討論補(bǔ)形法和軸截面法。補(bǔ)形法：情況一：若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.情況二：若出現(xiàn)對(duì)邊相等，一般也是構(gòu)造長(zhǎng)方體，再利用。此類題重點(diǎn)要找出三邊。例1：已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，則外接球的體積是______。解析：如圖，易得，，，則此球內(nèi)接長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)為AB、BC、CD（CD的對(duì)邊與CD等長(zhǎng)），從而球外接圓的直徑為，即.例2.如圖，已知球O點(diǎn)面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于___________。解析：本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體體積計(jì)算問(wèn)題。其關(guān)鍵是找出球心，從而確定球的半徑。由題意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜邊。所以DC邊的中點(diǎn)就是球心（到D、A、C、B四點(diǎn)距離相等），所以球的半徑就是線段DC長(zhǎng)度的一半。例3.在正三棱錐中，、分別是棱、的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積是（）A．B．C．D．解析：正三棱錐對(duì)棱互相垂直，即，又SB∥MN，且，∴，從而.∴，以為頂點(diǎn)，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，故球的直徑，即，∴。例4.在四面體中,,則四面體的外接球的表面積為________________.【答案】解析:構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體,使得它的三條面對(duì)角線分別為4、5、6,設(shè)長(zhǎng)方體的三條邊分別為,則,而長(zhǎng)方體的外接球就是四面體的外接球,所以練習(xí)題：1.一個(gè)三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為1、、3，則這個(gè)三棱錐的外接球的表面積為（）A、16πB、32πC、36πD、64π答案：A2.在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面積分別為，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為（）3.三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，如果此三棱錐外接球的表面積為9π，那么PA?PB+PA?PC+PB?PC的最大值為（）A.B.C.9D.18軸截面法：我們選擇最佳角度找出含有找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面面圓，于是該圓的半徑就是所求的半徑，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究。這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是我們應(yīng)該研究的重點(diǎn)。例1.已知四面體正四棱錐S－ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為eq\r(2)，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_．[審題導(dǎo)引]如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個(gè)點(diǎn)O使得OA＝OS，則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上．[規(guī)范解答]如圖所示，在Rt△SEA中，SA＝eq\r(2)，AE＝1，故SE＝1.設(shè)球的半徑為r，則OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即點(diǎn)O即為球心，故這個(gè)球的體積是eq\f(4π,3).例2.已知四面體在同一球面上，且,,當(dāng)四面體的體積最大時(shí)且為，求球的表面積（）解析：∵,∴是直角三角形,∴的外接圓的圓心是邊AC的中點(diǎn)O1,如圖所示,若使四面體ABCD體積的最大值只需使點(diǎn)D到平面ABC的距離最大,又平面ABC,所以點(diǎn)D是直線與球的交點(diǎn)，設(shè)球的半徑為R,則由體積公式有:，在中,,解得:,故選C1.已知球O點(diǎn)面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于___________2.已知四棱錐V-ABCD的頂點(diǎn)都在同一球面上，底面ABCD為矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=，ＡＤ＝３，ＶＧ＝，則該球的體積為（）內(nèi)切圓：等體積法例1．設(shè)棱錐的底面是正方形，且，，如果的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.解：平面，圖2由此，面面.記是的中點(diǎn)，圖2從而.平面，設(shè)球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖2，得截面圖及內(nèi)切圓不妨設(shè)平面，于是是的內(nèi)心.設(shè)球的半徑為，則，設(shè),.,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.∴當(dāng)時(shí)，滿足條件的球最大半徑為.練習(xí)：1.一個(gè)正四面體內(nèi)切球的表面積為，求正四面體的棱長(zhǎng)。（答案為：）2.在底面半徑為3，高為4+2的圓柱形有蓋容器內(nèi)，放入一個(gè)半徑為3的大球后，再放入與球面、圓柱側(cè)面及上底面均相切的小球，則放入小球的個(gè)數(shù)最多為（）A、4B、5C、6D、7作業(yè)：1．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（）A．B．C．D．2．將一個(gè)氣球的半徑擴(kuò)大1倍，它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍3．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為（）A．B．C．D．4．球的表面積與它的內(nèi)接正方體的全面積之比為（）A．B．C．D．15．將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為（）A．2πB．4πC．8πD．16π6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（）A．B．C．D．7．已知三棱錐P－ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝2PC＝2a，且三棱錐外接球的表面積為S＝9π，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\f(1,2)8．半徑為5eq\r(2)的球面上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，若AB＝6，BC＝8，AC＝10，經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)作截面，那么球心到截面的距離為()A．4B．4eq\r(2)C．5D．99．已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為()A．16πB．8πC．4πD．2π10．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（）A．B．C．D．二、填空題：1．如圖，已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于．2．已知點(diǎn)A、B、C在球心為O的球面上，△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝eq\r(3)，球心O到截面ABC的距離為eq\r(2)，則該球的表面積為________．3．過(guò)正四面體外接球球心的平面截正四面體所得截面如圖所示，圖中三角形面積為2eq\r(2)，則正四面體棱長(zhǎng)為____________．4．給出下列命題：①一個(gè)球與棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正方體的所有棱都相切，則此球的體積為eq\f(4π,3)；②若eq^\o(lim,\s\do4(n→∞))(eq\f(1＋a＋…＋an－1,1－a))＝2，則實(shí)數(shù)a＝1＋eq\f(\r(2),2)；③已知函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)，則方程f(x)＝0在(1，2)內(nèi)必有實(shí)根；④圓(x－2)2＋y2＝2外的點(diǎn)M對(duì)該圓的視角為90°時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4.其中正確的命題序號(hào)是______．5．過(guò)半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A，作球O的截面，若OA與該截面所成的角為30°，則該截面的面積為________．6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)AB＝6，側(cè)棱長(zhǎng)AA1＝2eq\r(7)，它的外接球的球心為O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O的球面上任意一點(diǎn)，有以下判斷：(1)PE長(zhǎng)的最大值是9；(2)三棱錐P－EBC體積的最大值是eq\f(32,3)；(3)存在過(guò)點(diǎn)E的平面，截