偏微分方程期末復習筆記

《偏微分方程》期末考試復習一、波動方程（雙曲型方程）u a2u f(x,t)tt xx（一）初值問題（柯西問題）a2u f(x,t)tt xx1、一維情形u tu

(x)(x)tt0解法（傳播波法：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，a2u

0 a2u

f(x,t)tt xx

tt xxu

(x) （Ⅱ）u0 t0

t0u tt0

(x) u 0tt0其中，問題（I）的解由達朗貝爾公式給出：u(x,t)(xat)(xat)2

1xad2axat齊次化原理，問題（Ⅱ）的解為：u(x,t)tW(x,t;0a2W 0 tt xx其中，W(xyz,t;)

t

0 ，W f(x,)利用達朗貝爾公式得

W(x,t;)

tt1xa(t)f,2a xa(t)從而問題（Ⅱ）的解為：

u(x,t)

1txa(t)f,dd2a0

xa(t)綜上所述，原初值問題的解為：u(x,t)(xat)(xat)2

1xad2axat

1txa(t)fdd2a0xa(t)依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征線：①依賴區(qū)間：點(x,t)的依賴區(qū)間為：[x-at,x+at];②決定區(qū)域：區(qū)間[x

]的決定區(qū)域為：{(x,t)|x

atx

at}1 2 1 2③影響區(qū)域：區(qū)間[x,x

]的影響區(qū)域為：{(x,t)|x

atx

at}1 2 1 2④特征線：xx at0解的驗證：見課本P10,P14u

a2(u uxx

u )f(x,y,z,t)zz2、三維情形u

(x,y,z)t0utt0

(x,y,z)解法（球面平均法：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，u

a2(u uxx

u )0 zz

a2(u uxx

u )f(x,y,z,t)zz（I）u

(x,y,z) （Ⅱ）u0 t0

t0tt0

(x,y,z)

u

0tt0其中，問題（I）的解由泊松公式給出：u(x,y,z,t)

1

dSSM Sat

14a2t

dSSMat齊次化原理，問題（Ⅱ）u(xyz,t)tW(xyz,t;0a2W W )0 tt

xx yy zz其中，W(xyz,t;

t

0 ，W

f(x,y,z,)利用泊松公式得W(x,y,z,t;) 1

ttf(,,,) dS4aSM

ra(t)從而問題（Ⅱ）的解為：

a(t)u(x,y,z,t)

1

rat

f(,,,tr

r)adV綜上所述，原初值問題的解為：

f(,,,tr)u(x,y,z,t) 1 dS

1

1

adVt4a2tSMat

SMat

rrat依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征錐、惠更斯原理（無后效現(xiàn)象：①依賴區(qū)域（球面：點(x,y,z,t)的依賴區(qū)域為0 0 0(xx0

)2(yy0

)2(zz0

)2a2t2；0②決定區(qū)域（錐體：球面(xx)0

(yy)20

(zz)20

a2t2決定區(qū)域為：0(xx)2(yy)2(zz)2a2(t t)2 (tt)；0 0 0 0 0③影響區(qū)域（錐面：點(x,y,z,0)的影響區(qū)域為：0 0 0(xx0

)2(yy0

)2(zz0

)2a2t2 (t0)(xx)20

(yy)20

(zz)20

a2(t t)20惠更斯原理（無后效現(xiàn)象）見課本P35解的驗證：見課本P29,P32u

a2(uxx

u )f(x,y,t)yy3、二維情形u

(x,y)t0utt0

(x,y)解法（降維法：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，u

a2(uxx

u )0 yy

a2(uxx

u )f(x,y,t)yy（I）u

(x,y) （Ⅱ）u0 t0

t0tt0

(x,y)

u

0tt0其中，問題（I）的解由二維泊松公式給出：u(x,y,t)

1 2at(at)2(at)2(x)2(y)2at

(,)

Mat

(,)

(at)2((at)2(x)2(y)2由齊次化原理，問題（Ⅱ）的解為：u(x,y,t)tW(x,y,t;)d0a2W )0 tt

xx yy其中，W(xy,t;

t

0 ，W

f(x,y,)ttf(,r)r2 ((利用泊松公式得Wr2 ((2aMr從而問題（Ⅱ）的解為：

f(,,tr)

ra)u(x,y,t)

1 at a ddr2(r2((Mrra)綜上所述，原初值問題的解為：

1 (,) d2at

(,) dd(((((at atf(,r)r2((r2((2a20Mrra(t)依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征錐、后效現(xiàn)象：①依賴區(qū)域（圓餅：點xy0 0

,t)的依賴區(qū)域為(xx0

y0

；0②決定區(qū)域（錐體：圓餅xx0

(yy)20

決定區(qū)域為：0xya2tt)；0 0 0 0③影響區(qū)域（錐體：點xy0 0

,0)的影響區(qū)域為：(xx0

y0

0)x0

(yy)20

a20

t)2后效現(xiàn)象見課本P35、36解的驗證：課本沒有，有興趣的童鞋自己動手豐衣足食。u a2utt xx

f(x,t)u（二）初邊值問題 t0u

(x)(x)tt0u u 0x0 xl解法（分離變量法：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，a2u

0 a2u

f(x,t)tt xx

tt xxu (x)

u0（I）

t0

（Ⅱ）

t0u tt0

(x)

u 0tt0u 0 u 0 x0

xl

x0

xl用分離變量法（過程請腦內(nèi)補完）得到（I）的解為：Au(x,t)A

cost

sinkatsinkxA 2l)sin

k lk1

k l lk l 0 l其中 2 kB l)sin

0 l用齊次化原理得到（Ⅱ）的解：u(x,t)

t

)sin(tsinkxk從而原初邊值問題的解為：k

k0 l lAu(x,t) cosatA

sintsin

xtB)sinatdsinxk lk1

k l

k10 l lk注：非齊次邊界條件的情形見課本P21、22k解的驗證、相容性條件（見課本P19）相容性條件：函數(shù)(xC3(xC2，并且(0)(l)"(0)"(l)(0)(l)0二、熱傳導方程（拋物型方程）ua2u f(x,t)t xxa2u 0（一）初邊值問題

t xx(x)t0u 0x0 xl（注：由于老師講課以及課后習題中都沒有非齊次方程的初邊值問題，估計不會考；但是邊界條件有可能給第一、第二、第三類邊界條件，這里的解法僅一第一類齊次邊界條件為例）解法（分離變量法：用分離變量法（過程請腦內(nèi)補完）得到原方程的解為： a2k2t 其中C

2l)sind

u(x,t)

Cekk1

l2 sin xlk l 0 l注：非齊次邊界條件的情形見課本P21、22解的驗證、相容性條件（見課本P51、52）u（二）柯西問題t

a2uxx

f(x,t)u

t0

(x)（必考的重點）①一維情形：傅里葉變換：F[f]g()f(x)eixdx1F1[g]f(x)1

g()eixd②高維情形：設(shè)x(x

,,x

)，(,,)1 n 1 n傅里葉變換：F[f]g()

f(x)eixdxRn傅里葉逆變換：F1[g]f(x)

1(2)

g()eixdRn③傅里葉變換的性質(zhì)：1fFfFf]1 2 1 22FffFfFf]1 2 1 213F[f1

f]2

F[f1

]F[f]24Ff'(x)]iFf(x)]性質(zhì)5F[ixf(x)]d F[f(x)]d解法：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，u（I）t

a2u 0xx

u（Ⅱ）t

a2uxx

f(x,t)u

t0

(x)

u

0t0其中問題（I）的解由泊松公式給出：u(x,t)用齊次化原理得到問題（Ⅱ）的解：

1212a

(x)24a2td2a u(x,t2a

1 td

f(,

(x)2e4a2(t)dtt2a 2a

0 2a t(x2a t

f(,)

(x)2u(x,t)

4a2td

td

e4a2(t)d 0 （3）解的驗證（見課本P58、59）（三）極值原理、定解問題解的唯一性與穩(wěn)定性（見課本P60~65）極值原理熱傳導方程ut

a2uxx

f(x,t)（f0）的解u(x,t)在拋物邊界上取得極大、極小值。三、調(diào)和方程（橢圓型方程）u0（一）拉普拉斯算子、梯度與散度1udivu)；②unu2、拉普拉斯算子在不同坐標系下的形式：

③div(vu)vuvuu

2u2u2ux2 y2 z2u

1 u(r2 )u

1 2u

1 (sin2u)r2 r r2sin22 r2sin 2u

1(ru)12u

2urr r r

2

z2④極坐標系：u1

(ru)

12urr r r22（二）變分原理（見課本P717（算是難點，但期末考估計不會涉及，此處從略）（三）格林公式及其應用1、格林公式：div(FF 2、格林第一公式：uvduvdSuvdn 3、格林第二公式：(uvvu)d(uvvu)dS 4、調(diào)和函數(shù)的基本積分公式：

n n1 1 1 u(M)①若u0，則u(M0

)4

u(M)

r r

dS M

M0M

M0M 0,若M在外

1 1u 0u

dS2

u(M),若M在上0 0 nr

rn

4u(M),若M在內(nèi)0 01

1 1 u(M)

1 F(M)②若uF，則u(M0

)4

u(M

r r

dSM

dr M

M0M

M0M

M0Mu5、若u在以曲面為邊界的區(qū)域內(nèi)調(diào)和，在上 有連續(xù)一階偏導數(shù)，則u

ndS0.由此得到諾依曼邊界條件

f有解的必要條件是函數(shù)f滿足 fdS0unun6、球面平均值公式（條件略：u(M0

) 1

udSB(M0

,r)7、球體平均值公式（條件略：u(M)0

34r3

udSB(M0

,r)8、極值原理、第一邊值問題的唯一性及穩(wěn)定性（略）（四）格林函數(shù)G(MM0

1rM0M

g(M,M)01、格林函數(shù)法：調(diào)和函數(shù)的第一邊值問題u2、格林函數(shù)的性質(zhì)：

fu(M

)0

GfndSM性質(zhì)1格林函數(shù)G(M,M)除MM 一點外處處調(diào)和，而當MM 時，G(M,M)趨于無窮