數(shù)值分析試題集

-.z數(shù)值分析試題集〔試卷一〕一〔10分〕，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，判斷及有幾位有效數(shù)字。二〔10分〕由下表求插值多項(xiàng)式0122341－1三〔15分〕設(shè)，H〔*〕是滿足以下條件的三次多項(xiàng)式求，并證明之。四〔15分〕計(jì)算，。五〔15分〕在[0，2]上取，用二種方法構(gòu)造求積公式，并給出其公式的代數(shù)精度。六〔10分〕證明改良的尢拉法的精度是2階的。七〔10分〕對(duì)模型，討論改良的尢拉法的穩(wěn)定性。八〔15分〕求方程在-1.2附近的近似值，?！苍嚲矶骋惶羁铡?*2分〕1是區(qū)間[0，1]上的權(quán)函數(shù)為的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式族，其中，則，。2，則，。3設(shè)，當(dāng)滿足條件時(shí)，A可作LU分解。4設(shè)非線性方程，其根，，則求的近似值時(shí)，二階局部收斂的牛頓迭代公式是。二〔8分〕方程組A*=b，其中，1試?yán)玫諗康某湟獥l件求出使雅可比迭代法收斂的的取值圍，取何值時(shí)雅可比迭代收斂最快.2選擇一種便于計(jì)算的迭代收斂的充要條件，求出使高斯-塞德爾迭代法收斂的的取值圍。三〔9分〕常微分方程初值問(wèn)題的單步法公式為，求該公式的精度。四〔14分〕設(shè)為對(duì)稱正定方程組1求使迭代過(guò)程收斂的數(shù)的變化圍；2用此法解方程組〔取初值，小數(shù)點(diǎn)后保存4位，給出前6次迭代的數(shù)據(jù)表〕。(試卷三)一設(shè)，求的譜半徑，數(shù)為1的條件數(shù)。二設(shè)，分別計(jì)算該函數(shù)的二、三階差商，。三設(shè)向量1假設(shè)定義，問(wèn)它是不是一種向量數(shù).請(qǐng)說(shuō)明理由。2假設(shè)定義，問(wèn)它又是不是一種向量數(shù).請(qǐng)說(shuō)明理由。四設(shè)，將矩陣分解為，其中是對(duì)角線元素的下三角陣。五設(shè)有解方程的迭代法1證明：對(duì)任意，均有〔為方程的根〕；2取，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過(guò)，列出各次迭代值；3此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。六對(duì)于求積公式1求該求積公式的代數(shù)精度；2證明它為插值型的求積公式?！苍嚲硭摹骋惶羁疹}〔每空5分，共25分〕1設(shè)準(zhǔn)確值為，假設(shè)取近似值，該近似值具有位有效數(shù)字。2設(shè)，，則三階差商。3，則。4設(shè)，當(dāng)滿足條件時(shí)，必有分解式A=LLT，其中L是對(duì)角線元素為正的下三角陣。5求積公式的代數(shù)精度為。二〔10分〕設(shè)，試求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2的多項(xiàng)式，使得三〔20分〕1利用埃米特插值多項(xiàng)式推導(dǎo)帶有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的求積公式且其余項(xiàng)為2利用這個(gè)公式推導(dǎo)所謂帶修正項(xiàng)的復(fù)化梯形求積公式這里：四〔15分〕試確定系數(shù)，使微分方程的數(shù)值計(jì)算公式具有盡可能高的局部截?cái)嗾`差?！卜?hào)說(shuō)明：〕五〔15分〕方程在附近有根，對(duì)于給定的迭代關(guān)系式，試問(wèn)：1、問(wèn)迭代是否收斂；假設(shè)收斂，用列表形式給出其前6步迭代的近似根。2、估計(jì)該迭代式的收斂速度。六〔15分〕方程組，其中，試?yán)玫諗康臈l件給出使雅可比迭代法收斂的的取值圍，給出使雅可比迭代收斂最快的取值，并用2至3個(gè)的具體值進(jìn)展計(jì)算，數(shù)值化地說(shuō)明其迭代收斂的快慢程度。〔說(shuō)明：數(shù)值實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)請(qǐng)以列表形式寫出?！场苍嚲砦濉骋惶羁疹}〔每空5分，共25分〕1，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。2設(shè)，，則二階差商。3，則。4設(shè)，當(dāng)滿足條件時(shí)，A可作LU分解。5設(shè)是互異節(jié)點(diǎn)，對(duì)于，。二〔10分〕由下表求插值多項(xiàng)式0122341－1三〔25分〕1設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用泰勒展開推導(dǎo)以下求積公式2利用這個(gè)公式推導(dǎo)以下復(fù)化求積公式這里：3對(duì)于給定精度，利用上述求積公式，選取適宜的求積步長(zhǎng)，計(jì)算的近似值。四〔10分〕常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值公式為，求該公式的精度。五〔15分〕設(shè)有解方程的迭代法1證明：對(duì)任意，均有〔為方程的根〕；2取，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過(guò)，列出各次迭代值；3此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。六〔15分〕設(shè)方程組1給出雅可比迭代算式；2說(shuō)明其收斂性；3取初始向量，給出其前6步迭代所求出的近似值?！舱f(shuō)明：數(shù)據(jù)請(qǐng)以列表形式寫出?！场苍嚲砹骋惶羁疹}〔每空5分，共25分〕1，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。2設(shè)，，則二階差商。3，則。4設(shè)，當(dāng)滿足條件時(shí)，A可作LU分解。5設(shè)是互異節(jié)點(diǎn)，對(duì)于，。二〔10分〕由下表求插值多項(xiàng)式0122341－1三〔25分〕1設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用泰勒展開推導(dǎo)以下求積公式2利用這個(gè)公式推導(dǎo)以下復(fù)化求積公式這里：3對(duì)于給定精度，利用上述求積公式，選取適宜的求積步長(zhǎng)，計(jì)算的近似值。四〔10分〕常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值公式為，求該公式的精度。五〔15分〕設(shè)有解方程的迭代法1證明：對(duì)任意，均有〔為方程的根〕；2取，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過(guò)，列出各次迭代值；3此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。六〔15分〕設(shè)方程組1給出雅可比迭代算式；2說(shuō)明其收斂性；3取初始向量，給出其前6步迭代所求出的近似值。〔說(shuō)明：數(shù)據(jù)請(qǐng)以列表形式寫出?！场苍嚲砹骋惶羁疹}〔每空5分，共25分〕1設(shè)準(zhǔn)確值為，假設(shè)取近似值，該近似值具有位有效數(shù)字。2設(shè)，，則三階差商。3，則。4設(shè)，當(dāng)滿足條件時(shí)，必有分解式A=LLT，其中L是對(duì)角線元素為正的下三角陣。5求積公式的代數(shù)精度為。二〔10分〕設(shè)，試求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2的多項(xiàng)式，使得三〔20分〕1利用埃米特插值多項(xiàng)式推導(dǎo)帶有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的求積公式且其余項(xiàng)為2利用這個(gè)公式推導(dǎo)所謂帶修正項(xiàng)的復(fù)化梯形求積公式這里：四〔15分〕試確定系數(shù)，使微分方程的數(shù)值計(jì)算公式具有盡可能高的局部截?cái)嗾`差?！卜?hào)說(shuō)明：〕五〔15分〕方程在附近有根，對(duì)于給定的迭代關(guān)系式，試問(wèn)：1、問(wèn)迭代是否收斂；假設(shè)收斂，用列表形式給出其前6步迭代的近似根。2、估計(jì)該迭代式的收斂速度。六〔15分〕方程組，其中，試?yán)玫諗康臈l件給出使雅可比迭代法收斂的的取值圍，給出使雅可比迭代收斂最快的取值，并用2至3個(gè)的具體值進(jìn)展計(jì)算，數(shù)值化地說(shuō)明其迭代收斂的快慢程度?！舱f(shuō)明：數(shù)值實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)請(qǐng)以列表形式寫出?！场苍嚲砥摺骋惶羁疹}〔每空4分，共24分〕1，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。2設(shè)，當(dāng)滿足條件時(shí)，A可作LU分解。3設(shè)非線性方程，其根，，則求的近似值時(shí)，二階局部收斂的牛頓迭代公式是。4設(shè)，則，。5用積分計(jì)算，為使誤差的絕對(duì)值不超過(guò)，問(wèn)用復(fù)化梯形公式至少要取個(gè)結(jié)點(diǎn)。二〔21分〕設(shè)，插值條件如下表0122341－11給出滿足上述插值條件的插值多項(xiàng)式；2求其余項(xiàng)；3給出，的近似值。三〔25分〕設(shè)1推導(dǎo)中矩公式；2導(dǎo)出復(fù)化中矩公式；3利用復(fù)化中矩公式，計(jì)算定積分〔精度為，并將各次復(fù)化的計(jì)算結(jié)果排成一數(shù)據(jù)表〕。四〔15分〕求常數(shù)、、、，使解微分方程初值問(wèn)題，的以下數(shù)值計(jì)算公式〔1〕的局部截?cái)嗾`差盡可能地高(假設(shè)〔1〕式右端所用信息均為準(zhǔn)確的)。五〔15分〕設(shè)為對(duì)稱正定方程組1求使迭代過(guò)程收斂的數(shù)的變化圍；2用此法解方程組〔取初值，給出前6次迭代的數(shù)據(jù)表〕。第1問(wèn)提示：考慮使迭代矩陣的數(shù)的取值?！苍嚲戆恕骋弧?5分〕準(zhǔn)確值為，假設(shè)取近似值，試問(wèn)該近似值具有幾位有效數(shù)字。二〔15分〕方程在附近有根，對(duì)于給定的迭代關(guān)系式，試問(wèn)：該迭代是否收斂.2、假設(shè)收斂，估計(jì)收斂速度。三〔15分〕函數(shù)表如下，求二次拉氏插值多項(xiàng)式。*314y425四〔20分〕在[－1，1]上，取節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造插值型求積公式，并求它的代數(shù)精度。五〔15分〕寫出線性方程組的雅可比迭代式。六〔20分〕試確定系數(shù)，使微分方程的數(shù)值計(jì)算公式具有盡可能高的局部截?cái)嗾`差?！卜?hào)說(shuō)明：〕〔試卷九〕一填空題〔每空4分，共24分〕1，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。，，從而故具有4位有效數(shù)字。2設(shè)，當(dāng)滿足何條件時(shí)，A可作LU分解。假設(shè)，，即：，則A可作LU分解。3設(shè)非線性方程，其根，，則求的近似值時(shí)，求其二階局部收斂的牛頓迭代公式。，，其迭代式為，，故因此，上述迭代為二階局部收斂的4設(shè)，求，。，，5用積分計(jì)算，為使誤差的絕對(duì)值不超過(guò)，問(wèn)用復(fù)化梯形公式至少要取多少個(gè)結(jié)點(diǎn)。，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化梯形求積公式，其誤差為，欲使，取，，，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。二〔21分〕設(shè)，插值條件如下表0122341－11給出滿足上述插值條件的插值多項(xiàng)式；2求其余項(xiàng)；3給出，的近似值。設(shè)，利用插值條件可得線性方程組，，，，利用圖形計(jì)算器，解此線性方程組可得，，，，令，其中使為異于0，1，2的點(diǎn)在0，1，2，四個(gè)互異點(diǎn)處值為零，據(jù)羅爾定理與插值條件，在[0，2]上有五個(gè)互異的零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾定理可知，在〔0，2〕上，至少存在一點(diǎn)，使，亦即，故在函數(shù)庫(kù)中建立插值多項(xiàng)式，可求得，三〔25分〕設(shè)1推導(dǎo)中矩公式；2導(dǎo)出復(fù)化中矩公式；3利用復(fù)化中矩公式，計(jì)算定積分〔精度為，并將各次復(fù)化的計(jì)算結(jié)果排成一數(shù)據(jù)表〕。兩邊積分有，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化中矩公式復(fù)化中矩公式為，其中，截?cái)嗾`差為欲計(jì)算定積分，這里，，，欲使，即，可取于是，，在HP38G上進(jìn)展計(jì)算可得四〔15分〕求常數(shù)、、、，使解微分方程初值問(wèn)題，的以下數(shù)值計(jì)算公式〔1〕的局部截?cái)嗾`差盡可能地高(假設(shè)〔1〕式右端所用信息均為準(zhǔn)確的)。由于假定了〔1〕式右端所用信息均為準(zhǔn)確的，從而將之與的展開式相比擬，有解得所求的數(shù)值公式為五〔15分〕設(shè)為對(duì)稱正定方程組1求使迭代過(guò)程收斂的數(shù)的變化圍；2用此法解方程組〔取初值，給出前6次迭代的數(shù)據(jù)表〕。〔第1問(wèn)提示：考慮使迭代矩陣譜半徑時(shí)的取值?！骋?yàn)殡A對(duì)稱正定矩陣，故可設(shè)，是的特征根，對(duì)于迭代，其迭代矩陣的特征值為從而欲使，只需，即，因此，只需即可。對(duì)于矩陣，利用HP38G，可求得其特征值為，故不妨取，于是有迭代式將存入M1，將存入M2，將迭代初值存入M3，在HOME窗口輸入迭代式M1*M3+M2?M3，作四次迭代，可出得如下數(shù)表00．50．6110．80．750．7520．750．90．77530．83750．8750．762540．818750．918750．850．8593750．9093750．80937560．8593750．92968750．834375〔試卷十〕一填空題〔每空4分，共24分〕1，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。，，從而故具有4位有效數(shù)字。2設(shè)，當(dāng)滿足何條件時(shí)，A可作LU分解。假設(shè)，，即：，則A可作LU分解。3設(shè)非線性方程，其根，，則求的近似值時(shí)，求其二階局部收斂的牛頓迭代公式。，，其迭代式為，，故因此，上述迭代為二階局部收斂的4設(shè)，求，。，，5用積分計(jì)算，為使誤差的絕對(duì)值不超過(guò)，問(wèn)用復(fù)化梯形公式至少要取多少個(gè)結(jié)點(diǎn)。，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化梯形求積公式，其誤差為，欲使，取，，，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。二〔21分〕設(shè)，插值條件如下表0122341－11給出滿足上述插值條件的插值多項(xiàng)式；2求其余項(xiàng)；3給出，的近似值。設(shè)，利用插值條件可得線性方程組，，，，利用圖形計(jì)算器，解此線性方程組可得，，，，令，其中使為異于0，1，2的點(diǎn)在0，1，2，四個(gè)互異點(diǎn)處值為零，據(jù)羅爾定理與插值條件，在[0，2]上有五個(gè)互異的零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾定理可知，在〔0，2〕上，至少存在一點(diǎn)，使，亦即，故在函數(shù)庫(kù)中建立插值多項(xiàng)式，可求得，三〔25分〕設(shè)1推導(dǎo)中矩公式；2導(dǎo)出復(fù)化中矩公式；3利用復(fù)化中矩公式，計(jì)算定積分〔精度為，并將各次復(fù)化的計(jì)算結(jié)果排成一數(shù)據(jù)表〕。兩邊積分有，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化中矩公式復(fù)化中矩公式為，其中，截?cái)嗾`差為欲計(jì)算定積分，這里，，，欲使，即，可取于是，，在HP38G上進(jìn)展計(jì)算可得四〔15分〕求常數(shù)、、、，使解微分方程初值問(wèn)題，的以下數(shù)值計(jì)算公式〔1〕的局部截?cái)嗾`差盡可能地高(假設(shè)〔1〕式右端所用信息均為準(zhǔn)確的)。由于假定了〔1〕式右端所用信息均為準(zhǔn)確的，從而將之與的展開式相比擬，有解得所求的數(shù)值公式為五〔15分〕設(shè)為對(duì)稱正定方程組1求使迭代過(guò)程收斂的數(shù)的變化圍；2用此法解方程組〔取初值，給出前6次迭代的數(shù)據(jù)表〕?！驳?問(wèn)提示：考慮使迭代矩陣譜半徑時(shí)的取值?！骋?yàn)殡A對(duì)稱正定矩陣，故可設(shè)，是的特征根，對(duì)于迭代，其迭代矩陣的特征值為從而欲使，只需，即，因此，只需即可。對(duì)于矩陣，利用HP38G，可求得其特征值為，故不妨取，于是有迭代式將存入M1，將存入M2，將迭代初值存入M3，在HOME窗口輸入迭代式M1*M3+M2?M3，作四次迭代，可出得如下數(shù)表00．50．6110．80．750．7520．750．90．77530．83750．8750．762540．818750．918750．850．8593750．9093750．80937560．8593750．92968750．834375〔試卷十一〕一填空題〔每空4分，共24分〕1，都是由四舍五入產(chǎn)生的近似值，的有效數(shù)字是幾位。，，從而故具有4位有效數(shù)字。2設(shè)，當(dāng)滿足何條件時(shí)，A可作LU分解。假設(shè)，，即：，則A可作LU分解。3設(shè)非線性方程，其根，，則求的近似值時(shí)，求其二階局部收斂的牛頓迭代公式。，，其迭代式為，，故因此，上述迭代為二階局部收斂的4設(shè)，求，。，，5用積分計(jì)算，為使誤差的絕對(duì)值不超過(guò)，問(wèn)用復(fù)化梯形公式至少要取多少個(gè)結(jié)點(diǎn)。，取結(jié)點(diǎn)，作復(fù)化梯形求積公式，其誤差為，欲使，取，，，結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。二〔21分〕設(shè)，插值條件如下表0122341－11給出滿足上述插值條件的插值多項(xiàng)式；2求其余項(xiàng)；3給出，的近似值。設(shè)，利用插值條件可得線性方程組，，，，利用圖形計(jì)算器，解此線性方程組可得，，，，令，其中使為異于0，1，2的點(diǎn)在0，1，2，四個(gè)互異點(diǎn)處值為零，據(jù)羅爾定理與插值條件，在[0，2]上有五個(gè)互異的零點(diǎn)，反復(fù)使用羅爾定理可知，在〔0，2〕上，至