《6.2.3 向量的數(shù)乘運(yùn)算》課件（共兩套）

第6章

平面向量及其應(yīng)用6.2.2

向量的數(shù)乘運(yùn)算☆當(dāng)時，的方向和的方向相同；

當(dāng)時，的方向和的方向相反；

當(dāng)時，.向量的數(shù)乘1向量數(shù)乘的定義★一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)和向量的積是

一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作

，它的長度和方向規(guī)定如下：☆

①向量數(shù)乘的結(jié)果仍然是向量，這

個向量的長度、方向都和

以及

有關(guān)；②實(shí)數(shù)和向量可以相乘，但不能相

加減，，無意義；

③表示和向量方向相同的單位

向量

④根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量

與的方向相

同或相反.

向量的數(shù)乘1向量數(shù)乘的幾何意義

如圖，在向量數(shù)乘中，可視為將向量的長度伸長

或縮短的倍數(shù).

的符號表示是夠改變向量的方向，當(dāng)時，向量的方向和相同；當(dāng)時，向量的方向和向量相反；當(dāng)時，向量

理解意義常見的誤區(qū)

當(dāng)或時，均有,反之亦成立，即

容易出錯的是當(dāng)或的時候，誤將當(dāng)成實(shí)數(shù)0

向量的數(shù)乘1向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)，為向量，，為實(shí)數(shù)，則：（1）（2）（3）

特別地，有

向量數(shù)乘運(yùn)算律的驗(yàn)證以(1)為例驗(yàn)證：

若或或，顯然成立；

若且且，則根據(jù)向量數(shù)乘的定義有，以及

①②③即與的模長相等.

綜上，

注意，，這些特殊情況及

，同號、異號的情況.

★第二分配率的幾何意義：將表示向量，的有向線段先相加，再伸長或縮短倍，

與將表示向量，的有向線段先伸長或縮短至原來的倍后再相加，所得的結(jié)果相

同.

★結(jié)合率的幾何意義：將表示向量的有向線段先伸長或縮短至原來的倍，再伸長或

縮短倍，與將表示向量的有向線段伸長或縮短至原來的倍所得的結(jié)果相同.向量的數(shù)乘1運(yùn)算律的幾何意義以為例，解釋如下：

★第一分配率的幾何意義：將表示向量的有向線段伸長或縮短至原來的倍，與

將表示向量的有向線段先伸長或縮短至原來的倍后，在與表示向量的有向線段

伸長或縮短至原來的倍后相加所得的結(jié)果相同.

化簡下列各式：【解】(1)原式=

(2)原式=

向量的線性運(yùn)算2向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，線性運(yùn)算的結(jié)果還是向量.對于任意向量，，以及任意實(shí)數(shù)，，，恒有以下等式成立：線性運(yùn)算難點(diǎn)點(diǎn)撥

【1】向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取

公因式”，只不過這里的“同類項(xiàng)”“公因式”都是向量，實(shí)數(shù)可以看做是

向量的系數(shù).【2】對于向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是把握運(yùn)算順序，即先根據(jù)運(yùn)算律去括號，再

進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，最后進(jìn)行向量的加減，即“先乘除，后加減”.向量共線定理3向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)，使向量共線定理理解點(diǎn)撥★向量共線定理中規(guī)定的原因：①若將去掉，則當(dāng)時，顯然和共線；

②當(dāng)，若，則不存在實(shí)數(shù)使成立，此時與不共線.

③當(dāng)時，若，則對一切的實(shí)數(shù)，都有，與“有唯

一一個實(shí)數(shù)”矛盾.

向量共線定理3向量共線的條件【1】當(dāng)向量時，與任意向量共線；【2】當(dāng)向量時，對于向量，如果有一個實(shí)數(shù)，使，那么由

向量數(shù)乘的定義知與共線.

【3】反之，已知向量與共線，且向量的長度是向量的長度的

倍，即，那么當(dāng)與同方向時，有；當(dāng)與

反向時，有.

【4】如果向量與不共線，且，那么.

三點(diǎn)共線4三點(diǎn)共線的判定定理對于平面內(nèi)任意三點(diǎn)A、B、C，O為平面內(nèi)不在A、B、C所在直線上的任意一點(diǎn)，設(shè)OC=OA+OB，若實(shí)數(shù)，滿足，則A、B、C三點(diǎn)共線.

三點(diǎn)共線的判定定理的證明若存在實(shí)數(shù)，，使得OC=OA+OB，其中，O為平面內(nèi)不在A、B、C所在直線上的任意一點(diǎn)，則OC=OA+OB=OA+OB

所以O(shè)C-OA=(OB-OA)，即AC=AB，所以AC與AB共線.又因?yàn)锳C與AB有共同的起點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)共線.

在ΔABC中，D是AB邊上一點(diǎn).若AD=2DB，CD=CA+CB，求.

【解】由題意可得A、B、D三點(diǎn)共線，C為A、B、D所在直線上一點(diǎn)，且CD=CA+CB，則，

所以

∵E是AC的中點(diǎn)，所以四邊形ABCG是平行四邊形，所以AG=BC，所以DG=DA+AG=.又∵EF是ΔBGD的中位線，所以EF=GD=DG，所以EF=.因?yàn)樗倪呅蜛BCD不一定是梯形，所以E點(diǎn)不一定是BG的中點(diǎn).

平面幾何性質(zhì)運(yùn)用不準(zhǔn)確坑①如圖，E、F分別是四邊形ABCD對角線AC、BD的中點(diǎn)，設(shè)BC=，DA=，試用，表示EF.【錯解】連接BE并延長，交CD于G，連接AG，如圖.

在ΔABC中，EP是中位線，所以PE=BC+.

平面幾何性質(zhì)運(yùn)用不準(zhǔn)確坑①如圖，E、F分別是四邊形ABCD對角線AC、BD的中點(diǎn)，設(shè)BC=，DA=，試用，表示EF.【正解】如圖，取AB的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P.

在ΔABD中，F(xiàn)P是中位線，所以PF=AD=DA=.所以EF=EP+PF=-PE+PF=

【解】根據(jù)向量相等的概念，顯然可以得到，A正確；

忽視零向量坑②已知平面向量，，，下列說法正確的是哪個？若，則若，則若若//，//，則//

因?yàn)橄蛄堪ù笮『头较?，所以得不出來，故B錯誤；

若或，故C錯誤；

若，滿足//，//，但得不出//，故D錯誤.

【錯解】A、B、D三點(diǎn)共線，證明如下：

混淆“向量共線”和“線段共線”坑③已知非零向量，不共線，且AP=2，PB=，CQ=，QD=，能否判定A、B、D三點(diǎn)共線?

所以CD=-2AB，即A、B、D三點(diǎn)共線.【正解】無法判定A、B、D三點(diǎn)是否共線，原因如下：

所以CD=-2AB，但向量共線包括線段平行和共線兩種情況，所以無法判斷.已知ΔABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿足BD=3DC，則AD可以怎么表示？AD=-2AB+3ACAD=AB+ACAD=AB+ACAD=AB+AC題①

【解】如圖所示，AD=AB+BD=AB+BC=AB+(AC-AB)=AB+BC

已知非零向量，求證：//題②【證明】∵，∴.

∵，∴.

∴//.

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算第六章平面向量及其應(yīng)用思考1：如圖，已知向量a、b，求作向量a+b.●O作法1：三角形法則AB●OABCabab+OB=ab+OC=作法2：平行四邊形法則舊知導(dǎo)入探究新知思考2：A·N·M·Q·P·C·B·O·思考3：知識探究（一）：數(shù)乘運(yùn)算的定義規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算.記作它的長度和方向規(guī)定如下：知識探究（二）：數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義思考4：你能說明的幾何意義嗎？數(shù)乘向量的幾何意義就是把向量沿的方向或反方向放大或縮短.若,當(dāng)沿的方向放大了倍.當(dāng)沿的方向縮短了倍.當(dāng),沿的反方向放大了倍.當(dāng)沿的反方向縮短了倍.由其幾何意義可以看出用數(shù)乘向量能解決幾何中的相似問題.知識探究（三）：數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律思考5：如果把非零向量的長度伸長到原來的3.5倍，方向不變得到向量，向量該如何表示？向量之間的關(guān)系怎樣？思考6：如果把思考4中的長度再伸長到原來的2倍，方向不變得到向量，向量該如何表示？向量之間的關(guān)系怎樣？知識探究（三）：數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律特別地：思考7：向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算有什么共同點(diǎn)？向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是向量。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。例題講解例1：計(jì)算：例題講解例2：如圖ABDCM小試牛刀小試牛刀