2020高中數(shù)學 課時達標訓練（五）數(shù)列的概念與通項公式（含解析）5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE9學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時達標訓練（五）數(shù)列的概念與通項公式[即時達標對點練]題組1數(shù)列的概念及分類1．下列數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（)A．1，eq\f（1，3）,eq\f(1，32），eq\f(1，33），…B．sineq\f（π,13），sineq\f（2π,13）,sineq\f(3π,13）,sineq\f(4π，13）,…C．－1，－eq\f(1，2），－eq\f（1，3），－eq\f(1,4)，…D．1,2，3,4，…，30解析：選C數(shù)列1，eq\f(1，3)，eq\f(1，32)，eq\f(1，33），…是無窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列，而是遞減數(shù)列;數(shù)列sineq\f（π，13)，sineq\f（2π，13)，sineq\f（3π,13)，sineq\f(4π,13），…是無窮數(shù)列，但它既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列；數(shù)列－1，－eq\f(1，2)，－eq\f（1,3),－eq\f(1，4)，…是無窮數(shù)列，也是遞增數(shù)列;數(shù)列1,2，3,4，…,30是遞增數(shù)列，但不是無窮數(shù)列．2．已知下列數(shù)列:(1）2014,2016，2018，2020，2022；(2)1,eq\f（1，2），eq\f(1,4),…,eq\f(1,2n－1)，…；(3)1，－eq\f(2,3），eq\f（3,5），…,eq\f（（－1）n－1·n,2n－1)，…;（4）1，0，－1，…，sineq\f(nπ，2），…；(5）9，9,9，9,9,9。其中,有窮數(shù)列是________,無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________,常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________．解析:分析可知:(1）是有窮遞增數(shù)列；（2）是無窮遞減數(shù)列；(3）是擺動數(shù)列，是無窮數(shù)列；（4）是擺動數(shù)列,是無窮數(shù)列；（5)是常數(shù)列，是有窮數(shù)列．答案:(1)(5）（2)（3)(4)(1）（2)（5）（3)(4)題組2根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式3．數(shù)列－1，3,－7，15，…的一個通項公式可以是（)A．a(chǎn)n＝（－1)n·（2n－1）B．a(chǎn)n＝(－1）n·(2n－1)C．a(chǎn)n＝（－1）n＋1·（2n－1)D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·（2n－1）解析：選A數(shù)列各項正、負交替，故可用(－1)n來調(diào)節(jié)，又1＝21－1,3＝22－1，7＝23－1,15＝24－1，…,所以通項公式為an＝(－1)n·(2n－1)．4．一個無窮數(shù)列{an｝的前三項是1,2，3，下列不可以作為其通項公式的是(）A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n3－6n2＋12n－6C．a(chǎn)n＝eq\f(1，2）n2－eq\f(1,2)n＋1 D．a(chǎn)n＝eq\f(6，n2－6n＋11）解析：選C對于A，若an＝n,則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意；對于B，若an＝n3－6n2＋12n－6，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意;對于C,若an＝eq\f（1,2)n2－eq\f（1，2)n＋1，當n＝3時，a3＝4≠3，不符合題意；對于D,若an＝eq\f(6,n2－6n＋11）,則a1＝1，a2＝2,a3＝3,符合題意．故選C。5．寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1）0，3，8，15，24，…；（2）1，－3，5，－7,9,…;（3）1eq\f(1，2），2eq\f(2,3），3eq\f(3,4)，4eq\f（4,5），…；（4)1，11,111，1111，….解：（1）觀察數(shù)列中的數(shù),可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1，24＝25－1,…，所以它的一個通項公式是an＝n2－1.（2）數(shù)列各項的絕對值為1，3，5,7，9,…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正,偶數(shù)項為負,所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)．（3）此數(shù)列的整數(shù)部分1,2，3，4，…恰好是序號n，分數(shù)部分與序號n的關(guān)系為eq\f(n，n＋1），故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝n＋eq\f（n,n＋1)＝eq\f(n2＋2n，n＋1)。(4）原數(shù)列的各項可變?yōu)閑q\f(1,9)×9，eq\f(1,9)×99，eq\f（1,9)×999，eq\f（1，9)×9999，…，易知數(shù)列9,99，999，9999，…的一個通項公式為an＝10n－1。所以原數(shù)列的一個通項公式為an＝eq\f(1，9)（10n－1)．題組3數(shù)列通項公式的應用6．已知數(shù)列的通項公式an＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(3n＋1，n為奇數(shù)，，2n－2，n為偶數(shù)，）)則a2a3等于（）A．70B．28C．20D．解析：選Ca2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a37．數(shù)列eq\r（3)，3，eq\r（15)，eq\r（21）,…，則3eq\r（3）是該數(shù)列的(）A．第5項B．第6項C．第9項D．第10項解析：選Aan＝eq\r（6n－3)，由eq\r（6n－3）＝3eq\r(3），得n＝5.8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2－28n。(1)寫出數(shù)列的第4項和第6項；（2）問－49是否是該數(shù)列的一項？如果是,應是哪一項？68是否是該數(shù)列的一項呢？解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60。(2)由3n2－28n＝－49,解得n＝7或n＝eq\f（7，3)（舍去)，所以－49是該數(shù)列的第7項；由3n2－28n＝68,解得n＝－2或n＝eq\f(34，3）,均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項．［能力提升綜合練］1．在數(shù)列1，1，2,3,5，8，x,21，34，55中，x等于()A．11B．12C．13D．解析：選C觀察數(shù)列可知,后一項是前兩項的和,故x＝5＋8＝13。2．已知數(shù)列｛an｝的通項公式an＝log(n＋1）(n＋2），則它的前30項之積是（）A。eq\f(1，5）B．5C．6D。eq\f(log23＋log3132，5）解析：選Ba1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f（lg4，lg3)×…×eq\f（lg32，lg31）＝eq\f(lg32,lg2)＝log232＝log225＝5.3．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝coseq\f(nπ，2),則該數(shù)列的首項a1和第4項a4分別為()A．0，0 B．0,1C．－1,0 D．－1,1解析：選B∵an＝coseq\f（nπ，2)，∴a1＝coseq\f（π,2）＝0，a4＝cos2π＝1。4．下列命題：①已知數(shù)列{an},an＝eq\f（1,n(n＋2））（n∈N*)，那么eq\f(1，120）是這個數(shù)列的第10項，且最大項為第一項；②數(shù)列eq\r（2），eq\r(5），2eq\r（2），eq\r（11),…的一個通項公式是an＝eq\r（3n－1）;③已知數(shù)列｛an}，an＝kn－5，且a8＝11，則a17＝29.其中正確命題的個數(shù)為（)A．3個B．2個C．1個D．0個解析:選A對于①，令an＝eq\f（1，n（n＋2)）＝eq\f（1，120）?n＝10，易知最大項為第一項．①正確；對于②,數(shù)列eq\r(2)，eq\r（5）,2eq\r（2)，eq\r（11），…變?yōu)閑q\r（2）,eq\r(5），eq\r(8），eq\r（11），…?eq\r（3×1－1)，eq\r(3×2－1），eq\r(3×3－1），eq\r（3×4－1），…?an＝eq\r（3n－1)，②正確;對于③,an＝kn－5，且a8＝11,故k＝2.即an＝2n－5.所以a17＝2×17－5＝29。故③正確．5．已知數(shù)列｛an｝的前四項為11，102，1003,10004，…，則它的一個通項公式為________．解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以該數(shù)列的一個通項公式是an＝10n＋n。答案：an＝10n＋n6．已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an＝n2－8n＋12，那么該數(shù)列中為負數(shù)的項一共有________項．解析：令an＝n2－8n＋12<0，解得2〈n〈6，又因為n∈N＊，所以n＝3,4，5,一共有3項．答案：37．已知數(shù)列｛an}的通項公式為an＝qn，且a4－a2＝72。(1)求實數(shù)q的值；(2)判斷－81是否為此數(shù)列中的項．解:（1）由題意知q4－q2＝72?q2＝9或q2＝－8（舍去)，∴q＝±3.(2)當q＝3時，an＝3n，顯然－81不是此數(shù)列中的項；當q＝－3時，an＝（－3)n，令(－3）n＝－81＝－34，也無解．∴－81不是此數(shù)列中的項．8．在數(shù)列｛an｝中，a1＝2，a17＝66,通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．（1)求