交通大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二學期期末考試試卷2及答案

2011-2012學年第二學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學期末考試試卷（A卷）答案PagePAGE10ofNUMPAGES10第10頁共10頁PAGE1交通大學2011~2012學年第二學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷（A卷）一．（本題滿分8分）在某個社區(qū)，60%的家庭擁有汽車，30%的家庭擁有房產(chǎn)，而20%的家庭既有汽車又有房產(chǎn)．現(xiàn)隨機地選取一個家庭，求此家庭或者有汽車或者有房產(chǎn)但不是都有的概率．解：設(shè)“任取一個家庭擁有汽車”，“任取一個家庭擁有房產(chǎn)”．由題設(shè)得，，．因此有；．所求概率為．二．（本題滿分8分）假設(shè)一個人在一年中患感冒的次數(shù)服從參數(shù)為的Poisson分布．現(xiàn)有一種預(yù)防感冒的新藥，它對于22%的人來講，可將上面的參數(shù)降為（稱為療效顯著）；對37%的人來講，可將上面的參數(shù)降為（稱為療效一般）；而對于其余的人來講則是無效的．現(xiàn)有一人服用此藥一年，在這一年中，他患了2次感冒，求此藥對他是“療效顯著”概率有多大？解：設(shè)，，，．由題設(shè)，可知如果事件發(fā)生，則服從參數(shù)為的Poisson分布；如果事件發(fā)生，則服從參數(shù)為的Poisson分布；如果事件發(fā)生，則服從參數(shù)為的Poisson分布．因此，由Bayes公式，我們有．三．（本題滿分8分）某人住家附近有一個公交車站，他每天上班時在該站等車的時間（單位：分鐘）服從的指數(shù)分布，如果他候車時間超過分鐘，他就改為步行上班．求他一周天上班時間中至少有天需要步行的概率．解：的密度函數(shù)為．設(shè)“候車時間超過5分鐘”，則．設(shè)：一周5天中他需要步行上班的天數(shù)．則，因此所求概率為．四．（本題滿分8分）設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為．⑴求常數(shù)；⑵求的分布函數(shù)．解：⑴由密度函數(shù)的性質(zhì)，得，解方程，得．⑵當時，；當時，；當時，．綜上所述，隨機變量的分布函數(shù)為．五．（本題滿分8分）設(shè)個隨機變量相互獨立，都服從區(qū)間上的均勻分布，令，⑴求隨機變量的密度函數(shù)；⑵求數(shù)學期望．解：⑴隨機變量的密度函數(shù)為，分布函數(shù)為．隨機變量的密度函數(shù)為．⑵．六．（本題滿分8分）設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為⑴求隨機變量的邊際密度函數(shù)；（5分）⑵求條件密度函數(shù)．（3分）解：當，或者時，；當時，所以，隨機變量的邊際密度函數(shù)為．當時，，因此當時，關(guān)于的條件密度函數(shù)為即當時，條件密度函數(shù)為．七．（本題滿分8分）設(shè)隨機變量與相互獨立，而且都服從正態(tài)分布．再令，，其中與是不全為零的常數(shù)，求隨機變量與的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)．解：由于隨機變量與都服從正態(tài)分布，所以，．；．再由于隨機變量與相互獨立，故有，，，所以，．八．（本題滿分8分）某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對治愈一種疑難的血液病的治愈率為．醫(yī)院檢驗員任意抽查個服用此藥品的病人，如果其中多于人治愈，就接受這一斷言；否則就拒絕這一斷言．試用中心極限定理計算，⑴如果實際上對這種疾病的治愈率確為，問拒絕這一斷言的概率是多少？⑵如果實際上對這種疾病的治愈率為，問接受這一斷言的概率是多少？（附，標準正態(tài)分布的分布函數(shù)的某些數(shù)值：解：設(shè)：100位服用此藥品的病人中治愈此病的人數(shù)，則．⑴當時，．⑵當時，．九．（本題滿分8分）設(shè)總體，是取自總體中的一個樣本，令，，．計算統(tǒng)計量的分布（不需求出的密度函數(shù)，只需指出所服從的分布及其參數(shù)）．解：由題設(shè)可知，，，所以有．因此有．又由，得．因此由分布的構(gòu)造，得．十．（本題滿分8分）設(shè)總體服從參數(shù)為的幾何分布，其分布律為．其中是未知參數(shù)，．是取自該總體中的一個樣本．試求參數(shù)的極大似然估計量．解：似然函數(shù)為所以，．所以，，解方程，得．因此的極大似然估計量為．十一．（本題滿分10分）⑴設(shè)總體等可能地取值，，，，，其中是未知的正整數(shù)．是取自該總體中的一個樣本．試求的極大似然估計量．（7分）⑵某單位的自行車棚內(nèi)存放了輛自行車，其編號分別為1，2，3，…，，假定職工從車棚中取出自行車是等可能的．某人連續(xù)12天記錄下他觀察到的取走的第一輛自行車的編號為12，203，23，7，239，45，73，189，95，112，73，159，試求在上述樣本觀測值下，的極大似然估計值．（3分）解：⑴總體的分布列為，．所以似然函數(shù)為，．當越小時，似然函數(shù)越大；另一方面，還要滿足：，即．所以，的最大似然估計量為．⑵由上面的所求，可知的最大似然估計值為．十二．（本題滿分10分）三個朋友去喝咖啡，他們決定用如下的方式付賬：每人各擲一枚均勻的硬幣，如果某人擲出的結(jié)果與其余兩人的不一樣，則由該人付賬；如果三人擲出