2019年高考數(shù)學真題考點37 橢圓

考點37橢圓一、選擇題（2019全國卷I理科T10同2019全國卷I文科T12）已知橢圓C的焦點為F]（_i,o）,F2（1,O）,過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF]|,則C的方程為（）'''A.—+y2=1B.—+—=1C—+—=1D.—+—=1【命題意圖】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).【解析】選B.如圖，由已知可設(shè)=^則=2n,==3n，由橢圓的定義有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在中，由余弦定理推論得coszF]AB=在厶AF]F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2?2e2n-=4,解得n=—.所以2a=4n=2，所以a=，所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求橢圓方程為一+一=1,故選B.（2019北京高考理科T4）已知橢圓一+—=1（a>b>0）的離心率為「則（）A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【命題意圖】本題考查了橢圓的標準方程和橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用以及數(shù)學運算能力.【解析】選B.離心率平方e2=—=^—=-，即4（a2-b2）=a2，即3a2=4b2.二、填空題（2019全國卷皿理科T15同2019全國卷皿文科T15）設(shè)F],F2為橢圓C：—+—=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若^MFtF2為等腰三角形貝I」M的坐標為.【解析】已知橢圓C：—+—=1可知,a=6,c=4,由M為C上一點且在第一象限，故等腰aMF^中,MFt=FtF2=&MF2=2a-MF1=4,sinzF1F2M=——=—,y斫皿2$花卩￡皿=—,代入C：—+—=1可得xM=3?故M的坐標為(3,—)?答案：(3,—)(2019浙江高考T15)已知橢圓一+—=1的左焦點為F,點P在橢圓上且在x軸的上方,若線段PF的中點在以原點O為圓心,|OF|為半徑的圓上則直線PF的斜率是?【命題意圖】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合思想,是解答解析幾何問題的重要途徑.【解析】設(shè)線段PF的中點為M.方法一：由題意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位線定理可得|PFJ=2|OM|=4,設(shè)P(X,y),可得(X-2)2+y2=16,聯(lián)立方程一+_=1-可解得x=--或X=—(舍)，點P在橢圓上且在X軸的上方,方法二：焦半徑公式應(yīng)用由題意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位線定理可得|PFil=2|OM|=4,即a-exP=4nxP=_—,求得PJ，—，所以kPF=—=答案：—三、解答題(2019全國卷□文科T20)已知F],f2是橢圓C：—+—=1(a>b>0)的兩個焦點,P為C上一點,0為坐標原點.若aPOF?為等邊三角形，求C的離心率.如果存在點P,使得PF】丄pf2,且*￡卩2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.【命題意圖】考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的關(guān)系以及橢圓的有關(guān)運算.【解析】(1)連接PF】,由/OF?為等邊三角形可知在訐]阡2中,zFiPF2=90°,|pF2|=c，|PF]|=飛于是2*門|+時2|=(_+1)c,故C的離心率是e=-=-1?(2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在當且僅當-|y|^2c=16——=-1-即c|y|=16,①X2+y2=C2，②_+_=1,③由②③及a2=b2+C2得y2=-，又由①知y2=—，故b=4.由②③得X2=