函數(shù)與方程復(fù)習(xí)講義全

...函數(shù)與方程復(fù)習(xí)講義一．[目標(biāo)要求]①結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,②判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)．③會(huì)理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性.二．[基礎(chǔ)知識(shí)]1．函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù),我們把方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的零點(diǎn)。2．函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與有點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)3．函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在,使得,這個(gè)也就是方程的根。注：若恒成立,則沒(méi)有零點(diǎn)。三．[技巧平臺(tái)]1.對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的理解及補(bǔ)充〔1若在處其函數(shù)值為0,即,則稱為函數(shù)的零點(diǎn)?！?變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)①若函數(shù)在零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào),則稱該零點(diǎn)為函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)。②若函數(shù)在零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào),則稱該零點(diǎn)為函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)。③若函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)的曲線,則是在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件。〔3一般結(jié)論：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根。從圖像上看,函數(shù)的零點(diǎn),就是它圖像與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?！?更一般的結(jié)論：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)與的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)〔或方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)確定方法代數(shù)法：函數(shù)的零點(diǎn)的根幾何法：有些不容易直接求出的函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根,可利用的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)。畫(huà)注意二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題有2個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)不等實(shí)根有1個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相等實(shí)根無(wú)零點(diǎn)無(wú)實(shí)根對(duì)于二次函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),要結(jié)合圖像進(jìn)行確定對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,可畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像,看其交點(diǎn)個(gè)數(shù)有幾個(gè),則這些交點(diǎn)橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值就有幾個(gè)零點(diǎn)。方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題,要以根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值乘積的正負(fù)來(lái)確定,但要確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需進(jìn)一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,在給定的區(qū)間上,如果函數(shù)是單調(diào)的,它至多有一個(gè)零點(diǎn),如果不是單調(diào)的,可繼續(xù)細(xì)分出小的單調(diào)區(qū)間,再結(jié)合這些小的區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值的正負(fù),作出正確的判斷。要特別注意數(shù)形結(jié)合解出方程解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題。3.一元二次函數(shù)的零點(diǎn)、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之間的關(guān)系。為學(xué)習(xí)的方便,在解一元二次不等式和一元二次方程時(shí),把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù),〔1恒成立,恒成立〔2的解集為R的解集為R〔3對(duì)于二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題,參照第1.5〔1和1.5〔2節(jié)4.用二分法求方程的近似解㈠給定精確度,用二分法求方程的近似解的基本步驟如下：1.精確區(qū)間,使.令.2.取區(qū)間的中點(diǎn),計(jì)算一般步驟<1>如果,則就是的零點(diǎn),計(jì)算終止；<2>如果,則零點(diǎn)位于區(qū)間,令；<3>如果,則零點(diǎn)位于區(qū)間令。3.取區(qū)間的中點(diǎn),計(jì)算<1>如果,則就是的零點(diǎn),計(jì)算終止；<2>如果,則零點(diǎn)位于區(qū)間,令；<3>如果,則零點(diǎn)位于區(qū)間令?！?．判斷是不是達(dá)到精確度,即如果,則得到零點(diǎn)近似值a或<b>；否則就重復(fù)步驟2-4函數(shù)與方程復(fù)習(xí)題1.<2015XX2>下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是〔〔A〔B〔C〔D[答案]A2.<2015天津8>已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是<>〔A〔B〔C〔D[答案]D[解析]由得,所以,即,所以恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有4個(gè)不同的解,即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個(gè)公共點(diǎn),由圖象可知.[考點(diǎn)定位]求函數(shù)解析、函數(shù)與方程思、數(shù)形結(jié)合.3.<2015XX15>已知,若存在實(shí)數(shù),使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是.[答案].[解析]試題分析：分析題意可知,問(wèn)題等價(jià)于方程與方程的根的個(gè)數(shù)和為,若兩個(gè)方程各有一個(gè)根：則可知關(guān)于的不等式組有解,∴,從而；若方程無(wú)解,方程有2個(gè)根：則可知關(guān)于的不等式組有解,從而,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.4.<2015北京14>設(shè)函數(shù)①若,則的最小值為；②若恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是．[答案]<1>1,<2>或.[解析]①時(shí),,函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)值大于1,在為減函數(shù),在為增函數(shù),當(dāng)時(shí),取得最小值為1；〔2①若函數(shù)在時(shí)與軸有一個(gè)交點(diǎn),則,并且當(dāng)時(shí),,則,函數(shù)與軸有一個(gè)交點(diǎn),所以；②若函數(shù)與軸有無(wú)交點(diǎn),則函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí)與軸有無(wú)交點(diǎn),在與軸有無(wú)交點(diǎn),不合題意；當(dāng)時(shí),,與軸有兩個(gè)交點(diǎn),和,由于,兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)均滿足；綜上所述的取值范圍或.5.<2015XX13>已知函數(shù),,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為[答案]4[解析]由題意得：求函數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和,因?yàn)?所以函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn),又,所以函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn),因此共有4個(gè)交點(diǎn)6.<2014XX08已知函數(shù),.若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是〔A〔B〔C〔D[答案]B[解析]畫(huà)出的圖象最低點(diǎn)是,過(guò)原點(diǎn)和時(shí)斜率最小為,斜率最大時(shí)的斜率與的斜率一致。7.<2014天津14已知函數(shù),.若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________.[答案]或.[解析]在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y＝f<x>與y＝a|x－1|的圖像如圖所示．當(dāng)y＝a|x－1| 與y＝f<x>的圖像相切時(shí),由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<－ax＋a＝－x2－3x,,a>0,>>整理得x2＋<3－a>x＋a＝0,則 Δ＝<3－a>2－4a＝a2－10a＋9＝0,解得a＝1或a＝9.故當(dāng)y＝a|x－1|與y＝f<x> 的圖像有四個(gè)交點(diǎn)時(shí),0<a<1或a>9.8.<2014XX13已知是定義在上且周期為3的函數(shù),當(dāng)時(shí),在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)〔互不相同,則實(shí)數(shù)的取值范圍是．[答案][解析]根據(jù)題目條件,零點(diǎn)問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合,通過(guò)找與的圖象交點(diǎn)去推出零點(diǎn),先畫(huà)出[0,3]上的圖像,再將軸下方的圖象對(duì)稱到上方,利用周期為3,將圖象平移至,發(fā)現(xiàn)若圖象要與有10個(gè)不同的交點(diǎn),則9．已經(jīng)函數(shù),則在[0,2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔BA．1 B．2 C．3 D．410．下列函數(shù)中,在上有零點(diǎn)的函數(shù)是〔DA．B．C．D．11. 設(shè)定義在R上的函數(shù),若關(guān)于x的方程f2<x>+af<x>+b=O有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔DA.<0,1> B.<-,-1>C.<1,+> D.<-,—2>U<—2,—1>12.已知函數(shù)與g<x>=x3+t,若f<x>與g<x>的交點(diǎn)在直線y=x的兩側(cè),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是〔BA.<-6,0] B.<-6,6> C.<4,+> D.<-4,4>13．"m＜1"是"函數(shù)f<x>＝x2＋2x＋m有零點(diǎn)"的〔AA．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件14．設(shè)函數(shù)f<x>＝eq\f<1,x>,g<x>＝ax2＋bx〔a,b∈R,a≠0,若y＝f<x>的圖象與y＝g<x>的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A<x1,y1>,B<x2,y2>,則下列判斷正確的是〔DA．當(dāng)a＜0時(shí),x1＋x2＜0,y1＋y2＜0B．當(dāng)a＜0時(shí),x1＋x2＞0,y1＋y2＞0C．當(dāng)a＞0時(shí),x1＋x2＞0,y1＋y2＜0D．當(dāng)a＞0時(shí),x1＋x2＜0,y1＋y2＞015.設(shè)函數(shù)f〔x〔xR滿足f〔－x＝f〔x,f〔x＝f〔2－x,且當(dāng)x［0,1］時(shí),f〔x＝x2,又函數(shù)g〔x＝｜xcos〔x｜,則函數(shù)h〔x＝g〔x－f〔x在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔BA、5B、6C、7D、816．〔20XXXX若,則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間<>A.和內(nèi)B.和內(nèi)C.和內(nèi)D.和內(nèi)[答案]A17．〔20XXXX函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔A.3B.2C.1D.0[答案]B18．〔20XX天津數(shù)學(xué)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔

<A>1 <B>2 <C>3 <D>4[答案]B19．〔2013上海方程的實(shí)數(shù)解為_(kāi)_______[答案].20.<2012XX11>設(shè)函數(shù)f<x>滿足f<>=f<x>,f<x>=f<2x>,且當(dāng)時(shí),f<x>=x3.又函數(shù)g<x>=|xcos|,則函數(shù)h<x>=g<x>-f<x>在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔<A>5<B>6<C>7<D>8[答案]B21.<2012XX9>函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔A．4B．5C．6D．7[答案]C22.<2012天津14>已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.[答案]或23、已知,在上都有且只有一個(gè)零點(diǎn),的零點(diǎn)為,的零點(diǎn)為,則〔AA．B．C．D．24.<2012XX17>曲線上,其中與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．〔1求炮的最大射程；〔2不超過(guò)多少時(shí),炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由．[答案]解：〔1在炮的最大射程是10,∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在,使的方程。此時(shí),〔不考慮另一根?！喈?dāng)不超過(guò)6炮彈可以擊中目標(biāo)。25．用"二分法"求方程在區(qū)間的實(shí)數(shù)根,取區(qū)間中點(diǎn)為,那么下一個(gè)有根的區(qū)間是；[2,2.5]26．用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中得到,,,則函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間〔BA．〔1,1.25B．〔1.25,1.5C．〔1.5,2D．無(wú)法確定27．已知函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn),在用二分法尋找零點(diǎn)的過(guò)程中,依次確定了零點(diǎn)所在的區(qū)間為,,,則下列說(shuō)法中正確的是〔BA．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)B．函數(shù)在區(qū)間或有,或零點(diǎn)是C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間或有零點(diǎn)28．下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是〔BA．B．C．D．29．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的,有如下的,對(duì)應(yīng)值表123456123.5621.45-7.8211.57-51.76-126.49函數(shù)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有〔BA．2 B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)30.如果函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算,起參考數(shù)據(jù)如下11.51.251.3751.43751.4062520.625-0.984-0.2600.162-0.054則方程的一個(gè)近似解〔精確到0.1為CA、1.2B、1.3C、1.4D、1.531.求方程在區(qū)間內(nèi)的近似根,用二分法計(jì)算到到達(dá)精確度要求,那么所取誤差是＿＿C＿＿A、0.05B、0.005C、0.0005D、0.0000532.若是方程的解,則屬于區(qū)間〔DA．〔0,1 B．〔1,1.25 C．〔1.25,1.75 D．〔1.75,233．已知方程,下列說(shuō)法正確的是〔CA．方程的解在內(nèi)B．方程的解在內(nèi)C．方程的解在內(nèi)D．方程的解在內(nèi)34．若關(guān)于的方程的一個(gè)根在內(nèi),另一根在內(nèi),求的取值范圍。<>解：關(guān)于x的方程3x2﹣5x+a=0的一個(gè)根在〔﹣2