平面問(wèn)題極坐標(biāo)解答課件

彈性力學(xué)第四章1Chapter4Solutionofplaneproblemsinpolarcoordinates

第四章平面問(wèn)題極坐標(biāo)解答彈性力學(xué)第四章1Chapter4Solutionof彈性力學(xué)第四章2

解平面問(wèn)題時(shí)，對(duì)圓形、楔形、扇形、圓環(huán)形的物體，用極坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)方便。如天平刀口為常數(shù)，用極坐標(biāo)易于表示，而用直角坐標(biāo)不大方便解決極坐標(biāo)下的平面問(wèn)題，仍要從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三個(gè)方面來(lái)考慮。彈性力學(xué)第四章2解平面問(wèn)題時(shí)，對(duì)圓形、楔形彈性力學(xué)第四章3Polarcoordinates極坐標(biāo)ThepositionofapointPinpolarcoordinatesisdefinedbytheradialcoordinateρa(bǔ)ndtheangularcoordinateφ.

一點(diǎn)P的極坐標(biāo)用徑向坐標(biāo)ρ和角坐標(biāo)φ表示P(ρ,φ)

displacements:位移：uρ

uφ

strains:應(yīng)變:ρ

φ

rρφstresses:

應(yīng)力：ρ

φ

ρφbodyforce:體力:

fρ

、

fφ彈性力學(xué)第四章3Polarcoordinates極坐標(biāo)彈性力學(xué)第四章4x

ρ

φ

ρ

φy彈性力學(xué)第四章4彈性力學(xué)第四章54.1Differentialequationsofequilibriuminpolarcoordinates極坐標(biāo)中的平衡微分方程P52Fig.4-1;P52(中)圖4-1PABCxyO彈性力學(xué)第四章54.1Differentialequa2.平衡微分方程考慮微元體平衡（取厚度為1）：PABCxyO2.平衡微分方程考慮微元體平衡（取厚度為1）：PABCxy將上式化開(kāi)：（高階小量，舍去）PABCxyO將上式化開(kāi)：（高階小量，舍去）PABCxyO兩邊同除以：兩邊同除以，并略去高階小量：PABCxyO同理可以推得：兩邊同除以：兩邊同除以——剪應(yīng)力互等定理于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：（4－1）方程（4－1）中包含三個(gè)未知量，而只有二個(gè)方程，是一次超靜定問(wèn)題，需考慮變形協(xié)調(diào)條件才能求解。PABCxyO——剪應(yīng)力互等定理于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：（4－1）彈性力學(xué)第四章10Review:differentialequationsofequilibriuminrectangularcoordinate直角坐標(biāo)平衡方程x/x+yx/y+fx=0--x方向的平衡方程，體力和應(yīng)力都是x方向，故應(yīng)力的第二個(gè)下標(biāo)為x方向。對(duì)應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)求導(dǎo)。y/y+xy/x+fy=0--y方向的平衡方程，體力和應(yīng)力都是y方向，故應(yīng)力的第二個(gè)下標(biāo)為y方向。對(duì)應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)求導(dǎo)。Inthefirst(second)differentialequationofequilibrium,thebodyforceandstressesareinthex(y)direction,thesecondcoordinatesubscriptinstressesisx(y),thedifferentialofstressesisrespecttothefirstsubscripts.彈性力學(xué)第四章10Review:differential彈性力學(xué)第四章11兩種坐標(biāo)系中的平衡微分方程的比較x/x+yx/y+fx=0y/y+xy/x+fy=0(2-2)ρ/ρ

+

ρφ

/(ρφ)+(ρ-φ)/ρ+fr=0(4.1.1)φ/(ρφ)+ρφ/ρ+2ρφ/ρ+fφ=0(4.1.2)(ρ-φ

)/ρ---正ρ面面積大于負(fù)ρ面面積,φ與通過(guò)形心的ρ軸有一角度2ρφ/ρ----ρφ作用的正ρ面面積大于負(fù)ρ面面積，ρφ與通過(guò)形心的φ軸有一角度彈性力學(xué)第四章11兩種坐標(biāo)系中的平衡微分方程的比較x/彈性力學(xué)第四章124.2geometricalandphysicalequationsinpolarcoordinates極坐標(biāo)中的幾何物理方程P57(E)Fig.4.2.1;P60(中)圖4-2彈性力學(xué)第四章124.2geometricaland彈性力學(xué)第四章13Onlytheradialdisplacementtakesplace只有徑向位移PP=

uρ

AA=uρ+uρ/ρdρ

BB=uρ+uρ/φdφρ=(PA-PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(uρ+uρ/ρdρ)-uρ]/dρ=uρ/ρ

φ

=(PB-PB)/PB=[(ρ+uρ)dφ-ρdφ]/(ρdφ)=uρ/ρ彈性力學(xué)第四章13Onlytheradialdisp彈性力學(xué)第四章14Onlytheradialdisplacementtakesplace只有徑向位移theangleofrotationofPAwillbe=0theangleofrotationofPBwillbe=(BB-PP)/PB=[(uρ+uρ/φdφ)-uρ]/ρdφ=uρ/(ρφ)

rρφ=+=uρ/(ρφ)

彈性力學(xué)第四章14Onlytheradialdisp彈性力學(xué)第四章15Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有環(huán)向位移PP=uφ

AA=uφ+uφ/ρdρBB=uφ+uφ/φdφρ=0φ=(PB-PB)/PB=(BB-PP)/PB=[(uφ+uφ/φdφ)-uφ]/(ρdφ)=uφ/(ρφ)彈性力學(xué)第四章15Onlythecircumferen彈性力學(xué)第四章16Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有環(huán)向位移theangleofrotationofPAwillbe=(AA-PP)/PA=[(uφ+uφρdρ)-uφ]/dρ=uφ/ρtheangleofrotationofPBwillbe

=-<POP=-PP/OP=-uφ/ρrρφ

=+=uφ/ρ-uφ/ρ彈性力學(xué)第四章16Onlythecircumferen彈性力學(xué)第四章17

geometricalequationsinrectangularcoordinates

直角坐標(biāo)中的幾何方程

x=u/xy=v/yrxy=u/y+v/xgeometricalequationsinpolarcoordinates

極坐標(biāo)中的幾何方程

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)

rρφ

=uρ/(ρφ)

+uφ/ρ-uφ/ρ彈性力學(xué)第四章17geometricalequati彈性力學(xué)第四章18x=u/x

y=v/y中的規(guī)律由x=u/x

y=v/y，得出規(guī)律：某一坐標(biāo)方向的位移對(duì)該坐標(biāo)求導(dǎo)為該坐標(biāo)方向的正應(yīng)變中的項(xiàng)。1.x=u/x---x方向的位移u對(duì)x坐標(biāo)求導(dǎo)u/x為x方向線段的正應(yīng)變x

。2.y=v/y---y方向的位移v

對(duì)y坐標(biāo)求導(dǎo)v/y為y方向線段的正應(yīng)變y

。將此規(guī)律應(yīng)用到極坐標(biāo)。則有ρ方向的位移uρ對(duì)ρ求導(dǎo)為ρ方向的正應(yīng)變中的項(xiàng)ρ=uρ/ρ。φ方向的位移uφ對(duì)φ求導(dǎo)（再除以ρ以保持因次一致），為φ方向的正應(yīng)變中的項(xiàng)φ=uφ/(ρφ)。彈性力學(xué)第四章18x=u/xy=v/y中的規(guī)彈性力學(xué)第四章19τxy=u/y+v/x中的一般規(guī)律由τxy=u/y+v/x，總結(jié)出一般規(guī)律，即設(shè)有兩個(gè)正交坐標(biāo)方向，一個(gè)坐標(biāo)方向的位移（如u）對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)方向（y）求導(dǎo)為該坐標(biāo)方向（y）線段的轉(zhuǎn)角。1.u/y--x方向的位移u

對(duì)y坐標(biāo)求導(dǎo)為y方向線段的轉(zhuǎn)角。2.v/x--y方向的位移v

對(duì)x坐標(biāo)求導(dǎo)為x方向線段的轉(zhuǎn)角。應(yīng)用這一規(guī)律于極坐標(biāo)，就能方便地解釋uρ/(ρφ)

+uφ/ρ為rρφ中的項(xiàng)。彈性力學(xué)第四章19τxy=u/y+v/x中的一般規(guī)彈性力學(xué)第四章20

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)

φ=[2(r+a)-2r])/2r=a/r彈性力學(xué)第四章20

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)彈性力學(xué)第四章21

rρφ

=uρ/(ρφ)

+uφ/ρ-uφ/ρ彈性力學(xué)第四章21rρφ=uρ/(ρφ)+uφ彈性力學(xué)第四章22

physicalequationsinpolarcoordinates極坐標(biāo)中的物理方程Thephysicalequationsinthetwocoordinatesystemsmusthavethesameform,butwithρ

andφ

inplaceofxandyrespectively.x=[x-y]/E(2-12)y=[y-x]/Erxy=xy/Gx--ρ

y--φρ=[ρ-φ]/E(4-3)φ=[φ

-ρ]/E

rρφ=ρφ/G彈性力學(xué)第四章22physicalequations彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）幾何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面應(yīng)力情形)彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊lla取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：半平面體a取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：半平面體平面問(wèn)題極坐標(biāo)解答課件4.3stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)及相容方程4.3stressfunctionandcompat1.極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與相容方程方法1：（步驟）（1）利用極坐標(biāo)下的幾何方程，求得應(yīng)變表示的相容方程：（2）利用極坐標(biāo)下的物理方程，得應(yīng)力表示的相容方程：（常體力情形）（3）利用平衡方程求出用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量：（4）將上述應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程，得應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程：（常體力情形）1.極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與相容方程方法1：（步驟）（1）利用方法2：（用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系求得到）xyOPxy（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系：（2）應(yīng)力分量與相容方程的坐標(biāo)變換：應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換方法2：（用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系求得到）xyOPx(a)(b)(a)(b)(c)xyOPxy由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系（2－24）：(c)xyOPxy由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系（2－24平面問(wèn)題極坐標(biāo)解答課件極坐標(biāo)下應(yīng)力分量計(jì)算公式：（4－5）可以證明：式（4－5）滿足平衡方程（4－1）。相容方程的坐標(biāo)變換說(shuō)明：式（4－5）僅給出體力為零時(shí)的應(yīng)力分量表達(dá)式。體力分量為零時(shí)，這些分量確能滿足平衡微分方程。極坐標(biāo)下應(yīng)力分量計(jì)算公式：（4－5）可以證明：式（4－5）滿相容方程的坐標(biāo)變換(a)(b)將式(a)與(b)相加，得相容方程的坐標(biāo)變換(a)(b)將式(a)與(b)相加，得得到極坐標(biāo)下的Laplace微分算子：極坐標(biāo)下的相容方程為：（4－6）方程（4－6）為常體力情形的相容方程。說(shuō)明：得到極坐標(biāo)下的Laplace微分算子：極坐標(biāo)下的相容方（4－6）當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，歸結(jié)為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足：（1）滿足相容方程（4-6）；（2）在邊界上的應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)；（3）如為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（4－6）當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，歸結(jié)為彈性力學(xué)第四章384.4coordinatetransformationofstresscomponents應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式Egs.(4-7)---(4-8)彈性力學(xué)第四章384.4coordinatetrans本節(jié)研究極坐標(biāo)應(yīng)力分量與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量間的變換關(guān)系。一、用、、表示、、和本節(jié)研究極坐標(biāo)應(yīng)力分量與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量間的變換關(guān)系。一、用

取厚度為１的三角形單元體A(注意：兩個(gè)面的法線分別與x、y軸平行，一個(gè)面的法線與ρ的的方向平行)，它的ab為x面，ac為y面，bc為ρ

面。各面應(yīng)力如圖所示。Bc的長(zhǎng)度為dx，ab及ac的長(zhǎng)度分別為ds×cosφ及ds×sinφ。

由單元體的平衡條件，得:化簡(jiǎn)得:取厚度為１的三角形單元體A(注意：兩個(gè)面的法線分別與再研究φ方向平衡以及單元體B的平衡，可得應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)得變換式為：(4-7)二、用、和表示、、取單元體A和B，對(duì)單元體A，兩面的法線分別與、方向平行，一個(gè)面的法線與x軸平行。再研究φ方向平衡以及單元體B的平衡，可得應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向（4-8）研究單元體A、B的平衡，得應(yīng)力分量的變換式為：（4-8）研究單元體A、B的平衡，得應(yīng)力分量的變換式為：彈性力學(xué)第四章434.5Axisymmetrialstressesandcorrespondingdisplacements軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移Axisymmetrialstresses：軸對(duì)稱應(yīng)力：1.thenormalstresscomponentsareindependentof2.theshearingstresscomponentsvanish3.hencethestressdistributionissymmetricalwithrespecttoanyplanepassingthroughthezaxis.

彈性力學(xué)第四章434.5Axisymmetrialst§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移

所謂軸對(duì)稱，是指物體的形狀或某物理量是繞一軸對(duì)稱的，凡通過(guò)對(duì)稱軸的任何面都是對(duì)稱面。如圓環(huán)的外面沿環(huán)向受均布載荷問(wèn)題，即為軸對(duì)稱問(wèn)題。若應(yīng)力是繞z軸對(duì)稱的，則在任一環(huán)向線上的各點(diǎn)，應(yīng)力分量的數(shù)值相同，方向?qū)ΨQ于z軸。可見(jiàn)繞z軸對(duì)稱的應(yīng)力，在極坐標(biāo)下平面內(nèi)應(yīng)力分量?jī)H為的函數(shù)，不隨而變，切應(yīng)力為零。求解方法：——逆解法（1）應(yīng)力分量（4－5）（2）相容方程§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移所謂軸對(duì)稱（4－5）此時(shí)，(4-5)在這特殊情況下，可簡(jiǎn)化為：（4－9）一、軸對(duì)稱應(yīng)力用逆解法。由于軸對(duì)稱問(wèn)題，應(yīng)力分量與無(wú)關(guān)。由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量公式為：（4－5）此時(shí)，(4-5)在這特殊情況下，可簡(jiǎn)化為：（4－相容方程(4-6)（4－6）簡(jiǎn)化為這是一個(gè)4階變系數(shù)齊次微分方程將其展開(kāi)，有相容方程(4-6)（4－6）簡(jiǎn)化為這是一個(gè)4階變系數(shù)齊次微分方程兩邊同乘以：——Euler齊次微分方程令：有代入上述方程其特征方程為方程的特征值方程兩邊同乘以：——Euler齊次微分方程方程的特征根為：于是，方程的解為：將代回：（4－10）——軸對(duì)稱問(wèn)題相容方程的通解，A、B、C、D

為待定常數(shù)。3.應(yīng)力分量（4－10）將方程（4-11）代入應(yīng)力分量表達(dá)式（4－11）——軸對(duì)稱平面問(wèn)題的應(yīng)力分量表達(dá)式方程的特征根為：于是，方程的解為：將二、軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的形變平面應(yīng)力情況下，將應(yīng)力分量(4-11)代入物理方程(4-3)（4－3）現(xiàn)在來(lái)求與軸對(duì)稱應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的形變和位移二、軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的形變平面應(yīng)力情況下，將應(yīng)力分量(4-11對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，有物理方程（a）可見(jiàn)，形變也是軸對(duì)稱的。積分式（a）第一式，有對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，有物理方程（a）可見(jiàn)，形變也是軸對(duì)稱的。積（b）——是任意的待定函數(shù)將式（b）代入式（a）中第二式，得將上式積分，得:（c）——是ρ任意函數(shù)將式（b）代入式（c）中第三式，得或?qū)懗桑阂乖撌匠闪ⅲ瑑蛇呿殲橥怀?shù)。（b）——是任意的待定函數(shù)將式（d）（e）式中F為常數(shù)。對(duì)其積分有：（f）其中H為常數(shù)。對(duì)式（e）兩邊求導(dǎo)其解為：（g）（h）將式（f）（h）代入式（b）（c），得（4-12）（d）（e）式中F為常數(shù)。對(duì)其積分有：（f）其中H為平面軸對(duì)稱問(wèn)題小結(jié)：（4－10）（1）應(yīng)力函數(shù)（2）應(yīng)力分量（4－11）（3）位移分量（4-12）式中：A、B、C、H、I、K

由應(yīng)力和位移邊界條件確定。平面軸對(duì)稱問(wèn)題小結(jié)：（4－10）（1）應(yīng)力函數(shù)（2）應(yīng)力分量（3）位移分量（4-12）式中：A、B、C、H、I、K

由應(yīng)力和位移邊界條件確定。由式（4-12）可以看出：應(yīng)力軸對(duì)稱并不表示位移也是軸對(duì)稱的。但在軸對(duì)稱應(yīng)力情況下，若物體的幾何形狀、受力、位移約束都是軸對(duì)稱的，則位移也應(yīng)該是軸對(duì)稱的。這時(shí)，物體內(nèi)各點(diǎn)都不會(huì)有環(huán)向位移，即不論和取何值，都應(yīng)有：。對(duì)這種情形，有式（4-12）變?yōu)椋篬4-12（a）]（3）位移分量（4-12）式中：A、B、C、H、I、K由應(yīng)§4-6Hollowcylindersubjectedtouniformpressures結(jié)構(gòu)關(guān)于圓心對(duì)稱，受力也對(duì)稱于圓心，故應(yīng)力對(duì)稱于過(guò)圓心的垂直圓面的軸。取(4-11):圓環(huán)或圓筒，內(nèi)半徑，外半徑，受內(nèi)壓力，外壓力。求其應(yīng)力分布。然后由邊界條件、位移單值條件定出Ａ、Ｂ、Ｃ§4-6Hollowcylindersubjected邊界條件：（a）將式（4-11）代入，有：（b）說(shuō)明：極坐標(biāo)解平面問(wèn)題時(shí)，不需要另有邊界條件公式，只需從應(yīng)力分析即可。直角坐標(biāo)中，之所以需推導(dǎo)應(yīng)力邊界條件公式，是因?yàn)榭赡苡行边吔绯霈F(xiàn)。兩個(gè)方程不能求解三個(gè)常數(shù)Ａ、Ｂ、Ｃ一、邊界條件邊界條件：（a）將式（4-11）代入，有：（b）說(shuō)明：極坐標(biāo)對(duì)于多連體問(wèn)題，位移須滿足位移單值條件。位移多值項(xiàng)由（b），得：對(duì)于點(diǎn)（，）和（，）、（，）均表示同一個(gè)點(diǎn)，然而由這些坐標(biāo)算得，卻各不相同，這是不可能的。所以要使單值，須有：B=0。對(duì)于多連體問(wèn)題，位移須滿足位移單值條件。位移多值項(xiàng)由（b），將其代回應(yīng)力分量式（4-12），有：（4-13）拉梅解答將其代回應(yīng)力分量式（4-12），有：（4-13）拉梅解答（1）若：(二向等壓情況)（2）若：（壓應(yīng)力）（拉應(yīng)力）即只有內(nèi)壓力作用（1）若：(二向等壓情況)（2）若：（壓應(yīng)力）（拉應(yīng)力）即（3）若：（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（4）若：——具有圓形孔的無(wú)限大薄板；或具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體?？梢?jiàn)應(yīng)力和成正比。在遠(yuǎn)大于之處（即距圓孔或圓形孔道較遠(yuǎn)之處），應(yīng)力是很小的，可以不計(jì)。這也證實(shí)了圣維南原理。即只有外壓力作用（3）若：（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（4）若：——具有圓形孔的無(wú)限邊緣處的應(yīng)力：邊緣處的應(yīng)力：?jiǎn)栴}：圓筒埋在無(wú)限大彈性體內(nèi)，受內(nèi)壓q作用，求圓筒的應(yīng)力。1.分析：與以前相比較，相當(dāng)于兩個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題：(a)受內(nèi)外壓力作用的圓筒；(b)僅受內(nèi)壓作用的無(wú)限大彈性體。確定外壓p的兩個(gè)條件：徑向變形連續(xù)：徑向應(yīng)力連續(xù)：§4-７壓力隧洞圓筒和無(wú)限大彈性體兩者材料性質(zhì)不同，不符合均勻性假定，因此不能用同一個(gè)函數(shù)表示其解答。本題屬于接觸問(wèn)題。問(wèn)題：圓筒埋在無(wú)限大彈性體內(nèi)，受內(nèi)壓q作用，求圓筒的應(yīng)力2.求解應(yīng)力：（a）邊界條件：(1)圓筒的應(yīng)力與邊界條件取圓筒解答中的系數(shù)為Ａ、Ｂ、Ｃ，無(wú)限大彈性體解答中的系數(shù)為、、。由多連體中的位移單值條件，有Ｂ＝02.求解應(yīng)力：（a）邊界條件：(1)圓筒的應(yīng)力與邊界(2)無(wú)限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件應(yīng)力：（b）邊界條件：將式（a）、（b）代入相應(yīng)的邊界條件，得到如下方程：(c)(d)4個(gè)方程不能解5個(gè)未知量，需由位移連續(xù)條件確定。(2)無(wú)限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件應(yīng)力：（b）邊界條件：上式也可整理為：位移連續(xù)條件:上式也可整理為：位移連續(xù)條件:利用：(e)要使對(duì)任意的成立，須有自由項(xiàng)相等。(f)對(duì)式（f）整理有，有0利用：(e)要使對(duì)任意的成立，須有自由項(xiàng)相等。(g)式（g）中：將式（g）與式（c）（d）聯(lián)立求解(c)(d)（4-16）當(dāng)n<1時(shí)，應(yīng)力分布如圖所示。(g)式（g）中：將式（g）與式（c）（d）聯(lián)立求解(c)(討論：（1）壓力隧洞問(wèn)題為最簡(jiǎn)單的接觸問(wèn)題（面接觸）。完全接觸：接觸面間既不互相脫離，也不互相滑動(dòng)。接觸條件為應(yīng)力：位移：（２）非完全接觸（光滑接觸）應(yīng)力：位移：接觸條件：接觸面上正應(yīng)力相等，切應(yīng)力也相等接觸面上法向位移相等，切向位移也相等討論：（1）壓力隧洞問(wèn)題為最簡(jiǎn)單的接觸問(wèn)題（面接觸）。完全接§4-８圓孔的孔邊應(yīng)力集中1.孔邊應(yīng)力集中概念

由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。稱為孔邊的應(yīng)力集中。應(yīng)力集中系數(shù)：與孔的形狀有關(guān)，是局部現(xiàn)象；與孔的大小幾乎無(wú)關(guān)。（圓孔為最小，其它形狀較大）§4-８圓孔的孔邊應(yīng)力集中1.孔邊應(yīng)力集中概念2.孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解（1）問(wèn)題：

帶有圓孔的無(wú)限大板（R>>r），圓孔半徑為r，在無(wú)限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力

q作用。求：孔邊附近的應(yīng)力。在大圓處Ａ點(diǎn)，應(yīng)力和無(wú)孔時(shí)相同。也就是，。代入坐標(biāo)變換式(4-7)，可得到該處極坐標(biāo)應(yīng)力分量為，于是原問(wèn)題就變?yōu)檫@樣一個(gè)新問(wèn)題：內(nèi)半徑為r而外半徑為Ｒ得圓環(huán)或圓筒，在外邊界上受到均布拉力q。xyqqqq2.孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解（1）問(wèn)題：帶4-7為得出這個(gè)問(wèn)題的解答，只需要在圓環(huán)受均布外壓力時(shí)的解答(4-14)中命。于是得到：既然R>>r，可以取，從而得到解答：4-7為得出這個(gè)問(wèn)題的解答，只需要在圓環(huán)受均布外壓力時(shí)的解答xyqqqq矩形件左右兩邊受有均布拉力q而在上下兩邊受有均布?jí)毫。在大圓處Ａ點(diǎn)，應(yīng)力和無(wú)孔時(shí)相同。也就是，。代入坐標(biāo)變換式(4-7)，可得到該處極坐標(biāo)應(yīng)力分量為：（a）此為外邊界上的邊界條件。xyqqqq矩形件左右兩邊受有均布拉力q而在上下兩邊受有均布孔邊的邊界條件是（ｂ）由邊界條件(a)和（b）可見(jiàn)，用半逆解法時(shí)，可以假設(shè)為的某一函數(shù)乘以，而為的另一函數(shù)乘以。但因此可以假設(shè)（c）

將式（c）代入相容方程(4-6)得：孔邊的邊界條件是（ｂ）由邊界條件(a)和（b）可見(jiàn)，用半逆解刪去因子以后，求解這個(gè)微分方程，得:其中Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ為待定常數(shù)。代入（c），得應(yīng)力函數(shù)由式(4-5)得應(yīng)力分量（d）刪去因子以后，求解這個(gè)微分方程，得:其中Ａ、Ｂ、Ｃ將式(d)代入邊界條件式(a)和(b)，得:求解Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，然后命得將式(d)代入邊界條件式(a)和(b)，得:求解Ａ、Ｂ、Ｃ、再將各已知值代入(d)，得應(yīng)力分量的最后表達(dá)式(4-18)再將各已知值代入(d)，得應(yīng)力分量的最后表達(dá)式(4-18)（2）問(wèn)題的求解

問(wèn)題分析:左右兩邊受拉應(yīng)力作用A

取一半徑為=b(b>>a），在其上取一點(diǎn)A的應(yīng)力：OxybAAρA由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：無(wú)限大圓板中間開(kāi)有一圓孔的新問(wèn)題。b（2）問(wèn)題的求解問(wèn)題分析:左右兩邊受拉應(yīng)力作用A新問(wèn)題的邊界條件可表示為：xyba內(nèi)邊界外邊界（a）問(wèn)題1（b）（c）baba問(wèn)題2將外邊界條件（a）分解為兩部分：新問(wèn)題的邊界條件可表示為：xyba內(nèi)邊界外邊界（a）問(wèn)題1（

問(wèn)題1的解：內(nèi)邊界外邊界(b)

該問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題，其解為

當(dāng)b>>a時(shí)，有（d）ba問(wèn)題1問(wèn)題1的解：內(nèi)邊界外邊界(b)該問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題，其解為

問(wèn)題2的解：（非軸對(duì)稱問(wèn)題）內(nèi)邊界外邊界(c)

由邊界條件（c），可假設(shè)：為ρ

的某一函數(shù)乘以；為ρ

的某一函數(shù)乘以。

又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：

可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：

將其代入相容方程：ba問(wèn)題2問(wèn)題2的解：（非軸對(duì)稱問(wèn)題）內(nèi)邊界外邊界(c)由邊界條件

與前面類似，令：有

該方程的特征方程：特征根為：方程的解為：與前面類似，令：有該方程的特征方程：特征根為：方程的解為ba問(wèn)題2

相應(yīng)的應(yīng)力分量：

對(duì)上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c）,有內(nèi)邊界外邊界(c)

（e）ba問(wèn)題2相應(yīng)的應(yīng)力分量：對(duì)上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba問(wèn)題2代入應(yīng)力分量式（e）,有

（f）求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba問(wèn)題2將問(wèn)題1和問(wèn)題2的解相加,得全解：

（4-19）討論：（1）沿孔邊，ρ=a，環(huán)向正應(yīng)力：

（4-19）3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y軸，

=90°，環(huán)向正應(yīng)力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aaρAb——基爾斯（G.Kirsch）解答將問(wèn)題1和問(wèn)題2的解相加,得全解：（4-19）討論：（（3）沿x軸，

=0°，環(huán)向正應(yīng)力：（4）若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2（3）沿x軸，=0°，環(huán)向正應(yīng)力：（4）若矩形薄板（（4）若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2疊加后的應(yīng)力：（4）若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力q1、q2作用（5）任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力

作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。只要知道無(wú)孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力:45°先求出相應(yīng)于圓孔中心處的應(yīng)力分量，然后求出相應(yīng)的兩個(gè)應(yīng)力主向以及主應(yīng)力和。如果圓孔很小，圓孔附近就可以當(dāng)做是沿兩個(gè)主向分布受均布拉力及。就可以應(yīng)用上面的解答疊加求解。這樣求的孔邊應(yīng)力，會(huì)有一定誤差，但在工程實(shí)際上很有參考價(jià)值。（5）任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一對(duì)于其他各種形狀的孔口，大多是應(yīng)用彈性理論中的復(fù)變函數(shù)解法求解的。由圓孔和其他孔口的解答可見(jiàn)，這些小孔口問(wèn)題的應(yīng)力集中現(xiàn)象具有共同的特點(diǎn)：一是集中性，孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于較遠(yuǎn)處的應(yīng)力，且最大和最小的應(yīng)力一般都發(fā)生在孔邊上。二是局部性。由于開(kāi)孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)，主要發(fā)生在距孔邊１.５倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。在此區(qū)域外，由于開(kāi)孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)值一般小于5%，可以忽略不計(jì)?？卓趹?yīng)力集中與孔口的形狀有關(guān)，圓孔的應(yīng)力集中程度較低，應(yīng)盡可能采用圓孔型。此外，對(duì)于具有凹尖角的孔口，在尖角處會(huì)發(fā)生高度的應(yīng)力集中，因此在孔口中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)凹尖角。對(duì)于其他各種形狀的孔口，大多是應(yīng)用彈性理論中的復(fù)變函數(shù)解§4-9半平面體在邊界上受集中力FxyO一、Ｆ與邊界法向線成角半平面體，直邊界上受有集中力，與邊界法線成角，研究單位寬度，單位寬度所受力為Ｆ。１、設(shè)應(yīng)力函數(shù)用半逆解法，仍然用量綱分析的方法。（4－5）中的ρ次數(shù)比應(yīng)力分量中高２次§4-9半平面體在邊界上受集中力FxyO一、Ｆ與邊界法向設(shè)(a)應(yīng)力各分量形式為無(wú)量綱無(wú)量綱應(yīng)力分量形式為Ｎ為應(yīng)力為組成的無(wú)量綱量將(a)式代入相容方程(4-6)可得，以負(fù)一次冪出現(xiàn)設(shè)(a)應(yīng)力各分量形式為無(wú)量綱無(wú)量綱應(yīng)力分量形式為Ｎ為應(yīng)力為兩邊乘以，解得方程得：代入（a）得式中前兩項(xiàng)等于Ax+By，不影響應(yīng)力，可以刪除，故應(yīng)力函數(shù)可以取為（４－２０）兩邊乘以，解得方程得：代入（a）得式中前兩項(xiàng)等將（４－２０）代入（４－５），得應(yīng)力分量為：（ｂ）由應(yīng)力邊界條件定常數(shù)在直邊界處，除原點(diǎn)外，均應(yīng)有顯然，這些應(yīng)力邊界條件自然得到滿足。(見(jiàn)b式)在原點(diǎn)附近有面力作用，分布未給出，但單位寬度合力為Ｆ，半平面體任何一個(gè)半圓形的應(yīng)力，須合這一面力合力平衡，于是有：將（４－２０）代入（４－５），得應(yīng)力分量為：（ｂ）由應(yīng)力邊界(c)(b)式代入，積分得于是解得將以上Ｃ、Ｄ代入（b）式得(4-21)(c)(b)式代入，積分得于是解得將以上Ｃ、Ｄ代入（b）式得半平面體在邊界上法向受集中力FxyO1.應(yīng)力分量由楔形體受集中力的情形，可以得到

（4-22）——極坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的應(yīng)力轉(zhuǎn)換式（4-8），可求得

（4-23）或?qū)⑵涓臑橹苯亲鴺?biāo)表示，有

代入（4-2１）半平面體在邊界上法向受集中力FxyO1.應(yīng)力分量由楔形體受PxyO

（4-23）2.位移分量——直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量假定為平面應(yīng)力情形。其極坐標(biāo)形式的物理方程為將式（4-22）代入PxyO（4-23）2.位移分量——直角坐標(biāo)表示的由幾何方程(a)(b)(c)積分式（a）得，(d)將式（d）代入式（b），有積分上式，得(e)由幾何方程(a)(b)(c)積分式（a）得，(d)將式（d）將式（d）(e)代入式（c）得，(d)(e)(c)要使上式成立，須有：將式（d）(e)代入式（c）得，(d)(e)(c)要使不妨令ω=0，可解得：代入位移分量式（d）（e），有FxyO式中，常數(shù)H，I，K由邊界條件確定。(f)不妨令ω=0，可解得：代入位移分量式（d）（e），有FxyO常數(shù)I須由鉛垂方向（x方向）位移條件確定。由式（f）得：(g)由問(wèn)題的對(duì)稱性，有：(f)FxyO常數(shù)I須由鉛垂方向（x方向）位移條件確定。由式（f）3.邊界沉陷計(jì)算FxyOρMM點(diǎn)的下沉量：

由于常數(shù)I無(wú)法確定，所以只能求得的相對(duì)沉陷量。為此，在邊界上取一基準(zhǔn)點(diǎn)B，如圖所示。BsM點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)B的沉陷為簡(jiǎn)化后得：（4-25）符拉芒（A.Flamant）公式對(duì)平面應(yīng)變情形：3.邊界沉陷計(jì)算FxyOρMM點(diǎn)的下沉量：由于§4-10半平面體在邊界上受法向分布力PxyO1.應(yīng)力分量dP作用在原點(diǎn)O，則有dP

作用在距原點(diǎn)時(shí)，將此式在AB區(qū)間上積分，得§4-10半平面體在邊界上受法向分布力PxyO1.應(yīng)力（4-26）式中，需將分布力集度q表示成的函數(shù)，再進(jìn)行積分。2.邊界點(diǎn)的相對(duì)沉陷量討論均勻分布的單位力的情形。dP計(jì)算分布力中點(diǎn)I

相對(duì)于K點(diǎn)的沉陷量：（a）（4-26）式中，需將分布力集度q表示成的dP(a)對(duì)r積分，即可求得I點(diǎn)的相對(duì)沉陷量。當(dāng)基準(zhǔn)點(diǎn)K位于均布力之外時(shí)，沉陷量為為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定基點(diǎn)K取得很遠(yuǎn)，即s遠(yuǎn)大于r，積分時(shí)可視其為常數(shù)，積分結(jié)果為：（4-28）其中常數(shù)C、Fki

的值為：（b）（c）dP(a)對(duì)r積分，即可求得I點(diǎn)的相對(duì)沉陷量。當(dāng)基準(zhǔn)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解方法小結(jié)一.基本方程1.平衡方程（4－1）2.幾何方程（4－2）3.物理方程——平面應(yīng)力情形（4－3）4.邊界條件位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解方法小結(jié)一.基本方程1.平衡方程（4－二、按應(yīng)力求解基本步驟(1)由問(wèn)題的條件求出滿足式（4－6）的應(yīng)力函數(shù)（4－6）（2）由式（4－5）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：（4－5）（3）將上述應(yīng)力分量滿足問(wèn)題的邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）二、按應(yīng)力求解基本步驟(1)由問(wèn)題的條件求出滿足式（4－6）三、平面軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法——逆解法（4－11）應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力分量：位移分量：(4-12)三、平面軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法——逆解法（4－11）應(yīng)力函數(shù)：四、非軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法——半逆解法1.圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題原問(wèn)題的轉(zhuǎn)換：?jiǎn)栴}1baba問(wèn)題2軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱問(wèn)題四、非軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法——半逆解法1.圓孔的孔邊應(yīng)力集2.半平面問(wèn)題PxyOxyOMxyOxyOaaxyO2.半平面問(wèn)題PxyOxyOMxyOxyOaaxyO課堂練習(xí)：（1）試用邊界條件確定，當(dāng)圖示變截面桿件受拉伸時(shí)，在靠桿邊的外表面處，橫截面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力間的關(guān)系。設(shè)桿的橫截面形狀為狹長(zhǎng)矩形，板厚為一個(gè)單位。（2）z方向（垂直于板面）很長(zhǎng)的直角六面體，上邊界受均勻壓力p作用，底部放置在絕對(duì)剛性與光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。不計(jì)自重，試確定其應(yīng)力和位移分量。課堂練習(xí)：（1）試用邊界條件確定，當(dāng)圖示變截面桿件受拉伸時(shí)（3）有一薄壁圓筒的平均半徑為R，壁厚為t，兩端受相等相反的扭矩M作用?，F(xiàn)在圓筒上發(fā)現(xiàn)半徑為a的小圓孔，如圖所示，則孔邊的最大應(yīng)力如何？最大應(yīng)力發(fā)生在何處？（4）已知圓環(huán)在r=a

的內(nèi)邊界上被固定，在r=b

的圓周上作用著均勻分布剪應(yīng)力，如圖所示。試確定圓環(huán)內(nèi)的應(yīng)力與位移。（3）有一薄壁圓筒的平均半徑為R，壁厚為t，兩端受rrrrrrlrrrlrrrrrrrrrrrrrrrrraarlrrlra取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：a取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：作業(yè)習(xí)題：4–2，4–3補(bǔ)充題：列寫(xiě)下列平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件。作業(yè)習(xí)題：4–2，4–3補(bǔ)充題：列寫(xiě)下列平面問(wèn)題的作業(yè)習(xí)題：4-4，4–5，4–6作業(yè)習(xí)題：4-4，4–5，4–6作業(yè)習(xí)題：4–7，4–8選做：4-21作業(yè)習(xí)題：4–7，4–8選做：4-21彈性力學(xué)第四章122Chapter4Solutionofplaneproblemsinpolarcoordinates

第四章平面問(wèn)題極坐標(biāo)解答彈性力學(xué)第四章1Chapter4Solutionof彈性力學(xué)第四章123

解平面問(wèn)題時(shí)，對(duì)圓形、楔形、扇形、圓環(huán)形的物體，用極坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)方便。如天平刀口為常數(shù)，用極坐標(biāo)易于表示，而用直角坐標(biāo)不大方便解決極坐標(biāo)下的平面問(wèn)題，仍要從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三個(gè)方面來(lái)考慮。彈性力學(xué)第四章2解平面問(wèn)題時(shí)，對(duì)圓形、楔形彈性力學(xué)第四章124Polarcoordinates極坐標(biāo)ThepositionofapointPinpolarcoordinatesisdefinedbytheradialcoordinateρa(bǔ)ndtheangularcoordinateφ.

一點(diǎn)P的極坐標(biāo)用徑向坐標(biāo)ρ和角坐標(biāo)φ表示P(ρ,φ)

displacements:位移：uρ

uφ

strains:應(yīng)變:ρ

φ

rρφstresses:

應(yīng)力：ρ

φ

ρφbodyforce:體力:

fρ

、

fφ彈性力學(xué)第四章3Polarcoordinates極坐標(biāo)彈性力學(xué)第四章125x

ρ

φ

ρ

φy彈性力學(xué)第四章4彈性力學(xué)第四章1264.1Differentialequationsofequilibriuminpolarcoordinates極坐標(biāo)中的平衡微分方程P52Fig.4-1;P52(中)圖4-1PABCxyO彈性力學(xué)第四章54.1Differentialequa2.平衡微分方程考慮微元體平衡（取厚度為1）：PABCxyO2.平衡微分方程考慮微元體平衡（取厚度為1）：PABCxy將上式化開(kāi)：（高階小量，舍去）PABCxyO將上式化開(kāi)：（高階小量，舍去）PABCxyO兩邊同除以：兩邊同除以，并略去高階小量：PABCxyO同理可以推得：兩邊同除以：兩邊同除以——剪應(yīng)力互等定理于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：（4－1）方程（4－1）中包含三個(gè)未知量，而只有二個(gè)方程，是一次超靜定問(wèn)題，需考慮變形協(xié)調(diào)條件才能求解。PABCxyO——剪應(yīng)力互等定理于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：（4－1）彈性力學(xué)第四章131Review:differentialequationsofequilibriuminrectangularcoordinate直角坐標(biāo)平衡方程x/x+yx/y+fx=0--x方向的平衡方程，體力和應(yīng)力都是x方向，故應(yīng)力的第二個(gè)下標(biāo)為x方向。對(duì)應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)求導(dǎo)。y/y+xy/x+fy=0--y方向的平衡方程，體力和應(yīng)力都是y方向，故應(yīng)力的第二個(gè)下標(biāo)為y方向。對(duì)應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)求導(dǎo)。Inthefirst(second)differentialequationofequilibrium,thebodyforceandstressesareinthex(y)direction,thesecondcoordinatesubscriptinstressesisx(y),thedifferentialofstressesisrespecttothefirstsubscripts.彈性力學(xué)第四章10Review:differential彈性力學(xué)第四章132兩種坐標(biāo)系中的平衡微分方程的比較x/x+yx/y+fx=0y/y+xy/x+fy=0(2-2)ρ/ρ

+

ρφ

/(ρφ)+(ρ-φ)/ρ+fr=0(4.1.1)φ/(ρφ)+ρφ/ρ+2ρφ/ρ+fφ=0(4.1.2)(ρ-φ

)/ρ---正ρ面面積大于負(fù)ρ面面積,φ與通過(guò)形心的ρ軸有一角度2ρφ/ρ----ρφ作用的正ρ面面積大于負(fù)ρ面面積，ρφ與通過(guò)形心的φ軸有一角度彈性力學(xué)第四章11兩種坐標(biāo)系中的平衡微分方程的比較x/彈性力學(xué)第四章1334.2geometricalandphysicalequationsinpolarcoordinates極坐標(biāo)中的幾何物理方程P57(E)Fig.4.2.1;P60(中)圖4-2彈性力學(xué)第四章124.2geometricaland彈性力學(xué)第四章134Onlytheradialdisplacementtakesplace只有徑向位移PP=

uρ

AA=uρ+uρ/ρdρ

BB=uρ+uρ/φdφρ=(PA-PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(uρ+uρ/ρdρ)-uρ]/dρ=uρ/ρ

φ

=(PB-PB)/PB=[(ρ+uρ)dφ-ρdφ]/(ρdφ)=uρ/ρ彈性力學(xué)第四章13Onlytheradialdisp彈性力學(xué)第四章135Onlytheradialdisplacementtakesplace只有徑向位移theangleofrotationofPAwillbe=0theangleofrotationofPBwillbe=(BB-PP)/PB=[(uρ+uρ/φdφ)-uρ]/ρdφ=uρ/(ρφ)

rρφ=+=uρ/(ρφ)

彈性力學(xué)第四章14Onlytheradialdisp彈性力學(xué)第四章136Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有環(huán)向位移PP=uφ

AA=uφ+uφ/ρdρBB=uφ+uφ/φdφρ=0φ=(PB-PB)/PB=(BB-PP)/PB=[(uφ+uφ/φdφ)-uφ]/(ρdφ)=uφ/(ρφ)彈性力學(xué)第四章15Onlythecircumferen彈性力學(xué)第四章137Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有環(huán)向位移theangleofrotationofPAwillbe=(AA-PP)/PA=[(uφ+uφρdρ)-uφ]/dρ=uφ/ρtheangleofrotationofPBwillbe

=-<POP=-PP/OP=-uφ/ρrρφ

=+=uφ/ρ-uφ/ρ彈性力學(xué)第四章16Onlythecircumferen彈性力學(xué)第四章138

geometricalequationsinrectangularcoordinates

直角坐標(biāo)中的幾何方程

x=u/xy=v/yrxy=u/y+v/xgeometricalequationsinpolarcoordinates

極坐標(biāo)中的幾何方程

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)

rρφ

=uρ/(ρφ)

+uφ/ρ-uφ/ρ彈性力學(xué)第四章17geometricalequati彈性力學(xué)第四章139x=u/x

y=v/y中的規(guī)律由x=u/x

y=v/y，得出規(guī)律：某一坐標(biāo)方向的位移對(duì)該坐標(biāo)求導(dǎo)為該坐標(biāo)方向的正應(yīng)變中的項(xiàng)。1.x=u/x---x方向的位移u對(duì)x坐標(biāo)求導(dǎo)u/x為x方向線段的正應(yīng)變x

。2.y=v/y---y方向的位移v

對(duì)y坐標(biāo)求導(dǎo)v/y為y方向線段的正應(yīng)變y

。將此規(guī)律應(yīng)用到極坐標(biāo)。則有ρ方向的位移uρ對(duì)ρ求導(dǎo)為ρ方向的正應(yīng)變中的項(xiàng)ρ=uρ/ρ。φ方向的位移uφ對(duì)φ求導(dǎo)（再除以ρ以保持因次一致），為φ方向的正應(yīng)變中的項(xiàng)φ=uφ/(ρφ)。彈性力學(xué)第四章18x=u/xy=v/y中的規(guī)彈性力學(xué)第四章140τxy=u/y+v/x中的一般規(guī)律由τxy=u/y+v/x，總結(jié)出一般規(guī)律，即設(shè)有兩個(gè)正交坐標(biāo)方向，一個(gè)坐標(biāo)方向的位移（如u）對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)方向（y）求導(dǎo)為該坐標(biāo)方向（y）線段的轉(zhuǎn)角。1.u/y--x方向的位移u

對(duì)y坐標(biāo)求導(dǎo)為y方向線段的轉(zhuǎn)角。2.v/x--y方向的位移v

對(duì)x坐標(biāo)求導(dǎo)為x方向線段的轉(zhuǎn)角。應(yīng)用這一規(guī)律于極坐標(biāo)，就能方便地解釋uρ/(ρφ)

+uφ/ρ為rρφ中的項(xiàng)。彈性力學(xué)第四章19τxy=u/y+v/x中的一般規(guī)彈性力學(xué)第四章141

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)

φ=[2(r+a)-2r])/2r=a/r彈性力學(xué)第四章20

φ=uρ/ρ+uφ/(ρφ)彈性力學(xué)第四章142

rρφ

=uρ/(ρφ)

+uφ/ρ-uφ/ρ彈性力學(xué)第四章21rρφ=uρ/(ρφ)+uφ彈性力學(xué)第四章143

physicalequationsinpolarcoordinates極坐標(biāo)中的物理方程Thephysicalequationsinthetwocoordinatesystemsmusthavethesameform,butwithρ

andφ

inplaceofxandyrespectively.x=[x-y]/E(2-12)y=[y-x]/Erxy=xy/Gx--ρ

y--φρ=[ρ-φ]/E(4-3)φ=[φ

-ρ]/E

rρφ=ρφ/G彈性力學(xué)第四章22physicalequations彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）幾何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面應(yīng)力情形)彈性力學(xué)平面問(wèn)題極坐標(biāo)求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊lla取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：半平面體a取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：半平面體平面問(wèn)題極坐標(biāo)解答課件4.3stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)及相容方程4.3stressfunctionandcompat1.極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與相容方程方法1：（步驟）（1）利用極坐標(biāo)下的幾何方程，求得應(yīng)變表示的相容方程：（2）利用極坐標(biāo)下的物理方程，得應(yīng)力表示的相容方程：（常體力情形）（3）利用平衡方程求出用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量：（4）將上述應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程，得應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程：（常體力情形）1.極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量與相容方程方法1：（步驟）（1）利用方法2：（用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系求得到）xyOPxy（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系：（2）應(yīng)力分量與相容方程的坐標(biāo)變換：應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換方法2：（用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換關(guān)系求得到）xyOPx(a)(b)(a)(b)(c)xyOPxy由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系（2－24）：(c)xyOPxy由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系（2－24平面問(wèn)題極坐標(biāo)解答課件極坐標(biāo)下應(yīng)力分量計(jì)算公式：（4－5）可以證明：式（4－5）滿足平衡方程（4－1）。相容方程的坐標(biāo)變換說(shuō)明：式（4－5）僅給出體力為零時(shí)的應(yīng)力分量表達(dá)式。體力分量為零時(shí)，這些分量確能滿足平衡微分方程。極坐標(biāo)下應(yīng)力分量計(jì)算公式：（4－5）可以證明：式（4－5）滿相容方程的坐標(biāo)變換(a)(b)將式(a)與(b)相加，得相容方程的坐標(biāo)變換(a)(b)將式(a)與(b)相加，得得到極坐標(biāo)下的Laplace微分算子：極坐標(biāo)下的相容方程為：（4－6）方程（4－6）為常體力情形的相容方程。說(shuō)明：得到極坐標(biāo)下的Laplace微分算子：極坐標(biāo)下的相容方（4－6）當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，歸結(jié)為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足：（1）滿足相容方程（4-6）；（2）在邊界上的應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)；（3）如為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（4－6）當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，歸結(jié)為彈性力學(xué)第四章1594.4coordinatetransformationofstresscomponents應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式Egs.(4-7)---(4-8)彈性力學(xué)第四章384.4coordinatetrans本節(jié)研究極坐標(biāo)應(yīng)力分量與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量間的變換關(guān)系。一、用、、表示、、和本節(jié)研究極坐標(biāo)應(yīng)力分量與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量間的變換關(guān)系。一、用

取厚度為１的三角形單元體A(注意：兩個(gè)面的法線分別與x、y軸平行，一個(gè)面的法線與ρ的的方向平行)，它的ab為x面，ac為y面，bc為ρ

面。各面應(yīng)力如圖所示。Bc的長(zhǎng)度為dx，ab及ac的長(zhǎng)度分別為ds×cosφ及ds×sinφ。

由單元體的平衡條件，得:化簡(jiǎn)得:取厚度為１的三角形單元體A(注意：兩個(gè)面的法線分別與再研究φ方向平衡以及單元體B的平衡，可得應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)得變換式為：(4-7)二、用、和表示、、取單元體A和B，對(duì)單元體A，兩面的法線分別與、方向平行，一個(gè)面的法線與x軸平行。再研究φ方向平衡以及單元體B的平衡，可得應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向（4-8）研究單元體A、B的平衡，得應(yīng)力分量的變換式為：（4-8）研究單元體A、B的平衡，得應(yīng)力分量的變換式為：彈性力學(xué)第四章1644.5Axisymmetrialstressesandcorrespondingdisplacements軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移Axisymmetrialstresses：軸對(duì)稱應(yīng)力：1.thenormalstresscomponentsareindependentof2.theshearingstresscomponentsvanish3.hencethestressdistributionissymmetricalwithrespecttoanyplanepassingthroughthezaxis.

彈性力學(xué)第四章434.5Axisymmetrialst§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移

所謂軸對(duì)稱，是指物體的形狀或某物理量是繞一軸對(duì)稱的，凡通過(guò)對(duì)稱軸的任何面都是對(duì)稱面。如圓環(huán)的外面沿環(huán)向受均布載荷問(wèn)題，即為軸對(duì)稱問(wèn)題。若應(yīng)力是繞z軸對(duì)稱的，則在任一環(huán)向線上的各點(diǎn)，應(yīng)力分量的數(shù)值相同，方向?qū)ΨQ于z軸?？梢?jiàn)繞z軸對(duì)稱的應(yīng)力，在極坐標(biāo)下平面內(nèi)應(yīng)力分量?jī)H為的函數(shù)，不隨而變，切應(yīng)力為零。求解方法：——逆解法（1）應(yīng)力分量（4－5）（2）相容方程§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移所謂軸對(duì)稱（4－5）此時(shí)，(4-5)在這特殊情況下，可簡(jiǎn)化為：（4－9）一、軸對(duì)稱應(yīng)力用逆解法。由于軸對(duì)稱問(wèn)題，應(yīng)力分量與無(wú)關(guān)。由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量公式為：（4－5）此時(shí)，(4-5)在這特殊情況下，可簡(jiǎn)化為：（4－相容方程(4-6)（4－6）簡(jiǎn)化為這是一個(gè)4階變系數(shù)齊次微分方程將其展開(kāi)，有相容方程(4-6)（4－6）簡(jiǎn)化為這是一個(gè)4階變系數(shù)齊次微分方程兩邊同乘以：——Euler齊次微分方程令：有代入上述方程其特征方程為方程的特征值方程兩邊同乘以：——Euler齊次微分方程方程的特征根為：于是，方程的解為：將代回：（4－10）——軸對(duì)稱問(wèn)題相容方程的通解，A、B、C、D

為待定常數(shù)。3