高二數(shù)學(xué) 三垂線定理 賽課

PaAOα三垂線定理（一)編輯ppt一、復(fù)習(xí)引入：?jiǎn)栴}1、直線和平面垂直的定義？問(wèn)題2、直線和平面垂直的判定定理。編輯ppt1、直線和平面垂直的定義？2、直線和平面垂直的判定定理。如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面互相垂直。如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任何一條直線垂直。即“線線垂直

線面垂直”即“線面垂直

線線垂直”編輯pptPO是平面α的斜線,O為斜足;

PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內(nèi)的射影.APoαa

問(wèn)題3

從問(wèn)題3可以猜想到什么？編輯ppt垂線在平面內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn)，斜線在平面內(nèi)的射影是一條直線。斜線段在平面內(nèi)的射影是一條線段編輯ppt

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理PaAOα二、定理證明編輯ppt性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO

平面PAO∪a⊥PO③

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。AO⊥a②a⊥平面PAO證明：PA⊥αa

α∪①PA⊥aPaAoα編輯ppt平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？編輯ppt在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA、PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PA在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理編輯pptAaOP二.定理解析：

1、兩個(gè)定理有一個(gè)共同條件“在平面內(nèi)”

定理包括5個(gè)要素：一面(垂面)；四線（斜線PO、垂線PA、射影AO和平面內(nèi)的直線a）2、定理包括幾個(gè)要素？編輯pptPAOaα3、兩個(gè)定理中包括三種垂直關(guān)系：②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直

編輯ppt即:線射垂直線斜垂直

定理逆定理4、定理的實(shí)質(zhì)可作為線線垂直的判定，線可以是交線，也可以是異面！P0Aaαedcb編輯ppt已知：PO⊥正方形OBCD所在平面，A為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：PA⊥BD，PC⊥BDPAOBCD證明:∵OBCD為正方形A為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD又AO是PA在OBCD上的射影PA⊥BD

同理，OC⊥BD

OC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD例題講解編輯ppt1、已知點(diǎn)O是的BC邊的高上的任意一點(diǎn)，平面ABC，求證：BCPAO練習(xí)1：編輯ppt例2如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知：∠BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO分析：要證∠BAO=∠CAO只須證OE=OF,OE⊥AB,OF⊥AC???證明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥ABOE⊥AB同理可得OF⊥AC結(jié)論成立PABCOFE編輯ppt2、如圖,PD平面ABC,AC=BC,D為AB的中點(diǎn),求證:ABPC.證明:∵AC=BC,D為AB的中點(diǎn),∴ABCD又∵PD平面ABC∴ABPC練習(xí)2：編輯pptPABCD3.如圖,ABCD是矩形,PA面ABCD,連接PB,PC,PD,指出下列三角形是不是直角三角形,并說(shuō)明理由.(4)PCD.(1)PAB;(2)PAD;(3)PBC;PAABPAADBCPBCDPD編輯ppt4.正方體ABCD–A'B'C'D'中,B'D是否垂直下列直線或平面?(1)AC;(2)CD';(3)AD';編輯ppt直線a一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥時(shí)，

b⊥OA1、如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP解題回顧編輯pptPAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：①相交直線②異面直線2、使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么？解題回顧編輯ppt3、三垂線定理(逆定理)解題的關(guān)鍵：找三垂！一找直線和平面垂直二找平面內(nèi)的一條直線和平面的斜線在平面內(nèi)的射影垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂,并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOaα三找平面內(nèi)一條直線和平面的斜線垂直(線面垂直）(線射垂直）(線斜垂直）即：編輯pptPMCABPAOaαOAαaP

4、我們要學(xué)會(huì)從不同已知條件（組合圖形）中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧，怎么找？ADD1A1

C1

CBB1編輯ppt五.課堂小結(jié)對(duì)定理的理解與應(yīng)用應(yīng)該注意：

1.“在平面內(nèi)”不能省略

2.定理的5要素（一面，四線）

3.“三垂”指線面垂直；線射垂直；線斜垂直

4.定理可作為線線垂直的判定，線可以相交或異面5.線射垂直線斜垂直定理逆定理

定理解題的關(guān)鍵是找“三垂”編輯ppt思考題：1、“斜線段相等則射影也相等”這一說(shuō)話對(duì)嗎？2、在四面體ABCD的四個(gè)面中最多可以有幾個(gè)直角三角形？3、在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求證：AD⊥BC編輯ppt六.作業(yè)1、復(fù)習(xí)課本25—27頁(yè)2、家庭作業(yè)：課本習(xí)題9.4第5、6題編輯ppt感謝!

2010年12月15日編輯ppt練習(xí)：直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)

已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD編輯ppt(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形

O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD編輯pptPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMBC⊥AM證明:∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM

⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影編輯ppt(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中