自動控制原理課件8

第八章線性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1離散控制系統(tǒng)概述8.2連續(xù)信號的采樣與復(fù)現(xiàn)8.3Z變換及Z反變換8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析8.8數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)8.9數(shù)字控制器離散化設(shè)計(jì)第八章線性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1離散控制系統(tǒng)概述一、離散控制系統(tǒng)特點(diǎn)：從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上看，含有采樣開關(guān)；從信號傳遞上看，系統(tǒng)中某一處或幾處信號是以脈沖或數(shù)字形式傳遞的。二、離散控制系統(tǒng)的兩種典型結(jié)構(gòu)1、采樣控制系統(tǒng)e﹡(t)是e(t)連續(xù)誤差信號經(jīng)過采樣開關(guān)后，獲得的一系列離散的誤差信號。e*(t)作為脈沖控制器的輸入，經(jīng)控制器對信號進(jìn)行處理，在經(jīng)過保持器（或?yàn)V波器）恢復(fù)為連續(xù)信號，對受控對象實(shí)施控制。采樣系統(tǒng)中既有離散信號，又有連續(xù)信號。采樣開關(guān)接通時刻，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)。而在采樣開關(guān)斷開時刻，系統(tǒng)處于開環(huán)工作狀態(tài)。

8.1離散控制系統(tǒng)概述2、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的控制器，其輸入和輸出只能是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號，即在時間上和幅值上都是離散信號，而系統(tǒng)中被控對象和測量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號，故需要A/D和D/A實(shí)現(xiàn)兩種信號的轉(zhuǎn)換。三、離散控制系統(tǒng)的分析方法建立在Z變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，采用脈沖傳遞函數(shù)，并利用類似連讀控制系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行分析、研究。

2、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)8.2連續(xù)信號的采樣與復(fù)現(xiàn)一、連續(xù)信號的采樣、數(shù)學(xué)描述1、采樣過程把一連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成一串脈沖序列或數(shù)碼信號的過程，稱為

采樣過程。例如下圖中，采樣器可用一個周期性閉合的采樣開關(guān)表示，設(shè)采樣開關(guān)每隔T秒閉合一次（接通一次）。f(t)為輸入連續(xù)信號，則經(jīng)采樣開關(guān)后，f*(t)為定寬度等于τ的調(diào)幅脈沖序列，在采樣瞬時nT(n=0,1,2,3…）時出現(xiàn)。由于采樣開關(guān)閉合時間τ很小，τ<<T，分析可認(rèn)為τ=0。采樣器的輸出f*(t)信號，等于輸入于采樣器的連續(xù)信號在采樣時刻的數(shù)值。8.2連續(xù)信號的采樣與復(fù)現(xiàn)2、數(shù)學(xué)描述為了對采樣過程和采樣信號進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，往往把它看成是一個幅值調(diào)制的過程，如下圖所示。

采樣開關(guān)類似于一幅值調(diào)制器，當(dāng)采樣開關(guān)周期性開閉時，產(chǎn)生一串以Ts為周期的單位理想脈沖δT(t)。

幅值調(diào)制的過程，數(shù)學(xué)上表示為兩個信號函數(shù)相乘，即f*(t)可以認(rèn)為是輸入連續(xù)信號f(t)調(diào)制在理想脈沖δT(t)上的結(jié)果。設(shè)理想脈沖序列

2、數(shù)學(xué)描述5

則采樣脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式：二、信號的復(fù)現(xiàn)及裝置

使采樣信號f*(t)大體上回復(fù)為連續(xù)信號f(t)的變化規(guī)律，稱信號的復(fù)現(xiàn)。

怎樣才能使采樣信號f*(t)大體上反映連續(xù)信號f(t)的變化規(guī)律呢？

從連續(xù)信號和其采樣后的離散信號的頻譜特性分析：對于一個非正弦周期函數(shù)f(t)，可以分解成一個傅氏級數(shù)，它的各次諧波的振幅隨頻率變化的分布情況，稱為f(t)的頻譜特性。

f(t)f*(t)采樣復(fù)現(xiàn)則采樣脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

f(t)f*(t)采6設(shè)有一離散信號對上式兩邊取拉氏變換，再由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理可知將s=jω代入經(jīng)上述討論分析可知，對于一連續(xù)信號f(t)，其頻率特性為一孤立的連續(xù)頻譜（ωmax)。以均勻周期T(=2π/ωs)對f(t)進(jìn)行采樣，采樣信號f*(t)的頻譜與采樣頻率ωs有關(guān)，而且是以ωs為周期的無限多個頻譜之和。與原函數(shù)頻譜相比，各對應(yīng)頻率處的幅值下降為1/T。設(shè)有一離散信號觀察上圖，信號的復(fù)現(xiàn)需滿足兩個條件：(1)對于一個有限頻譜的連續(xù)信號進(jìn)行采樣，當(dāng)采樣頻率時，采樣信號才可能無失真的復(fù)現(xiàn)原來的連續(xù)信號。(香農(nóng)采樣定理)(2)在被控對象前必須串聯(lián)一個理想的低通濾波器。Ts較大時(ωs<2ωmax)ωs=2ωmaxTs較小時(ωs>2ωmax)觀察上圖，信號的復(fù)現(xiàn)需滿足兩個條件：Ts較大時采樣定理的物理意義是，采樣頻率越高，即采樣周期越小，故采樣越細(xì)密，采樣的精度就越高，就能充分反映連續(xù)變化的所有信息。因此可以按要求復(fù)現(xiàn)原信號。反之，采樣頻率越低，不能反映信息的全部變化情況，即由于在兩個采樣時刻之間連續(xù)信號變化較大，而這種變化不能在采樣信號中得到反映，故不能按一定的精度復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號。需要指出，實(shí)際的非周期函數(shù)，其頻譜的最高頻率是無限的，不過由于高頻分量的幅值不大，因此通過低通濾波后的信號基本上能復(fù)現(xiàn)。在這種情況下，如何選擇采樣頻率的最高頻率呢？一般考慮頻譜幅值降為最大值的5%處的頻率為ωmax。10.05ωmax-ωmax采樣定理的物理意義是，采樣頻率越高，即采樣周期越小，故采樣越三、零階保持器——低通濾波器使采樣信號f*(t)在每一個采樣瞬間的采樣值f(kT)一直保持到下一個采樣瞬間。這樣離散信號就變成了一階梯信號fh(t)。因?yàn)閒h(t)在每一個采樣區(qū)間內(nèi)的值均為常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為0，故稱為零階保持器。三、零階保持器——低通濾波器設(shè)有一零階保持器，其數(shù)學(xué)模型為對上式兩邊取拉氏變換，再由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理可知將s=jω代入從幅頻特性上看，幅值隨頻率的增加而衰減，所以零階保持器是一低通濾波器。從相頻特性上看，零階保持器會產(chǎn)生負(fù)相移，使系統(tǒng)的相位滯后增大，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。設(shè)有一零階保持器，其數(shù)學(xué)模型為從幅頻特性上看，幅值隨頻率的增8.3Z變換及反變換

一、Z變換

在數(shù)學(xué)上表示：對上式兩邊取拉氏變換可看出，是以復(fù)變量s表示的函數(shù)。引入一新變量z

----定義在Z平面上的一個復(fù)變量，稱為Z變換子；----采樣周期；

S---拉氏變換算子。Z變換的定義

8.2節(jié)指出，一個連續(xù)函數(shù)經(jīng)采樣后，其采樣函數(shù)式中：8.3Z變換及反變換一、Z變換在數(shù)學(xué)上表示：對上12

上式收斂時，被定義為采樣函數(shù)的Z變換。即注意：

1、上面三式均為采樣函數(shù)的拉氏變換式；2、是的Z變換式；3、只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻之間的特性，不能反映。在采樣時刻的信號特性，上式收斂時，被定義為采樣函數(shù)的Z變換。即注意：的13(2)Z變換方法

Z變換方法多種，主要的有

1)級數(shù)求和法。以例說明例求單位價躍函數(shù)1（t）的Z變換.解：因?yàn)榛蛘?，由兩邊同乘以z-1得：

兩式相減得：

(2)Z變換方法1)級數(shù)求和法。以例說明或者，由兩邊同例2.試求取衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a>)的Z變換。解：例2.試求取衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a>)的Z變換。解：2)部分分式法方法是，先求出連續(xù)函數(shù)的拉氏變換式，并部分分式展開。

；然后逐項(xiàng)進(jìn)行Z變換。例3巳知原函數(shù)的拉氏變換式為，求其Z變換。解：對拉氏變換式用部分分式展開逐項(xiàng)進(jìn)行Z變換(查Z變換表)有2)部分分式法；然后逐項(xiàng)進(jìn)行Z變換。例3巳知原函數(shù)的拉氏變換16例4.求取具有拉氏變換為的連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換。解：例4.求取具有拉氏變換為17例5.求的Z變換。解：例5.求的Z變換例6求的Z變換解：例6求(3)Z變換的主要性質(zhì)1)線性性質(zhì)2)延遲定理

說明：原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當(dāng)于在象函數(shù)上乘以,算子的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲n個周期。(3)Z變換的主要性質(zhì)2)延遲定理說明：原函數(shù)

3)超前定理若則4）復(fù)數(shù)位移定理3)超前定理若則4）復(fù)數(shù)位移定理例7:用實(shí)數(shù)位移定理計(jì)算延遲一個采樣周期T的單位階躍函數(shù)的Z變換。例8：計(jì)算延遲一個采樣周期的指數(shù)函數(shù)e-at的變換。解：解：例7:用實(shí)數(shù)位移定理計(jì)算延遲一個采樣周期T的單位階躍函數(shù)的Z5）終值定理若在平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外沒有極點(diǎn)或（z-1）F(z)全部極點(diǎn)位于Z平面單位圓內(nèi)。則例設(shè)的Z變換函數(shù)為求的終值。解：用終值定理5）終值定理若在平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外沒有極點(diǎn)或23二、Z反變換

Z反變換是已知Z變換表達(dá)式F（z），求離散序列f（nT）或的過程。Z反變換的方法也有多種，主要方法有1.部分分式法（因式分解法，查表法）步驟：①先將變換式寫成，并展開成部分分式，②兩端乘以Z。F（z）=

③查Z變化表。=例,巳知，求。解寫成二、Z反變換Z反變換是已知Z變換表達(dá)式F（z），求離散24兩邊同乘z查z變換表

2、冪級數(shù)法（長除法）將表達(dá)式直接用長除法，求按降冪排列的展開式，便可直接寫出脈沖序列的表達(dá)式。例己知求其反z變換。解可先改寫z表達(dá)式兩邊同乘z查z變換表2、冪級數(shù)法（長除法）例25用長除法，分子、分母相除有依z變換的定義，有

注：在實(shí)際應(yīng)用中，常常只需要計(jì)算有限的幾項(xiàng)就夠了，是開放形式。用長除法，分子、分母相除有依z變換的定義，有注：在實(shí)8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、脈沖傳遞函數(shù)的概念定義：線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比。用式子為二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法

系統(tǒng)由串聯(lián)環(huán)節(jié)組成時，脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關(guān)的位置和數(shù)目有關(guān)。1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)(圖a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)(圖b)G(Z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、脈沖傳遞函數(shù)的概念二、開27G2(s)零階保持器y(t)3.環(huán)節(jié)與零階保持器串聯(lián)時的脈沖傳函G2(s)零階保持器y(t)3.環(huán)節(jié)與零階保持器串聯(lián)時的脈沖解：例.求下圖所示二環(huán)節(jié)串聯(lián)的脈沖傳函,其中G1(S)G2(S)解：例.求下圖所示二環(huán)節(jié)串聯(lián)的脈沖傳函,其中G1(S)G2結(jié)論:有采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的積；無采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)其脈沖傳遞函數(shù)等于兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之后的Z變換。本結(jié)論可推廣到n個環(huán)節(jié)。

例：設(shè)G(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),分別求上述兩種連接時的脈沖傳遞數(shù)。解：(1)二環(huán)節(jié)間有采樣器

G(z)=G1(Z)G2(z)=Z[1/s]Z[1/(s+1)]=(2)二環(huán)節(jié)間無采樣器結(jié)論:有采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)例30三、閉環(huán)脈沖轉(zhuǎn)遞函數(shù)

由于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置的可能性，故閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)形式，通常須采用列出方程式，再消去中間信號變量求出閉環(huán)轉(zhuǎn)遞函數(shù)。

1.采樣開關(guān)位于誤差通道由圖取Z變換有又由圖有由以上三式，消去中間變量可得該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：三、閉環(huán)脈沖轉(zhuǎn)遞函數(shù)1.采樣開關(guān)位于誤差通道由圖取Z變312采樣開關(guān)不位于誤差通道G２(s)H(s)r(t)Tsy(t)m(t)-b(t)G1(s)e2采樣開關(guān)不位于誤差通道G２(s)H(s)r(t)Tsy(3擾動輸入時的脈沖傳函H(s)r(t)Tsy(t)e(t)-b(t)G1G2n(t)G2(s)H(s)G1(s)n(t)-m*m(t)y(t)3擾動輸入時的脈沖傳函H(s)r(t)Tsy(t)e(t)自動控制原理課件8H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)Y(S)-例1.試求右圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳函解：H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)Y(S)-例1.試35Y(s)R(s)-例2.試求取如圖所示線性數(shù)字系統(tǒng)的閉環(huán)傳函解:Y(s)R(s)-例2.試求取如圖所示線性數(shù)字系統(tǒng)的閉環(huán)傳函36注：1、典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式見表8.12、元部件相同但采樣開關(guān)的位置或個數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不同；3、有些結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)只有輸出表達(dá)式但求不出閉環(huán)傳遞函數(shù)。注：1、典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式見表8.1378.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析典型的離散控制系統(tǒng)如右圖所示其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，需對其特征方程的根的分布情況進(jìn)行分析其特征方程為：D(z)=1+GH(z)=0由z變換的定義可知，這里的z與s的關(guān)系為：8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析典型的離散控制系統(tǒng)如右圖所示38一、S平面與Z平面的對應(yīng)(映射)關(guān)系S平面Z平面左半平面單位園內(nèi)虛軸單位園上右半平面單位園外注：S平面上的左半平面，相當(dāng)于Z平面上的單位園內(nèi)；S平面的虛軸，相當(dāng)于Z平面上的單位園上；S平面上的右半平面，相當(dāng)于Z平面上的單位園外。一、S平面與Z平面的對應(yīng)(映射)關(guān)系S平面Z平面左半平面單位二、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件是，系統(tǒng)的特征方程的根全部位于Z平面以原點(diǎn)為園心的單位園內(nèi)。例某離散控制系統(tǒng)如右圖所示，采樣周期為1s，系統(tǒng)能否穩(wěn)定工作？解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為特征方程=0特征方程根由于，在Z平面的單位園外，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定。二、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定40三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)。具體方法、步驟；

1、求出特征方程式，2、Z–W變換：令特征方程式中的，得到3、用第三章勞斯判據(jù)的方法判穩(wěn)。

例1.設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的特征方程為D(z)=45z3-117z2+119z-39=0判斷其穩(wěn)定性.解：三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)。具體方法、步驟；例41r(t)-T例2.判斷如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性,采樣周期Ts=0.2(秒)解:r(t)-T例2.判斷如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性,采樣周期Ts=042-R(S)G(S)C(S)T例3.設(shè)采樣系統(tǒng)的方框圖如圖所示,其中采樣周期T=0.25s,求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1值范圍解:-R(S)G(S)C(S)T例3.設(shè)采樣系統(tǒng)的方框圖如圖所示438.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

離散系統(tǒng)中誤差信號是指采樣時刻的誤差，其穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定后誤差脈沖序列。由于離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖形式，故不能給出一般的誤差脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算公式,其穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)來求取。離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析、計(jì)算與連續(xù)系統(tǒng)的相類擬，計(jì)算方法主要兩種。一、用Z變換的終值定理計(jì)算

若系統(tǒng)穩(wěn)定,即全部極點(diǎn)位于z平面單位圖內(nèi),則可用z變換終值定理求出采樣瞬時終值誤差。方法、步驟如下：1、求出誤差傳遞函數(shù)

2、求出誤差Z變換式3、終值定理計(jì)算8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析離散系統(tǒng)中誤44二、誤差系數(shù)方法其中含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)N，表征系統(tǒng)的無差度。N=0,0階無差系統(tǒng)；N=1一階無差系統(tǒng)；N=2二階無差系統(tǒng)

稱為位置誤差系數(shù)。且有設(shè)單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）階躍輸入時

由終值定理有

N=0N>1令二、誤差系數(shù)方法其中含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)N，表征系45(2)斜坡輸入

，速度誤差系數(shù)當(dāng)N=0時，當(dāng)N=1時，有限值，當(dāng)N=2時，(3)加速度輸入(2)斜坡輸入，速度誤差系數(shù)當(dāng)N=0時，當(dāng)N=146，稱為加速度誤差系數(shù)。例1(t)r(t)求下列系統(tǒng)單位斜波信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。y(t)當(dāng)N=0,1時當(dāng)N=2時，稱為加速度誤差系數(shù)。例1(t)r(t)求下列系統(tǒng)單位斜波信47解I型系統(tǒng)。注：引入保持器，并不會改變系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)的個數(shù)，系統(tǒng)仍是一階無差系統(tǒng)。解I型系統(tǒng)。注：引入保持器，并不會改變系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)例2.右圖所示系統(tǒng)中的采樣周期Ts=0.2s,試求在時的穩(wěn)態(tài)誤差.解:例2.右圖所示系統(tǒng)中的采樣周期Ts=0.2s,試求在8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析一閉環(huán)特征根與暫態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系設(shè)閉環(huán)脈沖傳函為在單位階躍輸入信號的作用下，輸出的Ｚ變換為對其進(jìn)行反Ｚ變換，得輸出的時間響應(yīng)8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析一閉環(huán)特征根與暫態(tài)當(dāng)特征根在單位圓內(nèi)的不同位置時，分析系統(tǒng)的暫態(tài)過程．１．為正實(shí)數(shù)，暫態(tài)分量為，單調(diào)衰減，并且越小，衰減得越快．２．為負(fù)實(shí)數(shù)，暫態(tài)分量為，暫態(tài)過程呈正、負(fù)交替的衰減振蕩，極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，衰減得越快．３．原點(diǎn)為一對共軛的復(fù)數(shù)．設(shè)共軛復(fù)數(shù)的兩個極點(diǎn)為對應(yīng)的暫態(tài)分量為當(dāng)特征根在單位圓內(nèi)的不同位置時，分析系統(tǒng)的暫態(tài)過程．１．

為使離散控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能，閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量避免分布在Ｚ平面單位圓內(nèi)的左半部，并且不要靠近負(fù)實(shí)軸，閉環(huán)極點(diǎn)最好分布在單位圓內(nèi)右部正實(shí)軸上并靠近原點(diǎn)的位置。為使離散控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能，閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量避免分二、離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能估算設(shè)最靠近單位圓周的一對極點(diǎn)為（稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)），則可以根據(jù)這一對主導(dǎo)極點(diǎn)及其他閉環(huán)零、極點(diǎn)，估算出系統(tǒng)的超調(diào)量和峰值時間。具做的處理公式為二、離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能估算設(shè)最靠近單位圓周的一對極點(diǎn)當(dāng)由（１）計(jì)算出的Ｋp不是整數(shù)時，可令當(dāng)由（１）計(jì)算出的Ｋp不是整數(shù)時，可令例求下圖所示的系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的峰值時間和超調(diào)量1/sZOH0.2/(s+0.1)r-2s2sy解系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳函Ｇ（ｚ）＝Ｇ１（ｚ）Ｇ２（ｚ）其中系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為例求下圖所示的系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的峰值時間和超調(diào)量1/sZ系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)和一個零點(diǎn)。主導(dǎo)極點(diǎn)進(jìn)一步可求得取求得峰值時間進(jìn)一步求得于是超調(diào)量可求得為系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)和一個零點(diǎn)。主導(dǎo)極點(diǎn)進(jìn)一步可求得取求得8.8數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)Ｇc(z)ZOHG(s)-ＴsＴsR(s)e(s)e(k)u(k)u(s)a)典型離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Ｇc(s)G(s)-e(s)u(s)R(s)b)相似連續(xù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法有：模擬化設(shè)計(jì)（間接、連續(xù)設(shè)計(jì)方法）；離散化設(shè)計(jì)（直接設(shè)計(jì)方法）8.8數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)Ｇc(z)ZOHG(s)-Ｔ一、模擬調(diào)節(jié)器的離散化方法１直接差分法（后向差分法）２雙線性變換法一、模擬調(diào)節(jié)器的離散化方法１直接差分法（后向差分法）２雙二、離散系統(tǒng)模擬化設(shè)計(jì)的方法與步驟１設(shè)計(jì)模擬調(diào)節(jié)器：根據(jù)被控制對象的傳函和系統(tǒng)性能指標(biāo)要求，用連續(xù)系統(tǒng)的校正、綜合方法求出模擬化校正裝置２選擇采樣頻率３離散化處理：由求４性能檢驗(yàn)：不滿足要求則返回第一步。５求調(diào)節(jié)器的差分方程６編寫程序：依差分方程編制控制算法的計(jì)算機(jī)程序二、離散系統(tǒng)模擬化設(shè)計(jì)的方法與步驟１設(shè)計(jì)模擬調(diào)節(jié)器：根據(jù)被Ｇc(z)ZOH-ＴsＴse(s)u(k)u(s)例某計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如下圖示，設(shè)計(jì)數(shù)字控制器，使系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率，相角裕度，開環(huán)增益（控制精度）R(s)解（１）設(shè)計(jì)模擬校正裝置取k=30,將零階保持器看成是一個慣性環(huán)節(jié)：，校正前的開環(huán)傳函為并預(yù)選采樣周期Ｇc(z)ZOH-ＴsＴse(s)u(k)u(s)例某計(jì)算于是可畫出開環(huán)對數(shù)對數(shù)頻率特性，可求得未校正前系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率和相角裕度選取串校超前校正裝置，其中校正后的系統(tǒng)滿足性能要求（２）選取采樣頻率，已知，相應(yīng)的采樣頻率為（３）離散化，求于是可畫出開環(huán)對數(shù)對數(shù)頻率特性，可求得未校正前系統(tǒng)的開環(huán)采用雙線性變換法，令中的有（４）化為差分方程記為可調(diào)參數(shù)．采用雙線性變換法，令中的有（４）化8.9數(shù)字控制器的離散化設(shè)計(jì)

離散化設(shè)計(jì)是將系統(tǒng)中的連續(xù)部分先進(jìn)行離散化，在整個系統(tǒng)都具有離散化的模型下進(jìn)行校正和綜合的方法．有Ｚ平面上的根軌跡法、Ｗ平面的上的博德圖法、解析法（最少拍）等。

博德圖法是先將未校正前的系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳函進(jìn)行Ｗ變換，并令Ｗ＝j(luò)wp,wp為虛擬頻率，然后在虛擬頻率域內(nèi)用博德圖進(jìn)行校正、綜合求出校正裝置，再對該校正裝置進(jìn)行Ｗ反變換，便得到校正裝置的脈沖傳函。具體方法如下：（１）求出被控對象（帶零階保持器）的Ｚ變換8.9數(shù)字控制器的離散化設(shè)計(jì)離散化設(shè)計(jì)是將系統(tǒng)中的連63（２）進(jìn)行Ｗ域變換（Ｚ域到Ｗ域），將變?yōu)榧矗ǎ常┝顆=jwp(wp為虛擬頻率)，畫出的博德圖對數(shù)幅頻特性，相頻特性為（４）從的博德圖上確定校正前系統(tǒng)的性能是否滿足要求。若不滿足，則需對系統(tǒng)進(jìn)行校正，轉(zhuǎn)第（５）步。（５）根據(jù)提出的性能指標(biāo)，確定出Ｗ域的校正裝置（調(diào)節(jié)器）的傳遞函數(shù)；并畫出校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的博德圖（２）進(jìn)行Ｗ域變換（Ｚ域到Ｗ域），將變?yōu)椋ǎ叮M(jìn)行Ｗ域的反變換，得到調(diào)節(jié)器的脈沖傳函，即（７）的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)例系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖，采樣周期要求系統(tǒng)具有性能：幅值裕度,相位裕度，靜態(tài)速度誤差系數(shù)，開環(huán)截止頻率，設(shè)計(jì)一數(shù)字調(diào)節(jié)器Ｇc(z)ZOH-ＴsＴse(s)u(k)u(s)R(s)（６）對進(jìn)行Ｗ域的反變換，得到調(diào)節(jié)器的脈沖傳函，即（解（１）求未校正系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳函求Ｚ變換得由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)要求?。耍剑常敖猓ǎ保┣笪葱Ｕ到y(tǒng)的開環(huán)脈沖傳函求Ｚ變換得由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)要求（２）對進(jìn)行Ｗ域變換，令，代入，則（３）令，求出未校系統(tǒng)的開環(huán)虛擬頻率特，畫出博德圖，系統(tǒng)不穩(wěn)定．（２）對進(jìn)行Ｗ域變換，令，代入，則（３（４）采用串聯(lián)滯后校正，當(dāng)采用Ｗ域的校正傳函則校正后的Ｗ域的系統(tǒng)的開環(huán)傳函為繪制校正后的Ｗ域上的博德圖，符合指標(biāo)要求．（５）進(jìn)行的Ｗ域反變換，求出校正裝置的脈沖傳函將代入得（４）采用串聯(lián)滯后校正，當(dāng)采用Ｗ域的校正傳函則校正后的Ｗ域的第八章線性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1離散控制系統(tǒng)概述8.2連續(xù)信號的采樣與復(fù)現(xiàn)8.3Z變換及Z反變換8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析8.8數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)8.9數(shù)字控制器離散化設(shè)計(jì)第八章線性離散控制系統(tǒng)的分析與綜合8.1離散控制系統(tǒng)概述一、離散控制系統(tǒng)特點(diǎn)：從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上看，含有采樣開關(guān)；從信號傳遞上看，系統(tǒng)中某一處或幾處信號是以脈沖或數(shù)字形式傳遞的。二、離散控制系統(tǒng)的兩種典型結(jié)構(gòu)1、采樣控制系統(tǒng)e﹡(t)是e(t)連續(xù)誤差信號經(jīng)過采樣開關(guān)后，獲得的一系列離散的誤差信號。e*(t)作為脈沖控制器的輸入，經(jīng)控制器對信號進(jìn)行處理，在經(jīng)過保持器（或?yàn)V波器）恢復(fù)為連續(xù)信號，對受控對象實(shí)施控制。采樣系統(tǒng)中既有離散信號，又有連續(xù)信號。采樣開關(guān)接通時刻，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)。而在采樣開關(guān)斷開時刻，系統(tǒng)處于開環(huán)工作狀態(tài)。

8.1離散控制系統(tǒng)概述2、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的控制器，其輸入和輸出只能是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號，即在時間上和幅值上都是離散信號，而系統(tǒng)中被控對象和測量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號，故需要A/D和D/A實(shí)現(xiàn)兩種信號的轉(zhuǎn)換。三、離散控制系統(tǒng)的分析方法建立在Z變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，采用脈沖傳遞函數(shù)，并利用類似連讀控制系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行分析、研究。

2、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)8.2連續(xù)信號的采樣與復(fù)現(xiàn)一、連續(xù)信號的采樣、數(shù)學(xué)描述1、采樣過程把一連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成一串脈沖序列或數(shù)碼信號的過程，稱為

采樣過程。例如下圖中，采樣器可用一個周期性閉合的采樣開關(guān)表示，設(shè)采樣開關(guān)每隔T秒閉合一次（接通一次）。f(t)為輸入連續(xù)信號，則經(jīng)采樣開關(guān)后，f*(t)為定寬度等于τ的調(diào)幅脈沖序列，在采樣瞬時nT(n=0,1,2,3…）時出現(xiàn)。由于采樣開關(guān)閉合時間τ很小，τ<<T，分析可認(rèn)為τ=0。采樣器的輸出f*(t)信號，等于輸入于采樣器的連續(xù)信號在采樣時刻的數(shù)值。8.2連續(xù)信號的采樣與復(fù)現(xiàn)2、數(shù)學(xué)描述為了對采樣過程和采樣信號進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，往往把它看成是一個幅值調(diào)制的過程，如下圖所示。

采樣開關(guān)類似于一幅值調(diào)制器，當(dāng)采樣開關(guān)周期性開閉時，產(chǎn)生一串以Ts為周期的單位理想脈沖δT(t)。

幅值調(diào)制的過程，數(shù)學(xué)上表示為兩個信號函數(shù)相乘，即f*(t)可以認(rèn)為是輸入連續(xù)信號f(t)調(diào)制在理想脈沖δT(t)上的結(jié)果。設(shè)理想脈沖序列

2、數(shù)學(xué)描述73

則采樣脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式：二、信號的復(fù)現(xiàn)及裝置

使采樣信號f*(t)大體上回復(fù)為連續(xù)信號f(t)的變化規(guī)律，稱信號的復(fù)現(xiàn)。

怎樣才能使采樣信號f*(t)大體上反映連續(xù)信號f(t)的變化規(guī)律呢？

從連續(xù)信號和其采樣后的離散信號的頻譜特性分析：對于一個非正弦周期函數(shù)f(t)，可以分解成一個傅氏級數(shù)，它的各次諧波的振幅隨頻率變化的分布情況，稱為f(t)的頻譜特性。

f(t)f*(t)采樣復(fù)現(xiàn)則采樣脈沖序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

f(t)f*(t)采74設(shè)有一離散信號對上式兩邊取拉氏變換，再由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理可知將s=jω代入經(jīng)上述討論分析可知，對于一連續(xù)信號f(t)，其頻率特性為一孤立的連續(xù)頻譜（ωmax)。以均勻周期T(=2π/ωs)對f(t)進(jìn)行采樣，采樣信號f*(t)的頻譜與采樣頻率ωs有關(guān)，而且是以ωs為周期的無限多個頻譜之和。與原函數(shù)頻譜相比，各對應(yīng)頻率處的幅值下降為1/T。設(shè)有一離散信號觀察上圖，信號的復(fù)現(xiàn)需滿足兩個條件：(1)對于一個有限頻譜的連續(xù)信號進(jìn)行采樣，當(dāng)采樣頻率時，采樣信號才可能無失真的復(fù)現(xiàn)原來的連續(xù)信號。(香農(nóng)采樣定理)(2)在被控對象前必須串聯(lián)一個理想的低通濾波器。Ts較大時(ωs<2ωmax)ωs=2ωmaxTs較小時(ωs>2ωmax)觀察上圖，信號的復(fù)現(xiàn)需滿足兩個條件：Ts較大時采樣定理的物理意義是，采樣頻率越高，即采樣周期越小，故采樣越細(xì)密，采樣的精度就越高，就能充分反映連續(xù)變化的所有信息。因此可以按要求復(fù)現(xiàn)原信號。反之，采樣頻率越低，不能反映信息的全部變化情況，即由于在兩個采樣時刻之間連續(xù)信號變化較大，而這種變化不能在采樣信號中得到反映，故不能按一定的精度復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號。需要指出，實(shí)際的非周期函數(shù)，其頻譜的最高頻率是無限的，不過由于高頻分量的幅值不大，因此通過低通濾波后的信號基本上能復(fù)現(xiàn)。在這種情況下，如何選擇采樣頻率的最高頻率呢？一般考慮頻譜幅值降為最大值的5%處的頻率為ωmax。10.05ωmax-ωmax采樣定理的物理意義是，采樣頻率越高，即采樣周期越小，故采樣越三、零階保持器——低通濾波器使采樣信號f*(t)在每一個采樣瞬間的采樣值f(kT)一直保持到下一個采樣瞬間。這樣離散信號就變成了一階梯信號fh(t)。因?yàn)閒h(t)在每一個采樣區(qū)間內(nèi)的值均為常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為0，故稱為零階保持器。三、零階保持器——低通濾波器設(shè)有一零階保持器，其數(shù)學(xué)模型為對上式兩邊取拉氏變換，再由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理可知將s=jω代入從幅頻特性上看，幅值隨頻率的增加而衰減，所以零階保持器是一低通濾波器。從相頻特性上看，零階保持器會產(chǎn)生負(fù)相移，使系統(tǒng)的相位滯后增大，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。設(shè)有一零階保持器，其數(shù)學(xué)模型為從幅頻特性上看，幅值隨頻率的增8.3Z變換及反變換

一、Z變換

在數(shù)學(xué)上表示：對上式兩邊取拉氏變換可看出，是以復(fù)變量s表示的函數(shù)。引入一新變量z

----定義在Z平面上的一個復(fù)變量，稱為Z變換子；----采樣周期；

S---拉氏變換算子。Z變換的定義

8.2節(jié)指出，一個連續(xù)函數(shù)經(jīng)采樣后，其采樣函數(shù)式中：8.3Z變換及反變換一、Z變換在數(shù)學(xué)上表示：對上80

上式收斂時，被定義為采樣函數(shù)的Z變換。即注意：

1、上面三式均為采樣函數(shù)的拉氏變換式；2、是的Z變換式；3、只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻之間的特性，不能反映。在采樣時刻的信號特性，上式收斂時，被定義為采樣函數(shù)的Z變換。即注意：的81(2)Z變換方法

Z變換方法多種，主要的有

1)級數(shù)求和法。以例說明例求單位價躍函數(shù)1（t）的Z變換.解：因?yàn)榛蛘?，由兩邊同乘以z-1得：

兩式相減得：

(2)Z變換方法1)級數(shù)求和法。以例說明或者，由兩邊同例2.試求取衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a>)的Z變換。解：例2.試求取衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a>)的Z變換。解：2)部分分式法方法是，先求出連續(xù)函數(shù)的拉氏變換式，并部分分式展開。

；然后逐項(xiàng)進(jìn)行Z變換。例3巳知原函數(shù)的拉氏變換式為，求其Z變換。解：對拉氏變換式用部分分式展開逐項(xiàng)進(jìn)行Z變換(查Z變換表)有2)部分分式法；然后逐項(xiàng)進(jìn)行Z變換。例3巳知原函數(shù)的拉氏變換84例4.求取具有拉氏變換為的連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換。解：例4.求取具有拉氏變換為85例5.求的Z變換。解：例5.求的Z變換例6求的Z變換解：例6求(3)Z變換的主要性質(zhì)1)線性性質(zhì)2)延遲定理

說明：原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當(dāng)于在象函數(shù)上乘以,算子的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲n個周期。(3)Z變換的主要性質(zhì)2)延遲定理說明：原函數(shù)

3)超前定理若則4）復(fù)數(shù)位移定理3)超前定理若則4）復(fù)數(shù)位移定理例7:用實(shí)數(shù)位移定理計(jì)算延遲一個采樣周期T的單位階躍函數(shù)的Z變換。例8：計(jì)算延遲一個采樣周期的指數(shù)函數(shù)e-at的變換。解：解：例7:用實(shí)數(shù)位移定理計(jì)算延遲一個采樣周期T的單位階躍函數(shù)的Z5）終值定理若在平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外沒有極點(diǎn)或（z-1）F(z)全部極點(diǎn)位于Z平面單位圓內(nèi)。則例設(shè)的Z變換函數(shù)為求的終值。解：用終值定理5）終值定理若在平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外沒有極點(diǎn)或91二、Z反變換

Z反變換是已知Z變換表達(dá)式F（z），求離散序列f（nT）或的過程。Z反變換的方法也有多種，主要方法有1.部分分式法（因式分解法，查表法）步驟：①先將變換式寫成，并展開成部分分式，②兩端乘以Z。F（z）=

③查Z變化表。=例,巳知，求。解寫成二、Z反變換Z反變換是已知Z變換表達(dá)式F（z），求離散92兩邊同乘z查z變換表

2、冪級數(shù)法（長除法）將表達(dá)式直接用長除法，求按降冪排列的展開式，便可直接寫出脈沖序列的表達(dá)式。例己知求其反z變換。解可先改寫z表達(dá)式兩邊同乘z查z變換表2、冪級數(shù)法（長除法）例93用長除法，分子、分母相除有依z變換的定義，有

注：在實(shí)際應(yīng)用中，常常只需要計(jì)算有限的幾項(xiàng)就夠了，是開放形式。用長除法，分子、分母相除有依z變換的定義，有注：在實(shí)8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、脈沖傳遞函數(shù)的概念定義：線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比。用式子為二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法

系統(tǒng)由串聯(lián)環(huán)節(jié)組成時，脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關(guān)的位置和數(shù)目有關(guān)。1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)(圖a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)(圖b)G(Z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)8.4線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、脈沖傳遞函數(shù)的概念二、開95G2(s)零階保持器y(t)3.環(huán)節(jié)與零階保持器串聯(lián)時的脈沖傳函G2(s)零階保持器y(t)3.環(huán)節(jié)與零階保持器串聯(lián)時的脈沖解：例.求下圖所示二環(huán)節(jié)串聯(lián)的脈沖傳函,其中G1(S)G2(S)解：例.求下圖所示二環(huán)節(jié)串聯(lián)的脈沖傳函,其中G1(S)G2結(jié)論:有采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的積；無采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)其脈沖傳遞函數(shù)等于兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之后的Z變換。本結(jié)論可推廣到n個環(huán)節(jié)。

例：設(shè)G(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),分別求上述兩種連接時的脈沖傳遞數(shù)。解：(1)二環(huán)節(jié)間有采樣器

G(z)=G1(Z)G2(z)=Z[1/s]Z[1/(s+1)]=(2)二環(huán)節(jié)間無采樣器結(jié)論:有采樣開關(guān)斷開的線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)例98三、閉環(huán)脈沖轉(zhuǎn)遞函數(shù)

由于采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置的可能性，故閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)形式，通常須采用列出方程式，再消去中間信號變量求出閉環(huán)轉(zhuǎn)遞函數(shù)。

1.采樣開關(guān)位于誤差通道由圖取Z變換有又由圖有由以上三式，消去中間變量可得該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：三、閉環(huán)脈沖轉(zhuǎn)遞函數(shù)1.采樣開關(guān)位于誤差通道由圖取Z變992采樣開關(guān)不位于誤差通道G２(s)H(s)r(t)Tsy(t)m(t)-b(t)G1(s)e2采樣開關(guān)不位于誤差通道G２(s)H(s)r(t)Tsy(3擾動輸入時的脈沖傳函H(s)r(t)Tsy(t)e(t)-b(t)G1G2n(t)G2(s)H(s)G1(s)n(t)-m*m(t)y(t)3擾動輸入時的脈沖傳函H(s)r(t)Tsy(t)e(t)自動控制原理課件8H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)Y(S)-例1.試求右圖所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳函解：H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)Y(S)-例1.試103Y(s)R(s)-例2.試求取如圖所示線性數(shù)字系統(tǒng)的閉環(huán)傳函解:Y(s)R(s)-例2.試求取如圖所示線性數(shù)字系統(tǒng)的閉環(huán)傳函104注：1、典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式見表8.12、元部件相同但采樣開關(guān)的位置或個數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不同；3、有些結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)只有輸出表達(dá)式但求不出閉環(huán)傳遞函數(shù)。注：1、典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或輸出表達(dá)式見表8.11058.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析典型的離散控制系統(tǒng)如右圖所示其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，需對其特征方程的根的分布情況進(jìn)行分析其特征方程為：D(z)=1+GH(z)=0由z變換的定義可知，這里的z與s的關(guān)系為：8.5離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析典型的離散控制系統(tǒng)如右圖所示106一、S平面與Z平面的對應(yīng)(映射)關(guān)系S平面Z平面左半平面單位園內(nèi)虛軸單位園上右半平面單位園外注：S平面上的左半平面，相當(dāng)于Z平面上的單位園內(nèi)；S平面的虛軸，相當(dāng)于Z平面上的單位園上；S平面上的右半平面，相當(dāng)于Z平面上的單位園外。一、S平面與Z平面的對應(yīng)(映射)關(guān)系S平面Z平面左半平面單位二、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件是，系統(tǒng)的特征方程的根全部位于Z平面以原點(diǎn)為園心的單位園內(nèi)。例某離散控制系統(tǒng)如右圖所示，采樣周期為1s，系統(tǒng)能否穩(wěn)定工作？解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為特征方程=0特征方程根由于，在Z平面的單位園外，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定。二、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分、必要條件離散控制系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定108三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)。具體方法、步驟；

1、求出特征方程式，2、Z–W變換：令特征方程式中的，得到3、用第三章勞斯判據(jù)的方法判穩(wěn)。

例1.設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的特征方程為D(z)=45z3-117z2+119z-39=0判斷其穩(wěn)定性.解：三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)。具體方法、步驟；例109r(t)-T例2.判斷如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性,采樣周期Ts=0.2(秒)解:r(t)-T例2.判斷如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性,采樣周期Ts=0110-R(S)G(S)C(S)T例3.設(shè)采樣系統(tǒng)的方框圖如圖所示,其中采樣周期T=0.25s,求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1值范圍解:-R(S)G(S)C(S)T例3.設(shè)采樣系統(tǒng)的方框圖如圖所示1118.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

離散系統(tǒng)中誤差信號是指采樣時刻的誤差，其穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定后誤差脈沖序列。由于離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖形式，故不能給出一般的誤差脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算公式,其穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)來求取。離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析、計(jì)算與連續(xù)系統(tǒng)的相類擬，計(jì)算方法主要兩種。一、用Z變換的終值定理計(jì)算

若系統(tǒng)穩(wěn)定,即全部極點(diǎn)位于z平面單位圖內(nèi),則可用z變換終值定理求出采樣瞬時終值誤差。方法、步驟如下：1、求出誤差傳遞函數(shù)

2、求出誤差Z變換式3、終值定理計(jì)算8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析離散系統(tǒng)中誤112二、誤差系數(shù)方法其中含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)N，表征系統(tǒng)的無差度。N=0,0階無差系統(tǒng)；N=1一階無差系統(tǒng)；N=2二階無差系統(tǒng)

稱為位置誤差系數(shù)。且有設(shè)單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）階躍輸入時

由終值定理有

N=0N>1令二、誤差系數(shù)方法其中含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)N，表征系113(2)斜坡輸入

，速度誤差系數(shù)當(dāng)N=0時，當(dāng)N=1時，有限值，當(dāng)N=2時，(3)加速度輸入(2)斜坡輸入，速度誤差系數(shù)當(dāng)N=0時，當(dāng)N=1114，稱為加速度誤差系數(shù)。例1(t)r(t)求下列系統(tǒng)單位斜波信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。y(t)當(dāng)N=0,1時當(dāng)N=2時，稱為加速度誤差系數(shù)。例1(t)r(t)求下列系統(tǒng)單位斜波信115解I型系統(tǒng)。注：引入保持器，并不會改變系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點(diǎn)的個數(shù)，系統(tǒng)仍是一階無差系統(tǒng)。解I型系統(tǒng)。注：引入保持器，并不會改變系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)例2.右圖所示系統(tǒng)中的采樣周期Ts=0.2s,試求在時的穩(wěn)態(tài)誤差.解:例2.右圖所示系統(tǒng)中的采樣周期Ts=0.2s,試求在8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析一閉環(huán)特征根與暫態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系設(shè)閉環(huán)脈沖傳函為在單位階躍輸入信號的作用下，輸出的Ｚ變換為對其進(jìn)行反Ｚ變換，得輸出的時間響應(yīng)8.7離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析一閉環(huán)特征根與暫態(tài)當(dāng)特征根在單位圓內(nèi)的不同位置時，分析系統(tǒng)的暫態(tài)過程．１．為正實(shí)數(shù)，暫態(tài)分量為，單調(diào)衰減，并且越小，衰減得越快．２．為負(fù)實(shí)數(shù)，暫態(tài)分量為，暫態(tài)過程呈正、負(fù)交替的衰減振蕩，極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，衰減得越快．３．原點(diǎn)為一對共軛的復(fù)數(shù)．設(shè)共軛復(fù)數(shù)的兩個極點(diǎn)為對應(yīng)的暫態(tài)分量為當(dāng)特征根在單位圓內(nèi)的不同位置時，分析系統(tǒng)的暫態(tài)過程．１．

為使離散控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能，閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量避免分布在Ｚ平面單位圓內(nèi)的左半部，并且不要靠近負(fù)實(shí)軸，閉環(huán)極點(diǎn)最好分布在單位圓內(nèi)右部正實(shí)軸上并靠近原點(diǎn)的位置。為使離散控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能，閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量避免分二、離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能估算設(shè)最靠近單位圓周的一對極點(diǎn)為（稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)），則可以根據(jù)這一對主導(dǎo)極點(diǎn)及其他閉環(huán)零、極點(diǎn)，估算出系統(tǒng)的超調(diào)量和峰值時間。具做的處理公式為二、離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能估算設(shè)最靠近單位圓周的一對極點(diǎn)當(dāng)由（１）計(jì)算出的Ｋp不是整數(shù)時，可令當(dāng)由（１）計(jì)算出的Ｋp不是整數(shù)時，可令例求下圖所示的系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的峰值時間和超調(diào)量1/sZOH0.2/(s+0.1)r-