上海海事大學(xué)試卷《高等數(shù)學(xué)A(一)》(A卷)

第第6頁共6頁上海海事大學(xué)試卷2010—2011學(xué)年第一學(xué)期期末考試《A（一）》（A解答一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中）(本大題分3小題,每小題4分,共12分)limx0

x

2?的值為 x2

?（?A??）2等0; (B)等于 ;2為無窮大; (D)不存在，但不是無窮大.、設(shè)a,b適,3a25b,則方,x52ax34c）(無實根(B)有唯一實根(C)有三個不同的實根(D)有5個不同的實根、設(shè)F(x)2esintdt,則F）?x不為常數(shù)(B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零(D)為正常數(shù)二、填空題（將正確答案填在橫線上）(本大題分2小題,每小題4分,共8分)1、limex1x的值為 1x0 x2 2 32、設(shè)a,bc均為非零向量，滿足cab,bcaabc，abc=3三計算題（必須有解題過程，否則不給分）（本大題分10小題，每題6分，共60分）裝 4x1、極限lim(x x訂4

)2xx8原式 )4線 x x

e8 62、設(shè)yy(x)由方程exycos(xy)y確定求y(0)解：exy(yxy)(yxy)sin(xy)y， 4分當(dāng)x.,y2,y(0)2 6分3、求?1?1解：令

x dx．54x54x454x4

1(5t2) 1

135t2)dt 481xx4、求解：xx

616arctan xx16arctan xxarctan xxarctan xx2

d(arctan

) 3(arctan x)2C 6（C1）xtcostd，x05、已知f(x),試討論f(x)在x點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．x ，x0f(0)limx0

xtcostdt00f(0limx0又f(0)0

f(x)limx20 2x0 f(x)在點x0處連續(xù) 3分f(0)lim

f(x)f(0)

xtcostdt0 x0 x x0 xlim(xcosx)0 5x0f(0)lim

f(x)f(0)

x20 x0 x x0 xf(0)0，f(x)在點x0處可導(dǎo)． 6分6、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又曲線yf(x)通過原點0，且它在原點0處的切線，試求：

f(t)dt．x0

xsinx解：由題意知，f(0)(0)2分xf(t)dt

f(x)0xsinxlim 0xsinxx0

x0sinxxcosxlim

fx) 5x02cosxxsinx1f(0)1 62 27、試確定yax3bx2cxd中的a,b,c,d,使得點（4）為駐點，（1，—10）為拐點。yax2bxc,y6axb曲線過點（4），1，8a4b2cd44故有： ， 3分 abcd10又（－2，44）為駐點，（1，－10）為拐點，y(2)12ac0 y6a0 ， 58、求

解方程得a1,b3,c24,d16.6分x2cos0x2sinx0

2xsinxdx 302xcosx0

2cosxdx2 609、不計算積分，試比較1 x d與1ln1x)d大?。?x 解：由微分中值定理，可得x1x1x) ，0x1x1x1x所以1ln1x)dxx1x0 0

dx 6（f(x)x

x1

，如直接計算不給分）x2yz5010、求過P0

(4,2,3)與平面:xyz100平行且與直線l1

:z100垂直的直線方程。的法向量為nS1

i j k1 2 1，20 0 1SnS1

， 4x41y22zx41y22z33四、應(yīng)用及證明（201、（7）設(shè)有一塊邊長為a,,問小方塊的邊長為多少才使盒子的容積最大設(shè)小方塊的邊長為x

a 3Vx(a2x)

ax

4x

4ax, 0x2Va212x8ax唯一駐點：xa6xa6V (24xxa6

x6

4a0 6即x

a為極大值點,也是最大值,所以小方塊邊長為時,盒子的a66 7a6容積最大2、（本題7分）求拋物線y2x)處的切線和軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.: 2ydy3dx,dydxdydx(0,3)

32y32y2

1 12y32

1x, 2與x軸交點(6,0).V 6(31x)2dx(3x)dx 5x 0 2 0 2 1 6 3 322 (3 x)3 (3x)2 22232

0 0(18

27)2

9. 73、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且有f

2xf(x)dx，證明必存在使f)1f(。101