點線面之間的位置關系課件

點線面之間的位置關系點線面之間的位置關系考綱要求1.理解空間直線、平面位置關系的定義．2．了解可以作為推理依據的公理和定理．3．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題．熱點提示1.以空間幾何體為載體，考查邏輯推理能力．2．通過判斷位置關系，考查空間想象能力．3．應用公理、定理證明點共線、線共面等問題．4．多以選擇、填空的形式考查，有時也出現在解答題中.考綱要求1.理解空間直線、平面位置關系的定義．熱點提示1.以1．平面的基本性質公理1：如果一條直線上的

在一個平面內，那么這條直線在此平面內．兩點兩點公理2：過

的三點，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們

過該點的公共直線．不在一條直線上有且只有一條公理2：過 的三點，有且只有一個平面．不在一條直線上有2．直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類2．直線與直線的位置關系(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的

)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：

．銳角(或直角(2)異面直線所成的角銳角(或直角位置關系直線a在平面α內直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點

公共點

公共點

公共點符號表示圖形表示有無數個有且只有一個沒有a?αa∩α＝Aa∥α位置直線a在平面α內直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共4.兩個平面的位置關系兩平面平行公共點個數表示法圖示位置關系α∥β04.兩個平面的位置關系兩平面公共點個數表示法圖示位置關系α∥位置關系圖示表示法公共點個數斜交有

個公共點在一條直線上垂直有

個公共點在一條直線上α∩β＝aα⊥βα∩β＝a無數無數位置關系圖示表示法公共點個數斜交有個公5.平行公理平行于同一條直線的兩條直線

．互相平行5.平行公理互相平行垂直于同一直線的兩直線的位置關系是怎樣的？提示：可能平行，可能相交，也可能異面.

點線面之間的位置關系課件6．定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角

．相等或互補6．定理相等或互補1．給出下列四個命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一平面的兩個平面互相平行；③若直線l1、l2與同一平面所成的角相等，則l1、l2互相平行；④若直線l1、l2是異面直線，則與l1、l2都相交的兩條直線是異面直線．其中假命題的個數是 ()點線面之間的位置關系課件A．1 B．2C．3 D．4解析：如右圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥AB，AD⊥AB，但A1A與AD相交，故①錯；平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面A1ADD1⊥平面ABCD，而平面A1ABB1與A1ADD1相交，故②錯；A．1 B．2直線A1B和直線BC1與平面ABCD所成角都是45°，但A1B與BC1相交，故③錯；直線A1A與直線BC異面，AB、AC均與A1A、BC相交，但AC與AB相交，故④錯．答案：D直線A1B和直線BC1與平面ABCD所成角都是45°，但A12．若三個平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成 ()A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分解析：如右圖所示，三個平面α、β、γ兩兩相交，交線分別是a、b、c且a∥b∥c.觀察圖形，可得α、β、γ把空間分成7部分．答案：C2．若三個平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線互相平行，則這3．如下圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是 ()3．如下圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；D中RS和PQ相交．答案：C解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；4．三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為________．解析：當三個平面兩兩平行時，n＝4；當三個平面兩個平行，第三個與這兩個都相交時，n＝6；當三個平面兩兩相交于同一直線時，n＝6；當三個平面兩兩相交，交線平行時，n＝7；當三個平面兩兩相交，只有一個公共點時，n＝8.答案：4,6,7,84．三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為_5．如下圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大?。?．如下圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，解：(1)如右圖，連接AC、AB1，由ABCD—A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的銳角或直角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.解：(1)如右圖，連接AC、AB1，(2)如右圖，連接BD，由(1)知A1ACC1是平行四邊形，∴AC∥A1C1，∴AC與EF所成的銳角或直角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴EF⊥AC，即所求角為90°.(2)如右圖，連接BD，點線面之間的位置關系課件(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)分析一：證明D點在EF、CH確定的平面內．分析二：延長FE、DC分別與AB交于M，M′，可證M與M′重合，從而FE與DC相交．(2)分析一：證明D點在EF、CH確定的平面內．點線面之間的位置關系課件點線面之間的位置關系課件點線面之間的位置關系課件∴B為M′A中點，∴M與M′重合，即FE與DC交于點M(M′)，∴C、D、F、E四點共面．∴B為M′A中點，變式遷移1

正方體ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R分別是AB、AD、B′C′的中點，那么，正方體過P、Q、R的截面圖形是________．(填幾邊形)解析：如下圖，作RG∥PQ交C′D′于點G，變式遷移1正方體ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R連結QP并延長與CB的延長線交于點M，連結MR交BB′于點E，連結PE、RE為截面的部分外形．同理連結PQ并延長交CD的延長線于點N，連結NG交DD′于點F，連結QF、FG.∴截面為六邊形PQFGRE.答案：六邊形連結QP并延長與CB的延長線交于點M，連結MR交BB′于點E【例2】

(2009·遼寧高考)如右圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．(Ⅰ)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長；(Ⅱ)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．點線面之間的位置關系課件點線面之間的位置關系課件(Ⅱ)假設直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.由已知，兩正方形ABCD和DCEF不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線．(Ⅱ)假設直線ME與BN共面，變式遷移2

給出下列命題：①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；③一定存在平面α同時和異面直線a、b都平行．其中正確的命題為 ()A．①B．②C．③D．①③變式遷移2給出下列命題：解析：①錯，c可與a、b都相交；②錯，因為a、c可能相交也可能平行；③正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件．故選C.答案：C解析：①錯，c可與a、b都相交；【例3】空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大?。c線面之間的位置關系課件思路分析：要求EF與AB所成的角，可經過某一點作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點，故可過E或F作AB的平行線．取AC的中點，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個三角形中求解．思路分析：要求EF與AB所成的角，可經過某一點作兩條直線的平解：取AC的中點G，連接EG、FG，則EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.解：取AC的中點G，連接EG、FG，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，(1)求異面直線所成的角，關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交，或將兩條直線同時平移到某個位置，使其相交．平移直線的方法有：①直接平移，②中位線平移，③補形平移．(2)求異面直線所成角的步驟：①作：通過作平行線，得到相交直線；②證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；③求：通過解三角形，求出該角.

點線面之間的位置關系課件點線面之間的位置關系課件答案：C

答案：C【例4】長方形ABCD－A1B1C1D1中，AB＝8，BC＝6，在線段BD，A1C1上各有一點P，Q，在PQ上有一點M，且PM＝MQ，則M點的軌跡圖形的面積為________．點線面之間的位置關系課件答案：24

答案：24變式遷移4

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線 ()A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數條變式遷移4在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學生的空間想象能力．在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點的．如下圖：答案：D解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學生的空1．刻畫平面性質的三個公理是研究空間圖形進行邏輯推理的基礎，三個公理是立體幾何作圖的依據，通過作圖(特別是截面圖)的訓練，可加深對公理的掌握與理解．其中確定平面的公理2是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題的依據．點線面之間的位置關系課件2．注意文字語言、數學圖形語言和符號語言的相互轉化與應用，能夠從集合的角度闡述點、線、面之間的聯(lián)系，證明共點、共線或共面問題常用歸一法，如多線共點問題，先證明兩條直線交于一點，再證其余直線都經過這點．3．異面直線是立體幾何的重點和難點之一，對其定義要理解準確，有關異面直線的論證，經常要用反證法；異面直線所成的角，常通過平移，使兩異面直線移到同一個平面的位置上來求．2．注意文字語言、數學圖形語言和符號語言的相互轉化與應用，能點線面之間的位置關系點線面之間的位置關系考綱要求1.理解空間直線、平面位置關系的定義．2．了解可以作為推理依據的公理和定理．3．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題．熱點提示1.以空間幾何體為載體，考查邏輯推理能力．2．通過判斷位置關系，考查空間想象能力．3．應用公理、定理證明點共線、線共面等問題．4．多以選擇、填空的形式考查，有時也出現在解答題中.考綱要求1.理解空間直線、平面位置關系的定義．熱點提示1.以1．平面的基本性質公理1：如果一條直線上的

在一個平面內，那么這條直線在此平面內．兩點兩點公理2：過

的三點，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們

過該點的公共直線．不在一條直線上有且只有一條公理2：過 的三點，有且只有一個平面．不在一條直線上有2．直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類2．直線與直線的位置關系(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的

)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：

．銳角(或直角(2)異面直線所成的角銳角(或直角位置關系直線a在平面α內直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點

公共點

公共點

公共點符號表示圖形表示有無數個有且只有一個沒有a?αa∩α＝Aa∥α位置直線a在平面α內直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共4.兩個平面的位置關系兩平面平行公共點個數表示法圖示位置關系α∥β04.兩個平面的位置關系兩平面公共點個數表示法圖示位置關系α∥位置關系圖示表示法公共點個數斜交有

個公共點在一條直線上垂直有

個公共點在一條直線上α∩β＝aα⊥βα∩β＝a無數無數位置關系圖示表示法公共點個數斜交有個公5.平行公理平行于同一條直線的兩條直線

．互相平行5.平行公理互相平行垂直于同一直線的兩直線的位置關系是怎樣的？提示：可能平行，可能相交，也可能異面.

點線面之間的位置關系課件6．定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角

．相等或互補6．定理相等或互補1．給出下列四個命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一平面的兩個平面互相平行；③若直線l1、l2與同一平面所成的角相等，則l1、l2互相平行；④若直線l1、l2是異面直線，則與l1、l2都相交的兩條直線是異面直線．其中假命題的個數是 ()點線面之間的位置關系課件A．1 B．2C．3 D．4解析：如右圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥AB，AD⊥AB，但A1A與AD相交，故①錯；平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面A1ADD1⊥平面ABCD，而平面A1ABB1與A1ADD1相交，故②錯；A．1 B．2直線A1B和直線BC1與平面ABCD所成角都是45°，但A1B與BC1相交，故③錯；直線A1A與直線BC異面，AB、AC均與A1A、BC相交，但AC與AB相交，故④錯．答案：D直線A1B和直線BC1與平面ABCD所成角都是45°，但A12．若三個平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成 ()A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分解析：如右圖所示，三個平面α、β、γ兩兩相交，交線分別是a、b、c且a∥b∥c.觀察圖形，可得α、β、γ把空間分成7部分．答案：C2．若三個平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線互相平行，則這3．如下圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是 ()3．如下圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；D中RS和PQ相交．答案：C解析：A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；4．三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為________．解析：當三個平面兩兩平行時，n＝4；當三個平面兩個平行，第三個與這兩個都相交時，n＝6；當三個平面兩兩相交于同一直線時，n＝6；當三個平面兩兩相交，交線平行時，n＝7；當三個平面兩兩相交，只有一個公共點時，n＝8.答案：4,6,7,84．三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為_5．如下圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大小；(2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大?。?．如下圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，解：(1)如右圖，連接AC、AB1，由ABCD—A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的銳角或直角就是A1C1與B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成角為60°.解：(1)如右圖，連接AC、AB1，(2)如右圖，連接BD，由(1)知A1ACC1是平行四邊形，∴AC∥A1C1，∴AC與EF所成的銳角或直角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴EF⊥AC，即所求角為90°.(2)如右圖，連接BD，點線面之間的位置關系課件(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)分析一：證明D點在EF、CH確定的平面內．分析二：延長FE、DC分別與AB交于M，M′，可證M與M′重合，從而FE與DC相交．(2)分析一：證明D點在EF、CH確定的平面內．點線面之間的位置關系課件點線面之間的位置關系課件點線面之間的位置關系課件∴B為M′A中點，∴M與M′重合，即FE與DC交于點M(M′)，∴C、D、F、E四點共面．∴B為M′A中點，變式遷移1

正方體ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R分別是AB、AD、B′C′的中點，那么，正方體過P、Q、R的截面圖形是________．(填幾邊形)解析：如下圖，作RG∥PQ交C′D′于點G，變式遷移1正方體ABCD－A′B′C′D′中，P、Q、R連結QP并延長與CB的延長線交于點M，連結MR交BB′于點E，連結PE、RE為截面的部分外形．同理連結PQ并延長交CD的延長線于點N，連結NG交DD′于點F，連結QF、FG.∴截面為六邊形PQFGRE.答案：六邊形連結QP并延長與CB的延長線交于點M，連結MR交BB′于點E【例2】

(2009·遼寧高考)如右圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．(Ⅰ)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長；(Ⅱ)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．點線面之間的位置關系課件點線面之間的位置關系課件(Ⅱ)假設直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.由已知，兩正方形ABCD和DCEF不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線．(Ⅱ)假設直線ME與BN共面，變式遷移2

給出下列命題：①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；③一定存在平面α同時和異面直線a、b都平行．其中正確的命題為 ()A．①B．②C．③D．①③變式遷移2給出下列命題：解析：①錯，c可與a、b都相交；②錯，因為a、c可能相交也可能平行；③正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件．故選C.答案：C解析：①錯，c可與a、b都相交；【例3】空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大?。c線面之間的位置關系課件思路分析：要求EF與AB所成的角，可經過某一點作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點，故可過E或F作AB的平行線．取AC的中點，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個三角形中求解．思路分析：要求EF與AB所成的角，可經過某一點作兩條直線的平解：取AC的中點G，連接EG、FG，則EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.解：取AC的中點G，連接EG、FG，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當